벌레는 꿀 속에서 헤엄친다 — Reynolds 수가 바꾸는 유동의 세계

무차원화로 드러나는 Reynolds 수, 스케일이 만드는 유동의 차이

박테리아는 수영을 할 수 없다. 정확히 말하면, 우리가 "수영"이라고 부르는 관성 기반 추진은 박테리아에게 통하지 않는다. 꼬리를 저어 관성으로 앞으로 나가는 우리와 달리, 박테리아는 관성이 사라진 세계 — 마치 투명한 꿀 속 같은 곳 — 에서 살기 때문이다. 이 포스트는 같은 Navier–Stokes 방정식이 왜 스케일에 따라 완전히 다른 세상을 만드는지, 그리고 그 차이를 한 숫자로 요약하는 Reynolds 수(관성력/점성력 비) 가 어떻게 유체역학의 "숨겨진 문법"이 되는지 살펴본다. 끝에는 무차원화(방정식의 단위를 벗겨 구조만 남기는 작업)가 왜 유체역학의 첫 문법인지도 함께 짚는다.

같은 방정식, 다른 세상#

대왕고래는 바다에서 헤엄친다. 물 분자는 물론 같은 물이다. 그런데 1 μm 박테리아에게 물은 전혀 다른 물질처럼 느껴진다. 같은 Navier–Stokes 방정식을 써도 스케일이 바뀌면 지배하는 항이 바뀌기 때문이다.

비압축 Navier–Stokes는 이렇게 생겼다.

\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u}

$\rho$ 는 밀도, $\mathbf{u}$ 는 속도장, $p$ 는 압력, $\mu$ 는 점성계수다. 좌변은 관성(질량 × 가속도), 우변의 $\mu\nabla^2\mathbf{u}$ 는 점성(내부 마찰) 항이다. 이 두 힘이 매 순간 싸운다. 누가 이기는가.

방정식의 옷을 벗겨라: 무차원화#

답은 스케일이 정한다. 이를 보이려면 방정식을 무차원화해야 한다. 대표 길이 $L$ , 대표 속도 $U$ , 대표 시간 $L/U$ , 대표 압력 $\rho U^2$ 로 모든 양을 나눈다.

\tilde{\mathbf{x}} = \frac{\mathbf{x}}{L}, \quad \tilde{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{u}}{U}, \quad \tilde{t} = \frac{tU}{L}, \quad \tilde{p} = \frac{p}{\rho U^2}

변수 하나하나의 의미는 "그 물리량을 자기 자신의 자연스러운 크기로 측정한 것"이다. 이 정의를 Navier–Stokes에 대입해 정리하면 단위가 전부 사라진 깔끔한 식이 남는다.

\frac{\partial \tilde{\mathbf{u}}}{\partial \tilde{t}} + (\tilde{\mathbf{u}}\cdot\tilde{\nabla})\tilde{\mathbf{u}} = -\tilde{\nabla}\tilde{p} + \frac{1}{\mathrm{Re}}\,\tilde{\nabla}^2 \tilde{\mathbf{u}}

모든 물리 단위가 사라지고 딱 하나의 숫자 $\mathrm{Re}$ 만 남는다. 이것이 Reynolds 수다.

\mathrm{Re} = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu} = \frac{\text{관성력}}{\text{점성력}}

$\nu = \mu/\rho$ 는 동점성계수(kinematic viscosity)다. $\rho$ , $U$ , $L$ 이 클수록 관성이, $\mu$ 가 클수록 점성이 이긴다. 같은 물이라도 $L$ 이 작아지면 $\mathrm{Re}$ 는 선형으로 떨어진다. 결국 세상을 지배하는 항이 바뀐다.

스케일이 Reynolds 수를 바꾼다#

숫자로 느껴보자. 물의 동점성계수 $\nu \approx 10^{-6}\,\text{m}^2/\text{s}$ 를 기준으로 대표 생명체들의 $\mathrm{Re}$ 는 아래와 같다.

# 대표 길이/속도로 Reynolds 수 계산
def reynolds(U, L, nu=1e-6):
    return U * L / nu
 
cases = [
    ("대왕고래",   10.0,    25.0),
    ("수영 선수",   1.0,     1.5),
    ("치어",        0.1,     0.01),
    ("박테리아",   30e-6,   1e-6),
]
for name, U, L in cases:
    print(f"{name:8s} Re = {reynolds(U, L):10.2e}")
# 대왕고래    Re =   2.50e+08
# 수영 선수   Re =   1.50e+06
# 치어         Re =   1.00e+03
# 박테리아    Re =   3.00e-05

가장 큰 값과 가장 작은 값이 무려 13자릿수 차이다. 같은 물 안에서다. Reynolds 수는 단순한 숫자가 아니라, 같은 유체 안에서도 서로 다른 "세상"을 라벨링하는 주소다.

박테리아처럼 $\mathrm{Re} \ll 1$ 인 영역에서는 무차원 방정식의 관성 항이 사실상 사라지고, 양변에 $\mathrm{Re}$ 를 곱하면 Stokes 방정식 $-\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} = 0$ 이 된다. 시간 미분이 없다. 즉 박테리아의 유동은 "과거를 기억하지 못한다". 힘을 빼는 순간 속도도 0이 된다.

시각화로 직관 만들기#

아래 시뮬레이션에서 직접 Reynolds 수를 조작해보자.

속도장 시각화Re =100

Reynolds를 10 근처로 낮추면 벡터장이 빗처럼 정돈된다. 점성이 모든 교란을 빠르게 소멸시키기 때문이다. 반대로 1000까지 올리면 벡터가 불규칙하게 흔들리기 시작한다. 이것이 난류의 전조다.

다음은 원통 뒤의 유동이다. 관찰 포인트는 카르만 와열(Von Kármán vortex street, 원통 뒤에서 주기적으로 떨어져 나가는 와) 의 형성 여부다.

유선 시각화장애물:속도:1.0

$\mathrm{Re} \lesssim 40$ 에서는 원통 뒤가 좌우 대칭으로 붙어 있다. 40을 넘기면 위아래 와가 번갈아 박리되어 "꼬리가 주기적으로 흔들리는" 무늬가 보인다. 깃발이 펄럭이고, 전깃줄이 울고, 바람에 긴 다리가 진동하는 이유가 모두 같은 카르만 와열이다. 자연 현상의 주파수는 Strouhal 수 $\mathrm{St} = fL/U \approx 0.2$ 로 묶여 있어, $U$ 와 $L$ 만 알면 울음의 음높이까지 추정할 수 있다.

박테리아는 왜 '꿀 속'인가#

$\mathrm{Re} \ll 1$ 에서는 관성이 0에 가깝다. 수영을 멈추는 순간 정지한다. 더 놀라운 결과도 있다.

시간 가역 동작으로는 앞으로 갈 수 없다 — Purcell의 scallop theorem.

조개처럼 대칭으로 여닫는 동작은 순 변위가 0이다. 그래서 박테리아는 나선형 편모를 회전시키거나, 비대칭 채찍질을 해야만 전진한다. 같은 Navier–Stokes에서 출발했지만, $\mathrm{Re}$ 의 스케일이 "허용되는 운동의 목록"을 바꿔버린 것이다. 운동 설계의 문법이 달라진 셈이다.

반대로 $\mathrm{Re}$ 가 수십만을 넘어가면 방정식의 점성 항은 전체 흐름에 대해 무시할 정도로 작아진다(경계층 내부는 예외). 그래서 항공기 날개 주변의 평균 유동은 비점성 Euler 방정식으로 꽤 잘 설명된다. 방정식이 바뀐 것이 아니라, 지배하는 항이 바뀌었을 뿐이다.

무차원화가 알려주는 것#

Reynolds 수는 무차원 수의 한 예일 뿐이다. 같은 논리로 $\mathrm{Ma} = U/c$ (Mach, 관성/압축성), $\mathrm{Fr} = U/\sqrt{gL}$ (Froude, 관성/중력), $\mathrm{We} = \rho U^2 L/\sigma$ (Weber, 관성/표면장력) 같은 "세계의 다이얼"들이 연속적으로 나타난다. 무차원화의 핵심은 이 다이얼들을 독립적으로 만들어 주는 것이다. 실험을 할 때 풍동에서 축소 모형을 사용할 수 있는 이유도 여기 있다. 크기와 속도가 달라도 $\mathrm{Re}$ 만 같다면 무차원 방정식은 동일하므로, 해도 동일하다. 이것이 역학적 상사법칙(dynamic similarity)이다.

기억할 점#

무차원화는 방정식의 옷을 벗겨 본질만 남기는 작업이다. 단위가 사라진 자리에 $\mathrm{Re}$ , $\mathrm{Ma}$ , $\mathrm{Fr}$ 같은 세계의 다이얼이 나타난다.
Reynolds 수는 관성과 점성의 스코어보드다. 같은 물이라도 스케일이 바뀌면 스코어가 바뀌고, 유동의 얼굴이 바뀐다.
박테리아가 '꿀' 속에 사는 이유는 스케일 때문이다. 같은 물에서 13자릿수 떨어진 Reynolds 수는 그 증거이자, 자연이 스케일마다 다른 운동 설계를 요구한다는 신호다.