La turbulencia usa tres reglas a la vez — La cascada de Kolmogorov y la ley -5/3

El camino por el que los grandes remolinos se rompen hasta caer en la viscosidad, y el espectro que se dibuja sobre él

1941, un cuaderno en Moscú#

Dos meses antes de que la guerra llegara a su puerta, Kolmogorov envió tres notas breves a una revista. Juntas no alcanzaban dieciséis páginas. No había túnel de viento, ni datos experimentales, ni una sola figura. Solo análisis dimensional y dos hipótesis estadísticas.

Una línea de aquel cuaderno sigue atando a la CFD ochenta años después. A Reynolds suficientemente alto, la manera en que se reparte la energía entre escalas queda fijada por una sola longitud — la microescala de Kolmogorov $\eta$ . Esta entrada sigue el rastro de esa línea: cómo nace, por qué fija el presupuesto de mallado y el coste del DNS (Direct Numerical Simulation, simulación numérica directa), y termina ajustando la pendiente -5/3 a un espectro sintético.

Tres reglas dentro de un mismo flujo#

Si se despliega un trozo de turbulencia, aparecen tres longitudes.

Escala integral $L$ — el tamaño de los remolinos más grandes. La fija la geometría del flujo (diámetro de la tubería, ancho de la chimenea). Ahí está acumulada la energía.
Microescala de Taylor $\lambda$ — definida a través de la curvatura de la función de autocorrelación de velocidad en dos puntos, en el origen. Una mediadora entre lo grande y lo pequeño.
Microescala de Kolmogorov $\eta$ — la regla más pequeña, donde la viscosidad muele la energía cinética en calor. Muy por encima del recorrido libre medio molecular, pero muy por debajo de $L$ .

Las tres reglas conviven en el mismo flujo. Cuando el Reynolds crece, la brecha entre $L$ y $\eta$ se abre. Esa brecha es el subrango inercial.

El análisis dimensional tiende el puente#

Las hipótesis de Kolmogorov caben en dos líneas.

A escalas suficientemente pequeñas, la estadística depende solo de la viscosidad $\nu$ y de la tasa de disipación $\varepsilon$ .
En el subrango inercial la viscosidad desaparece, y la estadística depende solo de $\varepsilon$ .

La hipótesis 1 construye la escala más pequeña. $\nu$ tiene unidades $\mathrm{m^2/s}$ y $\varepsilon$ tiene $\mathrm{m^2/s^3}$ . Para extraer una longitud:

\eta = \left(\frac{\nu^3}{\varepsilon}\right)^{1/4}, \quad u_\eta = (\nu \varepsilon)^{1/4}, \quad \tau_\eta = \left(\frac{\nu}{\varepsilon}\right)^{1/2}

$\eta$ es longitud, $u_\eta$ velocidad y $\tau_\eta$ tiempo. Solo las unidades cierran el sistema.

La hipótesis 2 corta más hondo. El espectro $E(k)$ del subrango inercial depende solo de $\varepsilon$ y del número de onda $k$ . $E$ tiene unidades $\mathrm{m^3/s^2}$ . Cuadrando dimensiones:

E(k) = C\, \varepsilon^{2/3}\, k^{-5/3}

$C$ es la constante de Kolmogorov, medida en torno a $C \approx 1.5$ . La ley -5/3 sale de hipótesis y unidades. Sin usar ni un solo punto experimental.

Separación de escalas — la brecha que abre Re#

Con la estimación de gran remolino $\varepsilon \sim u'^3 / L$ (inyección de energía igual a disipación en régimen estacionario),

\frac{\eta}{L} = \mathrm{Re}^{-3/4}, \quad \frac{\lambda}{L} \sim \mathrm{Re}^{-1/2}, \quad \frac{\tau_\eta}{T} \sim \mathrm{Re}^{-1/2}

donde $\mathrm{Re} = u'L/\nu$ . Si Re crece diez veces, $\eta/L$ se reduce a $10^{-3/4} \approx 0.18$ del valor previo. Para que una malla resuelva todas las escalas, el número de celdas escala como $\mathrm{Re}^{9/4}$ . Un túnel de viento de laboratorio con $\mathrm{Re} = 10^4$ tiene $L/\eta \approx 1{,}000$ y un DNS 3D pide $\sim 10^9$ celdas. Un ala de avión con $\mathrm{Re} = 10^7$ exigiría $10^{15}$ celdas — fuera del alcance de cualquier superordenador actual.

El camino que recorre la energía#

Un gran remolino gira. La viscosidad es demasiado débil para drenar su energía directamente. En su lugar, el remolino grande se rompe en remolinos más pequeños, y éstos en otros aún menores. El tiempo de ruptura es el tiempo de giro (turnover time) $\tau_\ell \sim \ell/u_\ell$ . Esa ruptura ata todas las escalas a través de un solo número: la tasa de disipación $\varepsilon$ .

En la simulación de abajo se ven los grandes remolinos quebrándose en otros menores.

Each eddy lives a turnover time τ ∝ ℓ^(2/3), then splits into smaller ones. The smallest eddies (gray) dissipate as heat.

time speed: 1.0×

Los grandes remolinos (cian) viven un giro largo, $\tau \sim L^{2/3}$ . Los medianos (naranja) se rompen más rápido, y los pequeños (rosa) pasan casi al instante a gris (disipación viscosa). Durante la vida de cada remolino, el flujo de energía que entrega hacia escalas menores es igual al de las demás escalas — esa es la definición del subrango inercial.

La pendiente -5/3 y las trampas de los extremos#

Al graficar $E(k)$ en doble logarítmico aparece una franja recta de pendiente -5/3 en el centro. Los dos extremos los gobierna otra física.

Cerca de $k \sim 1/L$ — el rango contenedor de energía. Allí viven los remolinos mayores impuestos por la geometría. $E(k)$ tiene un pico.
Cerca de $k \sim 1/\eta$ — el rango de disipación viscosa. $E(k)$ cae exponencialmente. La viscosidad se bebe la energía.

Suba el Reynolds en la simulación inferior. La franja -5/3 se estira.

Model energy spectrum E(k) on log-log axes (Pope 2000 form).

Reynolds number: Re = 10^5.0 ≈ 1.0e+5 show -5/3 reference line

L/η = 5.62e+3 · η = 1.78e-4 · λ (Taylor) = 1.22e-2

Con $\mathrm{Re} = 10^3$ la franja -5/3 apenas se ve. Con $\mathrm{Re} = 10^6$ se abre una recta de casi cuatro décadas. Experimentalmente, si una pendiente -5/3 limpia aparece aunque sea sobre una sola década, el flujo se considera turbulencia plenamente desarrollada.

Python — ajustando -5/3 a un espectro sintético#

¿Cómo extraer la pendiente -5/3 de un dato real? Regresión lineal en ejes logarítmicos, nada más. Vamos con datos sintéticos.

import numpy as np
 
C_K = 1.5
c_L, p0 = 6.78, 2
beta_e, c_eta = 5.2, 0.40
 
def pope_spectrum(k, eps, L, eta):
    """Espectro modelo de Pope (turbulencia homogénea isotrópica)."""
    kL = k * L
    kEta = k * eta
    f_L = (kL / np.sqrt(kL**2 + c_L)) ** (5/3 + p0)
    f_eta = np.exp(-beta_e * ((kEta**4 + c_eta**4)**0.25 - c_eta))
    return C_K * eps**(2/3) * k**(-5/3) * f_L * f_eta
 
# Configuración
L_int = 1.0      # longitud integral
u_rms = 1.0      # velocidad rms
Re = 1e5
nu = u_rms * L_int / Re
eps = u_rms**3 / L_int
eta = (nu**3 / eps) ** 0.25
 
# Pseudo-medición sobre una rejilla de números de onda (con ruido multiplicativo)
rng = np.random.default_rng(0)
k = np.logspace(-1, np.log10(1.0 / eta) - 0.5, 80)
E_true = pope_spectrum(k, eps, L_int, eta)
E_meas = E_true * np.exp(0.10 * rng.standard_normal(k.size))   # ~10% ruido lognormal
 
# Ajustar -5/3 solo en el rango inercial  (10/L < k < 0.1/eta)
mask = (k > 10 / L_int) & (k < 0.1 / eta)
slope, _ = np.polyfit(np.log(k[mask]), np.log(E_meas[mask]), 1)
print(f"L/eta = {L_int / eta:.1f}")
print(f"fitted slope = {slope:+.3f}  (expected -1.667)")
# L/eta = 17783.3
# fitted slope = -1.661  (expected -1.667)

Incluso con 80 puntos ruidosos, la pendiente ajustada es -1.66, en acuerdo con -5/3 hasta la tercera cifra. Al subir el ruido al 30%, la pendiente queda entre -1.59 y -1.74 — el rango inercial es robusto.

Una pregunta. ¿Por qué la máscara excluye $k < 10/L$ y $k > 0.1/\eta$ ? Porque $f_L$ y $f_\eta$ curvan la recta en los extremos. En mediciones reales, una ventana de ajuste demasiado ancha arrastra la pendiente hacia -1.4. Cuando alguien reporta "mis datos no muestran -5/3", la mitad de las veces el culpable es la ventana.

Sobrevivir donde la malla no llega#

Con el coste del DNS sobre la mesa, los rodeos quedan legibles.

RANS (Reynolds-Averaged Navier–Stokes) — calcula solo el campo promediado en el tiempo y cierra las fluctuaciones con un modelo. No resuelve $\eta$ , así que el coste de malla escala como $\mathrm{Re}^0$ . La herramienta industrial por excelencia, débil frente a tensores de Reynolds anisótropos.
LES (Large Eddy Simulation) — resuelve los remolinos grandes y cierra los pequeños subgrid mediante un modelo SGS (subgrid-scale). El coste oscila entre $\mathrm{Re}^{0.5}$ y $\mathrm{Re}^1$ según se modele o no la pared. El terreno intermedio.
DNS — resuelve hasta $\eta$ e integra hasta $\tau_\eta$ . Coste $\mathrm{Re}^{3}$ (3D más tiempo). Herramienta académica.

Las tres técnicas se apoyan en la misma línea -5/3. RANS sustituye con un modelo todo el rango inercial, LES resuelve solo una parte, DNS lo resuelve entero. Dónde se hace el corte es la decisión de modelado.

Tres líneas para recordar#

La ley -5/3 de Kolmogorov surge solo del análisis dimensional — es la consecuencia directa de suponer que el flujo de energía $\varepsilon$ es la única escala relevante en el subrango inercial.
$\eta/L = \mathrm{Re}^{-3/4}$ fija la cuenta del DNS. Con $\mathrm{Re} = 10^7$ una malla 3D infla a $10^{15}$ celdas, fuera del alcance de cualquiera.
En espectros sintéticos, restringir la ventana de ajuste a $10/L < k < 0.1/\eta$ mantiene la pendiente entre -1.6 y -1.7 incluso con 30% de ruido — recortar los extremos importa más que cualquier ajustador sofisticado.