Un fluido que se calienta sin moverse — Convección natural y el Rayleigh 1708

Se enciende una llama debajo y el fluido se niega a moverse durante un rato. El suelo está caliente, el techo frío, y aun así el líquido permanece quieto y solo pasa calor hacia arriba. Entonces, en cierto instante, todo un campo de vórtices a rayas se enciende de golpe. Esta entrada sigue por qué ese «umbral» es el número de Rayleigh 1708, y llega hasta las correlaciones de Nusselt que fijan cuán bien se enfría una pared calentada. Al final se cruzará el valor crítico en persona y se calculará la pérdida de calor de una placa vertical en Python.

Donde chocan flotabilidad y viscosidad#

La convección natural —flujo impulsado por diferencias de densidad sin bomba externa— es una pelea entre tres fuerzas. Al calentar el suelo, el fluido de encima se expande y se aligera. Una parcela más ligera quiere subir. Eso es la flotabilidad.

Si solo existiera la flotabilidad, el flujo arrancaría al instante. Pero dos cosas lo frenan. La viscosidad arrastra hacia abajo la parcela ascendente por fricción con sus vecinas. La difusión térmica difumina rápido la temperatura de la parcela caliente, borrando la propia diferencia de temperatura que mueve la flotabilidad.

Así que el veredicto es una competencia simple. Si los dos frenos —viscosidad más difusión térmica— vencen a la flotabilidad, el fluido se queda quieto. Si gana la flotabilidad, la convección se enciende. Responder con un solo número quién gana es el objetivo de esta entrada.

La aproximación de Boussinesq — el cambio de densidad en un término#

Cuando la densidad varía con la temperatura las ecuaciones se vuelven engorrosas. La aproximación de Boussinesq —tratar la densidad como variable solo dentro del término de gravedad— alivia esa carga. En todo lo demás la densidad es constante; solo el término de flotabilidad reacciona a la temperatura.

Definamos el coeficiente de expansión térmica volumétrica (la caída fraccional de densidad por grado de calentamiento).

Aquí $\beta$ es el coeficiente de expansión, $\rho$ la densidad y $T$ la temperatura. Para un gas ideal cae limpiamente a $\beta = 1/T$.

Esta definición cambia la diferencia de densidad por una de temperatura.

$\rho_\infty$ y $T_\infty$ son la densidad y la temperatura del fluido quieto lejano. Esa línea siembra una fuente de flotabilidad en la ecuación de momento de una capa límite de placa vertical.

$u$, $v$ son componentes de velocidad, $g$ la gravedad, $\nu$ la viscosidad cinemática. El primer término de la derecha es la flotabilidad, el segundo la resistencia viscosa. La ecuación de energía arrastra la temperatura por difusión.

$\alpha$ es la difusividad térmica (qué tan rápido se esparce el calor). Este par —momento y energía atados por la flotabilidad— es el esqueleto de la convección natural.

Grashof y Rayleigh — una división del trabajo#

Al adimensionalizar, el término de flotabilidad se condensa en un solo número. Ese es el número de Grashof.

$T_s$ es la temperatura de pared, $L$ la longitud característica. Grashof asume el papel que el número de Reynolds tiene en la convección forzada. Mide cuánto la flotabilidad arrolla a la viscosidad.

Pero la viscosidad no es el único enemigo de la flotabilidad. La difusión térmica también borra la brecha de temperatura. Para contar ese segundo freno se multiplica por el número de Prandtl (difusión de momento sobre difusión de calor, $\mathrm{Pr} = \nu/\alpha$). El resultado es el número de Rayleigh.

Ahora tanto la viscosidad $\nu$ como la difusión térmica $\alpha$ se sientan en el denominador. Esa es la clave. Que la convección se encienda no lo fija Gr en solitario sino Ra. La flotabilidad debe vencer el producto de los dos frenos para que el flujo viva.

El umbral llamado 1708#

Al meter una capa calentada por debajo en un análisis de estabilidad lineal aparece un valor crítico limpio. Con paredes sólidas arriba y abajo, el número de Rayleigh crítico es $\mathrm{Ra}_c = 1708$. Por debajo, toda perturbación es devorada por la viscosidad y la difusión térmica y muere. El fluido permanece quieto y el calor se mueve por pura conducción.

En el momento en que Ra cruza 1708 se enciende un patrón: rollos contrarrotantes uniformemente espaciados, las celdas de Bénard. El ancho de la celda es alrededor del doble de la profundidad de la capa.

Juega con la simulación de abajo.

Baja Ra por debajo de 1708 y las partículas casi se congelan mientras el campo de temperatura se separa limpiamente de arriba a abajo. Cruza 1708 y las celdas contrarrotantes se encienden, poniendo a circular las partículas. Sube más Ra y la circulación se vuelve feroz mientras las capas límite se adelgazan.

Python — siguiendo el número de Nusselt de una placa vertical#

¿Cuán bien se enfría una pared calentada? La respuesta es el número de Nusselt (transferencia de calor convectiva sobre conductiva, $\mathrm{Nu} = hL/k$). Para una placa vertical isoterma existe una correlación de Churchill–Chu válida en todo el rango. Calculemos una pared a 60 °C de pie en aire a 20 °C.

import numpy as np
 
def rayleigh_number(Ts, Tinf, L, beta, nu, alpha, g=9.81):
    # razon entre flotabilidad y (viscosidad x difusion termica)
    return g * beta * (Ts - Tinf) * L**3 / (nu * alpha)
 
def churchill_chu_vertical(Ra, Pr):
    # placa vertical isoterma -- valida en todo el rango
    denom = (1.0 + (0.492 / Pr)**(9 / 16))**(8 / 27)
    return (0.825 + 0.387 * Ra**(1 / 6) / denom)**2
 
# propiedades del aire a la temperatura de pelicula
nu, alpha, Pr, k = 1.85e-5, 2.60e-5, 0.71, 0.027
Ts, Tinf, L = 60.0, 20.0, 0.30          # pared 60C, 0.3 m de alto
beta = 1.0 / (0.5 * (Ts + Tinf) + 273.15)  # gas ideal, 1/Tf
 
Ra = rayleigh_number(Ts, Tinf, L, beta, nu, alpha)
Nu = churchill_chu_vertical(Ra, Pr)
h = Nu * k / L
q = h * (Ts - Tinf)                     # perdida de calor por unidad de area
 
print(f"Ra = {Ra:.2e}")
print(f"Nu = {Nu:.1f},  h = {h:.2f} W/m^2K")
print(f"q  = {q:.1f} W/m^2")
 
# Ra = 7.03e+07
# Nu = 54.9,  h = 4.94 W/m^2K
# q  = 197.6 W/m^2

Con $\mathrm{Ra} \approx 7\times10^7$ seguimos en régimen laminar. Un metro cuadrado de placa libera unos 198 vatios. Cambia la brecha de temperatura o la altura y Ra se mueve de inmediato.

El gráfico de abajo despliega la misma correlación a lo largo del eje Ra.

Baja Pr (hacia los metales líquidos) y la curva cae; súbela (hacia los aceites) y trepa. Arrastra el marcador de Ra más allá de $10^9$ y la pendiente cambia de la laminar $\mathrm{Ra}^{1/4}$ a la turbulenta $\mathrm{Ra}^{1/3}$.

Un puñado de correlaciones de Nusselt#

Cada geometría tiene su propia correlación. Aquí van las habituales.

• Placa vertical: $\mathrm{Nu} = 0.59\,\mathrm{Ra}^{1/4}$ (laminar, $10^4$–$10^9$), $\mathrm{Nu} = 0.10\,\mathrm{Ra}^{1/3}$ (turbulenta, $10^9$–$10^{13}$). Todo el rango: Churchill–Chu.
• Placa horizontal caliente, hacia arriba: $\mathrm{Nu} = 0.54\,\mathrm{Ra}^{1/4}$ ($10^4$–$10^7$), $0.15\,\mathrm{Ra}^{1/3}$ ($10^7$–$10^{11}$).
• Placa horizontal caliente, hacia abajo: $\mathrm{Nu} = 0.27\,\mathrm{Ra}^{1/4}$.
• Recinto calentado por debajo: por encima de $\mathrm{Ra}_c = 1708$, celdas de Bénard.

Para placas horizontales la longitud característica es área sobre perímetro, $L = A_s/P$. El exponente $1/3$ del régimen turbulento esconde un sentido. Como $\mathrm{Nu} \propto \mathrm{Ra}^{1/3}$ y $\mathrm{Ra} \propto L^3$, la $L$ se cancela en $h = \mathrm{Nu}\,k/L$. El coeficiente de transferencia de calor de la convección natural turbulenta es independiente del tamaño.

Qué recordar#

• Los enemigos de la flotabilidad son dos: viscosidad y difusión térmica. Por eso el inicio de la convección no lo fija Gr en solitario sino Ra, que multiplica a ambos.
• Para $\mathrm{Ra} < 1708$ el fluido se queda quieto (pura conducción); por encima, se encienden las celdas de Bénard.
• $\mathrm{Nu}$ escala como $\mathrm{Ra}^{1/4}$ en régimen laminar y $\mathrm{Ra}^{1/3}$ en turbulento. En este último el coeficiente de transferencia ya no depende del tamaño de la placa.