¿Por qué el chorro de agua se rompe en gotas? — Inestabilidad de Plateau-Rayleigh y regímenes de ruptura

Ábrase el grifo de la cocina a la mitad. Inicialmente, se observa una columna de líquido lisa. Sin embargo, a partir de unos 10 cm de caída, comienza a romperse en gotas regulares. Es una escena cotidiana, pero responder por qué un continuo se fragmenta por sí mismo no es trivial. Este artículo sigue la explicación clásica de Joseph Plateau (1849) y Lord Rayleigh (1879), y explora cómo los números de Weber (relación inercia/tensión superficial) y de Ohnesorge (relación viscosidad/inercia-tensión superficial) —utilizados hoy en el diseño de inyectores de motores y cabezales de impresión— extienden estos resultados. Al terminar de leer, se podrá responder mediante un mapa de regímenes: "¿por qué algunos chorros rompen en gotas gruesas y otros se desintegran como niebla?".

Por qué un continuo elige fragmentarse#

La tensión superficial es una fuerza que busca reducir el área superficial. Para un mismo volumen de líquido, la forma esférica es la que tiene la menor área. Por ello, una masa de agua forma una esfera en gravedad cero.

Entonces, considérese un cilindro largo de líquido y una cadena de gotas creada al cortar ese cilindro en intervalos regulares (con el mismo volumen). ¿Cuál tiene menor área superficial? Contra la intuición, la cadena de gotas tiene un área menor, siempre que el intervalo de corte sea mayor que la circunferencia del cilindro. Esta es la razón por la cual una columna de agua se fragmenta: es el resultado natural de buscar un estado de menor energía.

La intuición geométrica de Plateau#

Plateau calculó el cambio en el área superficial de un cilindro de radio $R$ cuando se somete a una pequeña perturbación axial de longitud de onda $\lambda$.

Aquí, $2\pi R/\lambda$ es el número de onda adimensional $kR$ (el producto del número de onda $k = 2\pi/\lambda$ y el radio). Si este valor es menor que 1, $\Delta A < 0$, lo que significa que el área superficial disminuye a medida que la perturbación crece, resultando energéticamente favorable. Por el contrario, si es mayor que 1, $\Delta A > 0$ y la perturbación se disipa.

La condición se resume de forma sencilla:

Solo crecen las longitudes de onda mayores que la circunferencia del cilindro. Este criterio se conoce como el límite de Plateau.

Estabilidad lineal de Rayleigh#

Plateau solo respondió "qué longitudes de onda pueden crecer". Treinta años después, Rayleigh identificó "qué longitud de onda crece más rápido" insertando una pequeña perturbación $\eta = \epsilon e^{\sigma t} \cos(kx)$ en las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos no viscosos para hallar la relación de dispersión.

Donde $\sigma$ es la tasa de crecimiento (unidad $s^{-1}$), $\sigma_{s}$ es la tensión superficial (N/m), $\rho$ es la densidad del líquido e $I_{0}, I_{1}$ son funciones de Bessel modificadas. El término $1-(kR)^{2}$ en el paréntesis es exactamente el límite de Plateau.

El valor máximo ocurre en $kR \approx 0,697$, lo que corresponde a una longitud de onda $\lambda_{\max} \approx 9,02 R$. Una columna de agua "prefiere" cortarse en un periodo de aproximadamente 9 veces su radio. Este periodo explica casi a la perfección el espaciado de las gotas en un grifo común.

Si se incluye la viscosidad (como organizó Chandrasekhar), $\sigma$ disminuye, pero el límite de inestabilidad $kR < 1$ no cambia. La viscosidad solo ralentiza el crecimiento, pero no afecta las condiciones necesarias para la fragmentación.

Weber y Ohnesorge: El mapa de regímenes de ruptura#

Mientras que la explicación anterior es suficiente para flujos lentos como el de un grifo, los chorros de alta velocidad en cámaras de combustión de cohetes o inyectores diésel involucran la inercia del gas circundante. Aquí aparecen dos números adimensionales:

$We$ es la relación entre la inercia del gas y la tensión superficial, y $Oh$ es la relación entre la viscosidad del líquido y la (inercia-tensión superficial). Al resumir los datos experimentales, un chorro atraviesa cuatro regímenes a medida que aumenta su velocidad.

Si $Oh$ es pequeño ($< 0,1$), el régimen se define solo por $We$. A medida que $Oh$ aumenta, se requieren correcciones por viscosidad y, en la práctica, se trazan límites usando números compuestos como $Oh(We)^{0,5}$. Los grifos e impresoras suelen caer en la región de Rayleigh breakup. Los inyectores diésel buscan la Atomization, elevando $We$ por encima de $10^{5}$.

Visualización de la curva de tasa de crecimiento#

Se puede interactuar con la simulación a continuación. Al cambiar el número de onda $kR$ con el deslizador, se introduce una perturbación de esa longitud en el chorro y el punto en la curva de tasa de crecimiento se desplaza.

Al aumentar $kR$ de 0,2 a 0,7, la tasa de crecimiento se dispara, fragmentando el chorro en gotas más rápido. Al superar $kR = 1,1$, la curva cae a cero, las perturbaciones se disipan y la columna se mantiene lisa. Al subir el número de Ohnesorge de 0 a 0,4, el crecimiento se ralentiza pero el rango de $kR$ inestable permanece igual; se puede comprobar visualmente que la viscosidad "no puede borrar el límite".

Búsqueda de la longitud de onda más rápida con Python#

Se traslada la relación de dispersión de Rayleigh usando funciones de Bessel para buscar numéricamente el número de onda óptimo. Se utilizan i0 e i1 de scipy.

import numpy as np
from scipy.special import i0, i1
from scipy.optimize import minimize_scalar
 
def rayleigh_sigma(kR, sigma_s=0.072, rho=1000.0, R=1e-3):
    """Tasa de crecimiento de Plateau-Rayleigh no viscoso (s^-1)."""
    if kR <= 0 or kR >= 1:
        return 0.0
    coeff = sigma_s / (rho * R**3)
    return np.sqrt(coeff * kR * (1 - kR**2) * i1(kR) / i0(kR))
 
def fastest_mode(R, sigma_s=0.072, rho=1000.0):
    """Número de onda y longitud de onda de crecimiento más rápido."""
    res = minimize_scalar(
        lambda x: -rayleigh_sigma(x, sigma_s, rho, R),
        bounds=(0.01, 0.99), method='bounded'
    )
    kR_star = res.x
    wavelength = 2 * np.pi * R / kR_star
    sigma = rayleigh_sigma(kR_star, sigma_s, rho, R)
    return kR_star, wavelength, sigma
 
if __name__ == "__main__":
    R = 1e-3          # Columna de agua de 1 mm de radio
    kR_star, lam, sig = fastest_mode(R)
    t_break = np.log(R / 1e-6) / sig   # Asumiendo ε_0 = 1 μm
    print(f"kR* = {kR_star:.3f}")
    print(f"lambda_max = {lam*1e3:.2f} mm  (= {lam/R:.2f} R)")
    print(f"sigma_max = {sig:.1f} /s")
    print(f"tiempo de ruptura ~ {t_break*1e3:.1f} ms")

El resultado es kR* ≈ 0,697, λ_max ≈ 9,02 R, σ_max ≈ 380 /s, y un tiempo de ruptura de unos 18 ms. Esto coincide con la observación cotidiana de gotas formándose a 10-15 cm bajo un grifo. Multiplicando por $U = 1\,\text{m/s}$ se obtiene directamente la distancia de caída.

3 puntos clave#

• Solo crecen las longitudes de onda mayores que la circunferencia ($\lambda > 2\pi R$), y la más rápida se fija en $\lambda_{\max} \approx 9 R$.
• La viscosidad reduce la tasa de crecimiento pero no cambia el límite de inestabilidad: $Oh$ regula la "velocidad de ruptura" pero no "si ocurre la ruptura".
• El diseño industrial de atomizadores navega entre cuatro regímenes —Rayleigh / first·second wind-induced / atomization— en el plano de $We$ y $Oh$, ajustando $We$ para obtener el tamaño de gota deseado.