Los insectos nadan en la miel: el mundo del flujo cambiado por el número de Reynolds

Un modelo a escala que solo acorta la longitud resuelve otro balance. Bajar L un factor diez multiplica el término viscoso por diez.

Las bacterias no pueden nadar. La propulsión por inercia, lo que suele llamarse nadar, no les sirve. Un cuerpo grande rema y sigue por inercia. Una bacteria vive donde esa inercia ya no está, un sitio parecido a miel transparente. La ecuación de Navier–Stokes es la misma. Cambia la escala y cambia el término que manda. Un solo número anota el cambio: el número de Reynolds (la relación entre fuerzas inerciales y fuerzas viscosas).

El control es el deslizador de Reynolds de la malla. Subirlo desde cerca de 10 hasta 1000 desordena las flechas.

Cerca de 10 la viscosidad borra la perturbación enseguida. Las flechas se acuestan como dientes de un peine. En 1000 cada vector tiembla por su cuenta. Esa es la cara del flujo justo antes de la turbulencia.

Mismas ecuaciones, diferentes mundos#

Las ballenas azules nadan en el océano. Las moléculas de agua son, por supuesto, la misma agua. Sin embargo, para una bacteria de 1 μm, el agua se siente como una sustancia completamente diferente. Esto se debe a que, incluso si se utilizan las mismas ecuaciones de Navier-Stokes, los términos dominantes cambian a medida que cambia la escala.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para flujo incompresible tienen este aspecto:

\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u}

Donde $\rho$ es la densidad, $\mathbf{u}$ es el campo de velocidad, $p$ es la presión y $\mu$ es el coeficiente de viscosidad. El lado izquierdo representa la inercia (masa × aceleración), y $\mu\nabla^2\mathbf{u}$ en el lado derecho es el término de viscosidad (fricción interna). Estas dos fuerzas luchan en cada momento. ¿Quién gana?

Despojando las ecuaciones: Adimensionalización#

La respuesta la determina la escala. Para demostrarlo, debemos adimensionalizar las ecuaciones. Dividimos todas las magnitudes por una longitud representativa $L$ , una velocidad representativa $U$ , un tiempo representativo $L/U$ y una presión representativa $\rho U^2$ .

\tilde{\mathbf{x}} = \frac{\mathbf{x}}{L}, \quad \tilde{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{u}}{U}, \quad \tilde{t} = \frac{tU}{L}, \quad \tilde{p} = \frac{p}{\rho U^2}

El significado de cada variable es "medir esa magnitud física por su propio tamaño natural". Al sustituir estas definiciones en las ecuaciones de Navier-Stokes y reorganizarlas, queda una ecuación limpia en la que todas las unidades han desaparecido.

\frac{\partial \tilde{\mathbf{u}}}{\partial \tilde{t}} + (\tilde{\mathbf{u}}\cdot\tilde{\nabla})\tilde{\mathbf{u}} = -\tilde{\nabla}\tilde{p} + \frac{1}{\mathrm{Re}}\,\tilde{\nabla}^2 \tilde{\mathbf{u}}

Todas las unidades físicas desaparecen y solo queda un número $\mathrm{Re}$ . Este es el número de Reynolds.

\mathrm{Re} = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu} = \frac{\text{Fuerza Inercial}}{\text{Fuerza Viscosa}}

$\nu = \mu/\rho$ es la viscosidad cinemática. Cuanto mayores sean $\rho$ , $U$ y $L$ , más ganará la inercia; y cuanto mayor sea $\mu$ , más ganará la viscosidad. Incluso en la misma agua, si $L$ disminuye, $\mathrm{Re}$ cae linealmente. Al final, los términos que gobiernan el mundo cambian.

La escala cambia el número de Reynolds#

Sintámoslo con números. Basándonos en la viscosidad cinemática del agua $\nu \approx 10^{-6}\,\text{m}^2/\text{s}$ , el $\mathrm{Re}$ de los organismos representativos es el siguiente:

# Calcular el número de Reynolds con longitud/velocidad representativas
def reynolds(U, L, nu=1e-6):
    return U * L / nu
 
cases = [
    ("Ballena azul",   10.0,    25.0),
    ("Nadador",         1.0,     1.5),
    ("Alevín",          0.1,     0.01),
    ("Bacteria",       30e-6,   1e-6),
]
for name, U, L in cases:
    print(f"{name:15s} Re = {reynolds(U, L):10.2e}")
# Ballena azul     Re =   2.50e+08
# Nadador          Re =   1.50e+06
# Alevín           Re =   1.00e+03
# Bacteria         Re =   3.00e-05

La diferencia entre los valores máximo y mínimo es de nada menos que 13 órdenes de magnitud. Y eso en la misma agua. El número de Reynolds no es solo un número simple; es una dirección que etiqueta diferentes "mundos" incluso dentro del mismo fluido.

En regiones donde $\mathrm{Re} \ll 1$ , como ocurre con las bacterias, el término de inercia de la ecuación adimensional prácticamente desaparece. Multiplicar ambos lados por $\mathrm{Re}$ produce la ecuación de Stokes $-\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} = 0$ . No hay derivada temporal. En otras palabras, el flujo alrededor de las bacterias "no puede recordar el pasado". En el momento en que se retira la fuerza, la velocidad también se vuelve cero.

El factor 1/Re fija los dígitos del término viscoso#

Las cuatro líneas usan la misma fórmula y el mismo $\nu \approx 10^{-6}\,\text{m}^2/\text{s}$ . Ballena $2.50\times 10^{8}$ , nadador $1.50\times 10^{6}$ , alevín $1.00\times 10^{3}$ , bacteria $3.00\times 10^{-5}$ . El cociente de los extremos es $8.33\times 10^{12}$ . Unos 13 órdenes. Los dos extremos del comentario ya traen esa razón. No hace falta otra corrida.

En la ecuación de cantidad de movimiento adimensional, el término viscoso va multiplicado por $1/\mathrm{Re}$ . Con gradientes adimensionales de orden uno, ese coeficiente es el tamaño del término. Para la bacteria sale cerca de $3.3\times 10^{4}$ . Si la inercia vale 1, la viscosidad es unas treinta mil veces mayor. Multiplicar por $\mathrm{Re}$ y tirar la inercia es ese factor escrito al revés. La ballena da $4\times 10^{-9}$ . La viscosidad queda por debajo de cuatro milmillonésimas de la inercia. Un promedio del seno del flujo puede prescindir de ella. La pared no. Allí el gradiente no es de orden uno.

El alevín tiene $\mathrm{Re} = 1.00\times 10^{3}$ , así que el coeficiente es $10^{-3}$ . La inercia gana a la viscosidad por mil. No es cero. La estela del cilindro pierde la simetría cerca de 40, un orden bajo el alevín y seis órdenes sobre la bacteria. Las marcas 10 y 1000 del deslizador caen en ese hueco.

Con $\mathrm{St} = fL/U \approx 0.2$ , la frecuencia se cierra como $0.2\,U/L$ . Bastan $U$ y $L$ . El tono no pide una medición nueva.

Donde la estela del cilindro deja de ser simétrica#

El número de partículas, la velocidad y el obstáculo quedan fijos en el componente. Lo que se mira es si aparece la calle de vórtices de Von Kármán (vórtices que se desprenden periódicamente detrás del cilindro).

A $\mathrm{Re} \lesssim 40$ , el flujo detrás del cilindro permanece unido y simétrico. Cuando supera 40, los vórtices en la parte superior e inferior se desprenden alternativamente, mostrando un patrón en el que "la cola se agita periódicamente". El ondeo de las banderas, el silbido de las líneas eléctricas y los puentes largos que vibran con el viento se deben a la misma calle de vórtices de Von Kármán. Las frecuencias de los fenómenos naturales están ligadas al número de Strouhal $\mathrm{St} = fL/U \approx 0.2$ , de modo que $U$ y $L$ alcanzan para estimar el tono. Dentro de un tubo el umbral queda mucho más arriba, y la capa límite se parte en varias bandas. Ese apilado está en el instante en que un chorro de agua se desordena.

¿Por qué las bacterias están "en la miel"?#

A $\mathrm{Re} \ll 1$ , la inercia es cercana a cero. En el momento en que cesa la propulsión, la velocidad cae a cero. Hay un resultado aún más sorprendente.

Un movimiento reversible en el tiempo no produce avance — el teorema del scallop (o de la vieira) de Purcell.

Un movimiento de apertura y cierre, como el de una vieira, da como resultado un desplazamiento neto nulo. Por lo tanto, las bacterias deben girar flagelos helicoidales o realizar movimientos asimétricos similares a látigos para avanzar. Partiendo de las mismas ecuaciones de Navier-Stokes, la escala de $\mathrm{Re}$ ha cambiado la "lista de movimientos permitidos". La gramática del diseño del movimiento ha cambiado.

Por el contrario, cuando $\mathrm{Re}$ supera varios cientos de miles, el término de viscosidad de la ecuación se vuelve insignificantemente pequeño en comparación con el flujo general (con la excepción de la capa límite). Por lo tanto, el flujo promedio alrededor del ala de un avión se explica bastante bien mediante las ecuaciones de Euler para flujo no viscoso. Las ecuaciones no han cambiado; solo han cambiado los términos dominantes.

Lo que nos dice la adimensionalización#

El número de Reynolds es solo un ejemplo de un número adimensional. Por la misma lógica, aparecen continuamente "diales del mundo" como $\mathrm{Ma} = U/c$ (Mach, inercia/compresibilidad), $\mathrm{Fr} = U/\sqrt{gL}$ (Froude, inercia/gravedad) y $\mathrm{We} = \rho U^2 L/\sigma$ (Weber, inercia/tensión superficial). La adimensionalización separa esos diales entre sí. Por esta razón se pueden utilizar modelos a escala en túneles de viento para experimentos. Aunque el tamaño y la velocidad sean diferentes, si $\mathrm{Re}$ es el mismo, las ecuaciones adimensionales son las mismas y, por lo tanto, las soluciones son las mismas. Esta es la ley de similitud dinámica.

Un modelo a escala que no iguala Re resuelve otra ecuación#

En un túnel, reducir la longitud a un décimo y dejar la velocidad igual divide $\mathrm{Re}$ por diez. El coeficiente del término viscoso en la ecuación adimensional se multiplica por diez. El sitio donde el ala a escala real podía ignorar la viscosidad pasa a ser, en el modelo, un sitio donde la viscosidad pesa más.

La similitud dinámica conserva entonces el producto $UL$ . Se cambia el fluido, o se sube la velocidad en proporción inversa a la longitud. Igualar un solo dial deja los otros mal. Una superficie libre también exige cuadrar el número de Froude que aparece cada día en un fregadero, y la condición $U/\sqrt{gL}$ choca con la de $UL$ . El ensayo empieza por decidir qué dial se abandona.