Los insectos nadan en la miel: el mundo del flujo cambiado por el número de Reynolds

El número de Reynolds revelado por la adimensionalización y cómo la escala crea diferencias en el flujo.

Las bacterias no pueden nadar. Para ser exactos, la propulsión basada en la inercia, que nosotros llamamos "nadar", no funciona para las bacterias. A diferencia de nosotros, que avanzamos moviendo la cola y confiando en la inercia, las bacterias viven en un mundo donde la inercia ha desaparecido, un lugar muy parecido a la miel transparente. Esta publicación explora por qué las mismas ecuaciones de Navier-Stokes crean mundos completamente diferentes dependiendo de la escala, y cómo el número de Reynolds (la relación entre fuerzas inerciales y fuerzas viscosas), que resume esta diferencia en un solo número, se convierte en la "gramática oculta" de la mecánica de fluidos. Al final, también analizamos por qué la adimensionalización (el proceso de despojar a una ecuación de sus unidades para dejar solo su estructura) es la primera gramática de la mecánica de fluidos.

Mismas ecuaciones, diferentes mundos#

Las ballenas azules nadan en el océano. Las moléculas de agua son, por supuesto, la misma agua. Sin embargo, para una bacteria de 1 μm, el agua se siente como una sustancia completamente diferente. Esto se debe a que, incluso si se utilizan las mismas ecuaciones de Navier-Stokes, los términos dominantes cambian a medida que cambia la escala.

Las ecuaciones de Navier-Stokes para flujo incompresible tienen este aspecto:

\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u}

Donde $\rho$ es la densidad, $\mathbf{u}$ es el campo de velocidad, $p$ es la presión y $\mu$ es el coeficiente de viscosidad. El lado izquierdo representa la inercia (masa × aceleración), y $\mu\nabla^2\mathbf{u}$ en el lado derecho es el término de viscosidad (fricción interna). Estas dos fuerzas luchan en cada momento. ¿Quién gana?

Despojando las ecuaciones: Adimensionalización#

La respuesta la determina la escala. Para demostrarlo, debemos adimensionalizar las ecuaciones. Dividimos todas las magnitudes por una longitud representativa $L$ , una velocidad representativa $U$ , un tiempo representativo $L/U$ y una presión representativa $\rho U^2$ .

\tilde{\mathbf{x}} = \frac{\mathbf{x}}{L}, \quad \tilde{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{u}}{U}, \quad \tilde{t} = \frac{tU}{L}, \quad \tilde{p} = \frac{p}{\rho U^2}

El significado de cada variable es "medir esa magnitud física por su propio tamaño natural". Al sustituir estas definiciones en las ecuaciones de Navier-Stokes y reorganizarlas, queda una ecuación limpia en la que todas las unidades han desaparecido.

\frac{\partial \tilde{\mathbf{u}}}{\partial \tilde{t}} + (\tilde{\mathbf{u}}\cdot\tilde{\nabla})\tilde{\mathbf{u}} = -\tilde{\nabla}\tilde{p} + \frac{1}{\mathrm{Re}}\,\tilde{\nabla}^2 \tilde{\mathbf{u}}

Todas las unidades físicas desaparecen y solo queda un número $\mathrm{Re}$ . Este es el número de Reynolds.

\mathrm{Re} = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu} = \frac{\text{Fuerza Inercial}}{\text{Fuerza Viscosa}}

$\nu = \mu/\rho$ es la viscosidad cinemática. Cuanto mayores sean $\rho$ , $U$ y $L$ , más ganará la inercia; y cuanto mayor sea $\mu$ , más ganará la viscosidad. Incluso en la misma agua, si $L$ disminuye, $\mathrm{Re}$ cae linealmente. Al final, los términos que gobiernan el mundo cambian.

La escala cambia el número de Reynolds#

Sintámoslo con números. Basándonos en la viscosidad cinemática del agua $\nu \approx 10^{-6}\,\text{m}^2/\text{s}$ , el $\mathrm{Re}$ de los organismos representativos es el siguiente:

# Calcular el número de Reynolds con longitud/velocidad representativas
def reynolds(U, L, nu=1e-6):
    return U * L / nu
 
cases = [
    ("Ballena azul",   10.0,    25.0),
    ("Nadador",         1.0,     1.5),
    ("Alevín",          0.1,     0.01),
    ("Bacteria",       30e-6,   1e-6),
]
for name, U, L in cases:
    print(f"{name:15s} Re = {reynolds(U, L):10.2e}")
# Ballena azul     Re =   2.50e+08
# Nadador          Re =   1.50e+06
# Alevín           Re =   1.00e+03
# Bacteria         Re =   3.00e-05

La diferencia entre los valores máximo y mínimo es de nada menos que 13 órdenes de magnitud. Y eso en la misma agua. El número de Reynolds no es solo un número simple; es una dirección que etiqueta diferentes "mundos" incluso dentro del mismo fluido.

En regiones donde $\mathrm{Re} \ll 1$ , como ocurre con las bacterias, el término de inercia de la ecuación adimensional prácticamente desaparece. Multiplicar ambos lados por $\mathrm{Re}$ produce la ecuación de Stokes $-\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} = 0$ . No hay derivada temporal. En otras palabras, el flujo alrededor de las bacterias "no puede recordar el pasado". En el momento en que se retira la fuerza, la velocidad también se vuelve cero.

Construyendo la intuición a través de la visualización#

Intente manipular el número de Reynolds directamente en la simulación a continuación.

Si reduce el número de Reynolds a alrededor de 10, el campo de vectores se vuelve ordenado como un peine. Esto se debe a que la viscosidad disipa rápidamente todas las perturbaciones. Por el contrario, si lo aumenta a 1000, los vectores comienzan a agitarse de forma irregular. Este es el precursor de la turbulencia.

Lo siguiente es el flujo detrás de un cilindro. El punto de observación es la formación de la calle de vórtices de Von Kármán (vórtices que se desprenden periódicamente detrás del cilindro).

A $\mathrm{Re} \lesssim 40$ , el flujo detrás del cilindro permanece unido y simétrico. Cuando supera 40, los vórtices en la parte superior e inferior se desprenden alternativamente, mostrando un patrón en el que "la cola se agita periódicamente". El ondeó de las banderas, el silbido de las líneas eléctricas y los puentes largos vibrando con el viento se deben a la misma calle de vórtices de Von Kármán. Las frecuencias de los fenómenos naturales están ligadas al número de Strouhal $\mathrm{St} = fL/U \approx 0.2$ , por lo que si conoce $U$ y $L$ , puede incluso estimar el tono del sonido.

¿Por qué las bacterias están "en la miel"?#

A $\mathrm{Re} \ll 1$ , la inercia es cercana a cero. En el momento en que dejas de nadar, te detienes. Hay un resultado aún más sorprendente.

No puedes avanzar con movimientos reversibles en el tiempo — El teorema del scallop (o de la vieira) de Purcell.

Un movimiento de apertura y cierre, como el de una vieira, da como resultado un desplazamiento neto nulo. Por lo tanto, las bacterias deben girar flagelos helicoidales o realizar movimientos asimétricos similares a látigos para avanzar. Partiendo de las mismas ecuaciones de Navier-Stokes, la escala de $\mathrm{Re}$ ha cambiado la "lista de movimientos permitidos". La gramática del diseño del movimiento ha cambiado.

Por el contrario, cuando $\mathrm{Re}$ supera varios cientos de miles, el término de viscosidad de la ecuación se vuelve insignificantemente pequeño en comparación con el flujo general (con la excepción de la capa límite). Por lo tanto, el flujo promedio alrededor del ala de un avión se explica bastante bien mediante las ecuaciones de Euler para flujo no viscoso. Las ecuaciones no han cambiado; solo han cambiado los términos dominantes.

Lo que nos dice la adimensionalización#

El número de Reynolds es solo un ejemplo de un número adimensional. Por la misma lógica, aparecen continuamente "diales del mundo" como $\mathrm{Ma} = U/c$ (Mach, inercia/compresibilidad), $\mathrm{Fr} = U/\sqrt{gL}$ (Froude, inercia/gravedad) y $\mathrm{We} = \rho U^2 L/\sigma$ (Weber, inercia/tensión superficial). El núcleo de la adimensionalización es hacer que estos diales sean independientes. Por esta razón se pueden utilizar modelos a escala en túneles de viento para experimentos. Aunque el tamaño y la velocidad sean diferentes, si $\mathrm{Re}$ es el mismo, las ecuaciones adimensionales son las mismas y, por lo tanto, las soluciones son las mismas. Esta es la ley de similitud dinámica.

Puntos clave para recordar#

La adimensionalización es el proceso de despojar a una ecuación de sus unidades para dejar solo su esencia. En el lugar donde desaparecieron las unidades, aparecen diales del mundo como $\mathrm{Re}$ , $\mathrm{Ma}$ y $\mathrm{Fr}$ .
El número de Reynolds es el marcador de la inercia y la viscosidad. Incluso en la misma agua, si la escala cambia, la puntuación cambia y la cara del flujo cambia.
La razón por la que las bacterias viven en la "miel" es por la escala. El número de Reynolds, que es 13 órdenes de magnitud menor en la misma agua, es la evidencia y una señal de que la naturaleza requiere diferentes diseños de movimiento para cada escala.