Por qué un grito sobre el agua nunca llega abajo — Acústica a través de una interfaz difusa

Cómo un salto de impedancia refleja y refracta el sonido, reproducido con un modelo de compresibilidad débil

Un grito a todo pulmón desde el borde de una piscina apenas llega al nadador sumergido. Cerca del 99,9% del sonido en el aire rebota directamente en la superficie. La misma física rige la acústica oceánica, el ultrasonido médico y la predicción del ruido submarino. Este artículo sigue a Ballout et al. (2025) y reproduce la reflexión, la transmisión y la refracción del sonido a través de una interfaz con un solver acústico 1D escrito desde cero. Al final, un solo salto de impedancia bastará para predecirlo todo.

Primero, el artículo. Abbas Ballout et al., "Acoustic Propagation/Refraction Through Diffuse Interface Models", arXiv:2504.01727 (2025). La contribución cabe en una línea: al ajustar el término de compresibilidad débil (weak compressibility) de un sistema incompresible de Navier–Stokes/Cahn–Hilliard, los autores permiten que dos fases tengan velocidades del sonido distintas y propaguen las ondas acústicas a la velocidad correcta.

Impedancia acústica — la resistencia que un medio opone al sonido#

La resistencia que un medio ofrece a una onda sonora que lo atraviesa es su impedancia acústica (densidad por velocidad del sonido).

z = \rho\, c_s

Aquí $\rho$ es la densidad y $c_s$ la velocidad del sonido. El aire da $z_\text{air} = 1.2 \times 343 \approx 410$ ; el agua da $z_\text{water} = 1000 \times 1481 \approx 1.5\times10^6$ . Un factor de 3600 de diferencia.

La impedancia mide con qué facilidad el sonido se acopla a un medio. Cuando dos impedancias son parecidas, la onda cruza con suavidad. Cuando difieren enormemente, la mayor parte rebota. Ese salto descomunal en la superficie del agua es justo la razón por la que el grito se refleja.

Reflexión y transmisión — lo decide el salto de impedancia#

Para una onda plana con incidencia normal, el coeficiente de reflexión $R$ y el de transmisión $T$ dependen solo de la impedancia (ec. 37 del artículo).

R = \frac{z_2 - z_1}{z_1 + z_2}, \qquad T = \frac{2 z_2}{z_1 + z_2}

$z_1$ y $z_2$ son las impedancias del lado de incidencia y del lado de transmisión. Para aire-a-agua, $z_2 \gg z_1$ , así que $R \to 1$ : reflexión casi total. Curiosamente, el coeficiente de transmisión de presión $T$ puede superar 1. Una amplitud de presión mayor no viola la conservación de energía: la velocidad de partícula transmitida disminuye, de modo que el flujo de energía sigue equilibrado.

Manipula los parámetros en la simulación de abajo. Un pulso gaussiano parte de la izquierda y golpea la interfaz en el centro.

sound speed ratio c2/c1: 1.80density ratio ρ2/ρ1: 2.50interface width ε: 0.060

z1 = 1.00z2 = 4.50R = 0.636T = 1.636

Al ensanchar $z_2/z_1$ subiendo las razones de velocidad y densidad, el pulso transmitido se encoge mientras el reflejado crece. Al igualar ambas impedancias 1:1, el pulso atraviesa la interfaz de lado a lado. La reflexión desaparece.

El muro de los 13 grados — la ley de Snell y el ángulo crítico#

Con incidencia oblicua, la onda transmitida se desvía. La misma ley de Snell (la razón de los senos de los ángulos de incidencia y transmisión es igual a la razón de las velocidades del sonido) que rige la luz vale también para el sonido (ec. 41 del artículo).

\frac{\sin\theta_i}{c_{s1}} = \frac{\sin\theta_t}{c_{s2}}

$\theta_i$ es el ángulo de incidencia y $\theta_t$ el de transmisión. Cuando el medio de transmisión es más rápido ( $c_{s2} > c_{s1}$ , como del aire al agua), $\sin\theta_t$ supera 1 en cuanto el ángulo de incidencia pasa cierto umbral. No puede existir onda transmitida. Ese umbral es el ángulo crítico (critical angle).

\theta_c = \arcsin\!\left(\frac{c_{s1}}{c_{s2}}\right) = \arcsin\!\left(\frac{343}{1481}\right) \approx 13.4^\circ

Si una fuente en el aire incide sobre la superficie con más oblicuidad que 13,4 grados, ni una pizca de sonido entra al agua. Reflexión total.

Cambia el ángulo de incidencia y la razón de velocidades abajo.

incidence angle θi: 10°sound speed ratio c2/c1: 4.32

critical angle θc = 13.38°wave transmits into medium 2

Lleva el ángulo de incidencia hacia los 13 grados y el rayo transmitido casi se tumba sobre la superficie antes de desaparecer. En ese instante solo queda el rayo reflejado. Reduce la razón de velocidades y el ángulo crítico crece, admitiendo transmisión incluso con incidencia más pronunciada.

Cargar el sonido sobre un modelo de compresibilidad débil#

Un solver incompresible usa la presión solo como herramienta para imponer la restricción de divergencia. Ese campo de presión no puede propagar sonido. El artículo introduce una ecuación de compresibilidad débil (un término de derivada temporal añadido a la presión que otorga una velocidad del sonido finita).

\partial_t p + \rho\, c_s^2\, \nabla\cdot\mathbf{u} = 0

$p$ es la presión, $\mathbf{u}$ la velocidad y $c_s$ la velocidad del sonido local. La clave está en interpolar $c_s$ por fase. La densidad y la velocidad del sonido se mezclan mediante la concentración $c$ .

(\,\cdot\,) = (\,\cdot\,)_1\, c + (\,\cdot\,)_2\,(1 - c)

Con este cambio de una línea, el mismo solver transporta el sonido a $c_{s1}$ en el medio 1 y a $c_{s2}$ en el medio 2. Los autores lo discretizan con un método de Galerkin discontinuo de elementos espectrales (DGSEM) estable en entropía y muestran convergencia espectral.

El error de modelado que introduce una interfaz difusa#

A diferencia de VOF o level set, que recortan la interfaz a una sola celda, el modelo de Cahn–Hilliard la difumina en un ancho $\varepsilon$ .

c_0 = 1 - 0.5\left(1 + \tanh\frac{2x}{\varepsilon}\right)

Esa difuminación introduce un error de modelado. El artículo confirma numéricamente que el error decae como el cuadrado del ancho de interfaz, exactamente como $\mathcal{O}\!\left((\varepsilon/\lambda)^2\right)$ una vez normalizado por la longitud de onda. Cuando $\varepsilon \to 0$ , converge a la solución analítica de interfaz nítida vista arriba. El deslizador "interface width" de la simulación 1D es justamente este $\varepsilon$ . Súbelo y los pulsos transmitido y reflejado se difuminan un poco.

Python — reproducir los coeficientes en un tubo 1D#

Integramos las ecuaciones acústicas lineales con un esquema FDTD en malla escalonada. Disparamos un pulso gaussiano y comparamos las amplitudes reflejada y transmitida tras la interfaz con los valores analíticos.

import numpy as np
 
def impedance(rho, c):
    """Impedancia acustica z = rho * c (densidad x velocidad del sonido)"""
    return rho * c
 
def analytic_coeffs(z1, z2):
    """Coeficientes de reflexion / transmision, onda plana incidencia normal (ec. 37)"""
    R = (z2 - z1) / (z1 + z2)
    T = 2.0 * z2 / (z1 + z2)
    return R, T
 
def tanh_interface(x, eps):
    """Campo de concentracion que difumina la interfaz en un ancho eps (ec. 32)"""
    return 1.0 - 0.5 * (1.0 + np.tanh(2.0 * x / eps))
 
def run_acoustic_tube(rho1=1.0, c1=1.0, rho2=2.5, c2=1.8,
                      N=2000, L=4.0, eps=0.04, steps=2600):
    """Integra el sistema acustico lineal 1D y mide las amplitudes de los pulsos."""
    dx = L / N
    x = -L / 2 + (np.arange(N) + 0.5) * dx
    conc = tanh_interface(x, eps)            # 1: medio 1, 0: medio 2
    rho = rho1 * conc + rho2 * (1.0 - conc)  # interpolacion de densidad
    cs  = c1   * conc + c2   * (1.0 - conc)  # interpolacion de velocidad del sonido
    K   = rho * cs**2                        # modulo de compresibilidad rho c^2
 
    p = np.exp(-((x + 0.55) / 0.12)**2)      # pulso gaussiano hacia la derecha
    u = p / (rho1 * c1)                      # caracteristica del medio 1: u = p/(rho c)
 
    dt = 0.4 * dx / cs.max()                 # paso temporal limitado por CFL
    left, right = N // 4, 3 * N // 4         # sondas izquierda / derecha
    p_inc = p.max()
    refl_peak = tran_peak = 0.0
    for n in range(steps):
        u[:-1] += -dt / (0.5 * (rho[:-1] + rho[1:]) * dx) * (p[1:] - p[:-1])
        p[1:]  += -dt * K[1:] / dx * (u[1:] - u[:-1])
        if n > steps // 2:                   # despues de que el pulso cruza
            refl_peak = max(refl_peak, np.abs(p[:left]).max())
            tran_peak = max(tran_peak, np.abs(p[right:]).max())
    return p_inc, refl_peak, tran_peak
 
if __name__ == "__main__":
    rho1, c1, rho2, c2 = 1.0, 1.0, 2.5, 1.8
    z1, z2 = impedance(rho1, c1), impedance(rho2, c2)
    R, T = analytic_coeffs(z1, z2)
    p_inc, refl, tran = run_acoustic_tube(rho1, c1, rho2, c2)
    print(f"z1={z1:.3f}  z2={z2:.3f}")
    print(f"analitico  |R|={abs(R):.3f}  T={T:.3f}")
    print(f"medido     |R|={refl / p_inc:.3f}  T={tran / p_inc:.3f}")

Con $z_1=1.0$ y $z_2=4.5$ , los valores medidos siguen de cerca al analítico $|R|=0.636$ y $T=1.636$ . Refina la malla y reduce $\varepsilon$ , y la brecha se estrecha aún más.

Lo que generó dudas al reproducirlo#

La primera trampa fue separar la onda reflejada. La sonda izquierda ve la suma de la presión incidente y la reflejada. El artículo corre una simulación monofásica (single-phase) aparte para restar la parte incidente. El código de arriba esquiva esto midiendo solo la señal residual a la izquierda tras la marcha del pulso, pero es impreciso mientras las ondas incidente y reflejada se solapan.

Segundo, la compresibilidad débil no es compresibilidad real. No sirve para ondas de choque ni números de Mach altos. Los propios autores la restringen a acústica lineal de bajo Mach. Su propósito difiere de resolver la acústica directamente con un solver compresible.

Tercero, el caso 3D aire-agua consumió 67,5 millones de grados de libertad, porque la interfaz difusa necesita más de diez puntos comprimidos dentro para lograr precisión. El costo explota al adelgazar la interfaz. Que este método reemplace a VOF en la práctica depende de la escala del problema.

Un artículo para leer a continuación#

Lo esencial. El destino de una onda sonora pende del salto de impedancia $z_2/z_1$ . La incidencia oblicua se refracta por la ley de Snell y se refleja totalmente más allá de $\theta_c$ . Interpola un solo término de compresibilidad débil por fase y hasta un solver incompresible transporta el sonido a la velocidad correcta.

Para profundizar, conviene seguir con el artículo original de DGSEM iNS/CH estable en entropía del mismo grupo (Manzanero et al., 2020) o con estudios que extienden la analogía acústica de Ffowcs-Williams–Hawkings a flujos multifásicos.