¿Cómo manejar la interfaz?#

Una de las preguntas más fundamentales en la simulación de flujos multifásicos compresibles es "¿cómo representar numéricamente la interfaz entre dos fluidos?".

Existen principalmente tres tipos de métodos:

1. Volume of Fluid (VOF)
2. Level Set
3. Diffuse Interface (Interfaz difusa)

1. Volume of Fluid (VOF)#

Principio#

Se realiza el seguimiento de la fracción de volumen $\alpha$ que ocupa un fluido específico en cada celda.

$$\frac{\partial \alpha}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \alpha = 0$$

Si $\alpha = 1$, la celda está llena del fluido A; si $\alpha = 0$, está llena del fluido B; y si $0 < \alpha < 1$, la interfaz pasa por el interior de la celda.

Reconstrucción de la interfaz (Interface Reconstruction)#

El núcleo de VOF es reconstruir la posición de la interfaz dentro de la celda a partir de los valores de $\alpha$:

• SLIC (Simple Line Interface Calculation): Aproxima la interfaz de forma paralela a los ejes de coordenadas.
• PLIC (Piecewise Linear Interface Calculation): Aproxima la interfaz como una línea con una inclinación arbitraria.

En PLIC, el vector normal de la interfaz $\mathbf{n}$ se estima a partir del gradiente del campo $\alpha$:

$$\mathbf{n} = \frac{\nabla \alpha}{|\nabla \alpha|}$$

Ventajas y desventajas#

• Ventajas: La masa se conserva exactamente (forma conservativa).
• Desventajas: La reconstrucción de la interfaz es compleja y costosa. Difícil de extender a 3D. El cálculo de la curvatura es inexacto.

2. Level Set Method#

Principio#

Define la interfaz como el contorno cero de una función de distancia con signo (signed distance function) $\phi$.

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \phi = 0$$

• $\phi > 0$: Fluido A
• $\phi < 0$: Fluido B
• $\phi = 0$: Interfaz

Reinicialización (Re-initialization)#

Durante el proceso de advección, $\phi$ pierde la propiedad de función de distancia con signo ($|\nabla\phi| = 1$). Para restaurar esto, se resuelve una ecuación de reinicialización:

$$\frac{\partial \phi}{\partial \tau} + \text{sign}(\phi_0)(|\nabla\phi| - 1) = 0$$

Donde $\tau$ es el tiempo ficticio (pseudo-time).

Curvatura y tensión superficial#

Una gran ventaja de Level Set es que el cálculo de las magnitudes geométricas es natural:

$$\kappa = -\nabla \cdot \left(\frac{\nabla\phi}{|\nabla\phi|}\right)$$

La tensión superficial se convierte en una fuerza volumétrica mediante el modelo CSF (Continuum Surface Force):

$$\mathbf{f}_s = \sigma \kappa \delta(\phi) \nabla\phi$$

Ventajas y desventajas#

• Ventajas: Fácil cálculo de curvatura/normales. Maneja cambios de topología de forma natural.
• Desventajas: Falla en la conservación de la masa. La posición de la interfaz puede desplazarse durante el proceso de reinicialización.

CLSVOF: La combinación de ambos#

Se utiliza mucho el método Coupled Level Set and VOF (CLSVOF), que combina la conservación de masa de VOF con las ventajas geométricas de Level Set.

3. Diffuse Interface Method (Interfaz difusa)#

Cambio de filosofía#

Mientras que los dos métodos anteriores ven la interfaz como algo afilado (sharp), el método de interfaz difusa considera que la interfaz tiene intrínsecamente un espesor finito.

En este enfoque, no se requiere una ecuación de seguimiento de interfaz separada, y la fracción de volumen se incluye como parte del sistema de leyes de conservación.

5-equation Model (Allaire et al., 2002; Kapila et al., 2001)#

Es el modelo reducido más utilizado:

$$\frac{\partial (\alpha_1 \rho_1)}{\partial t} + \nabla \cdot (\alpha_1 \rho_1 \mathbf{u}) = 0$$ $$\frac{\partial (\alpha_2 \rho_2)}{\partial t} + \nabla \cdot (\alpha_2 \rho_2 \mathbf{u}) = 0$$ $$\frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + p\mathbf{I}) = 0$$ $$\frac{\partial E}{\partial t} + \nabla \cdot ((E + p)\mathbf{u}) = 0$$ $$\frac{\partial \alpha_1}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \alpha_1 = 0$$

La última ecuación es clave. El hecho de que la ecuación de advección de $\alpha_1$ sea no conservativa es el secreto para evitar oscilaciones de presión en la interfaz.

¿Por qué es necesaria la forma no conservativa?#

Si se resuelve $\alpha_1$ de forma conservativa:

$$\frac{\partial \alpha_1}{\partial t} + \nabla \cdot (\alpha_1 \mathbf{u}) = \alpha_1 \nabla \cdot \mathbf{u}$$

Si el término $\alpha_1 \nabla \cdot \mathbf{u}$ de la derecha no se trata adecuadamente durante la discretización, se producen oscilaciones de presión no físicas debido a la mezcla de la EOS.

La advección no conservativa mantiene $\alpha_1$ afilado en la interfaz mientras satisface el equilibrio de presión/velocidad.

7-equation Model (tipo Baer-Nunziato)#

Es un modelo de no equilibrio completo donde cada fase puede tener presión y velocidad independientes:

$$\frac{\partial \alpha_k \rho_k}{\partial t} + \nabla \cdot (\alpha_k \rho_k \mathbf{u}_k) = 0, \quad k = 1, 2$$

Se converge al equilibrio de presión/velocidad mediante un proceso de relajación. Matemáticamente es el más completo, pero el coste computacional es elevado.

Resumen comparativo#

Conclusión#

En flujos multifásicos compresibles, la interfaz difusa (especialmente el modelo de 5 ecuaciones) es la opción más natural y robusta. Muestra un rendimiento excelente en problemas de interacción choque-interfaz, cavitación y explosiones submarinas.

En el próximo artículo, trataremos cómo implementar estas técnicas realmente en código.

Alterna VOF / Level Set / Diffuse para comparar cómo cada uno representa el mismo círculo.