¿Qué es el flujo multifase compresible?#

Unas pocas burbujas en un tanque de agua bastan para frenar una onda de presión. Agua y aire, gotas de combustible en gas caliente, la bolsa de gas de una explosión submarina. Dos fases y el flujo ya es multifase. Con compresibilidad, cada fase trae su ecuación de estado (EOS). Las ondas de choque en la interfaz se reflejan, se transmiten y se refractan.

Un paso de tiempo armado con la velocidad del sonido de una fase pura se desajusta primero en la interfaz. Al llevar el deslizador de la sonda hasta una fracción de gas α=0.5, la curva cian de Wood baja hasta cerca de una centésima de la velocidad del sonido monofásica.

Con α en 0 o en 1, la curva de Wood coincide con la recta ámbar congelada. Solo cerca del centro Wood toca el fondo. Ese fondo alarga la escala de tiempo acústica unas cien veces.

Diferencia con el flujo compresible monofásico#

El sistema de Euler monofásico es corto.

$$\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x} = 0$$

El estado conservado es $\mathbf{U} = [\rho, \rho u, E]^T$. Con un cierre de gas ideal, $p = (\gamma - 1)\rho e$, el sistema queda cerrado.

En flujo multifase la EOS cambia a través de la interfaz. El gas usa $\gamma = 1.4$. El líquido usa un gas rigidizado.

$$p = (\gamma - 1)\rho e - \gamma p_\infty$$

Con γ igual a 1.4, (γ−1) vale 0.4. Solo el 40 % de la energía interna ρe aparece como presión. La ley del líquido resta γ p_∞ de ese mismo término. Una celda mezclada que hereda un γ intermedio arrastra también el coeficiente del desplazamiento. Densidad y energía pueden verse bien y, aun así, la presión recuperada no es el promedio aritmético de las dos vecinas.

El problema numérico aparece cuando las dos EOS se mezclan cerca de la interfaz. Promediar variables conservadas deja una oscilación de presión no física. Un campo de presión que se ve plano mientras el residuo no muere también aparece en residuos de presión monofásicos. Aquí la causa es la EOS mezclada, no una constante de turbulencia.

Conviene releer el Mach con el número de la figura. En α=0.5 la velocidad del sonido de la mezcla es una centésima del valor monofásico. Una velocidad que era Mach 0.01 en el líquido pasa a Mach 1 en la escala de la mezcla. La velocidad no cambió. La velocidad del sonido sí, en un factor de cien. Un CFL basado en el líquido toma pasos cien veces más chicos de lo que la mezcla pide. Un CFL basado en la mezcla adelgaza de golpe el paso de tiempo solo en las celdas de la interfaz.

Por qué es difícil: tres dificultades clave#

1. Oscilaciones de presión en la interfaz#

Desde la nota de Abgrall en 1994, apagar esta oscilación pasó a ser el punto de partida de la numérica multifase.

“

"La historia de la numérica multifase compresible es la historia de la lucha contra las oscilaciones de presión."

Un volumen finito conservativo simple deja que γ tome un valor intermedio en la interfaz y escribe una oscilación espuria.

Dos celdas pueden compartir la presión y aun así discrepar en ρ y en e, porque la EOS no coincide. Al devolver el $\mathbf{U} = [\rho, \rho u, E]^T$ promediado a $p = (\gamma - 1)\rho e$ o a $p = (\gamma - 1)\rho e - \gamma p_\infty$, la presión original no regresa. El error entra en la velocidad del paso siguiente, y esa velocidad empuja la densidad. La oscilación no se apaga en un solo paso.

2. Variedad de ecuaciones de estado#

El gas ideal no describe el agua. El agua pide una EOS de Tait o un gas rigidizado. La alta presión pide la EOS de Jones-Wilkins-Lee (JWL). Un flujo reactivo acopla la química al cierre. Cada EOS necesita su propio solucionador de Riemann, y el código se alarga.

3. Seguimiento vs captura de interfaz#

Hay dos maneras de sostener la interfaz.

Un método nítido deja la interfaz como una línea. El fluido fantasma extrapola el otro lado hacia el problema de Riemann. Un modelo difuso de 5 o 6 ecuaciones transporta la fracción de volumen α y reparte la interfaz en unas pocas celdas. El cambio de fase resulta más simple en el lado repartido. Un choque que golpea la interfaz de frente conserva mejor el salto de presión en el lado nítido. Si γ sigue mezclándose, ambos lados oscilan.

Por qué importa#

Los casos que lo necesitan son aquellos en los que una interfaz y un choque comparten una celda.

• Explosión submarina (UNDEX): evaluación de supervivencia de buques
• Combustión supersónica: inyección y mezcla de combustible en un scramjet
• Medicina: dinámica de burbujas en litotricia por ondas de choque
• Propulsión espacial: oscilación de propulsante criogénico

Un promedio conservado rompe la presión de interfaz#

Un promedio conservado es una implementación corta. Un flujo, igual que en monofásico. En la interfaz se desalinea. γ y p_∞ cambian de celda en celda, y promediar solo U no hace que la presión recuperada coincida con las vecinas. El pico puede parecer un choque. No es una onda física.

Si la interfaz es una discontinuidad real, la decisión siguiente es dónde vive el orden. La discretización compresible de alto orden en mallas no estructuradas muestra cómo un salto monofásico se apoya en una cara de celda. Antes de llevar esa idea a dos fases, conviene ver cómo el problema de Riemann monofásico devuelve la presión.