Para superar el sonido, ensancha el tubo — La tobera De Laval y el bloqueo

Aprieta el extremo de una manguera de jardín y el agua sale más rápido. Estrecharlo acelera el flujo: ahí se detiene la intuición. Sin embargo, una tobera de cohete tiene la forma exactamente contraria. Detrás de la garganta se abre como una trompeta. Una vez que el gas supera la velocidad del sonido, solo acelera más si el tubo se ensancha. Este artículo rastrea por qué ocurre esa inversión mediante la relación área-Mach, y luego te deja barrer la contrapresión para observar las siete etapas que se desarrollan dentro de la tobera.

Estrechar acelera; superar el sonido lo invierte#

En flujo compresible (un flujo cuya densidad cambia), el vínculo entre área y velocidad se invierte según el número de Mach. La relación área-velocidad del flujo isentrópico unidimensional lo dice en una línea.

\frac{dA}{A} = (M^2 - 1)\,\frac{dV}{V}

Aquí $A$ es el área de la sección, $V$ la velocidad y $M$ el número de Mach (velocidad entre velocidad del sonido). El signo lo es todo.

Por debajo de Mach 1 ( $M<1$ ), $M^2-1<0$ . Para subir la velocidad ( $dV>0$ ) hay que reducir el área ( $dA<0$ ). Es la intuición de apretar la manguera.

Por encima de Mach 1 ( $M>1$ ), $M^2-1>0$ . Para ir aún más rápido hay que agrandar el área. El signo se invierte.

Así que para empujar el gas más allá de la velocidad del sonido primero se estrecha el conducto hasta alcanzar Mach 1 y luego se ensancha desde ese punto. Esta forma de estrechar-y-ensanchar es la tobera convergente-divergente, o tobera de De Laval. El punto más estrecho se llama garganta.

Un área, dos números de Mach#

La relación área-Mach liga el área de la sección con el número de Mach en flujo isentrópico.

\frac{A}{A^*} = \frac{1}{M}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1 + \frac{\gamma-1}{2}M^2\right)\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}

Aquí $A^*$ es el área crítica donde $M=1$ (el área de la garganta) y $\gamma$ es la razón de calores específicos (a presión constante entre a volumen constante; alrededor de 1,4 para el aire).

El lado derecho es una curva en forma de U con un mínimo de 1 en $M=1$ . Por eso cualquier razón de áreas mayor que 1 tiene dos soluciones de Mach: una subsónica y otra supersónica.

Arrastra la razón de áreas en la gráfica de abajo.

area ratio A/A*: 3.0subsonic: M=0.197, p/p0=0.973  |  supersonic: M=2.637, p/p0=0.047

Al aumentar la razón de áreas, las dos raíces se separan hacia cada lado. La raíz subsónica tiende a cero mientras la supersónica sigue subiendo. Para la misma forma de tobera, qué rama sigue el flujo lo decide la presión en la salida: la contrapresión.

Bloqueo — el instante en que la garganta ya no admite más#

Al bajar gradualmente la contrapresión, el flujo másico a través de la tobera crece. Pero no para siempre. En el momento en que la velocidad en la garganta alcanza la del sonido ( $M=1$ ), choca contra un límite.

La razón está en la rapidez con que viaja la información. Las perturbaciones de presión se propagan aguas arriba a la velocidad del sonido. Cuando la garganta es sónica, un cambio de presión aguas abajo ya no puede remontar aguas arriba. El flujo aguas arriba de la garganta simplemente no puede "enterarse" de que la contrapresión bajó más. El flujo másico se fija en su máximo. Este estado se llama bloqueo (choking).

El flujo másico máximo de una tobera bloqueada queda fijado solo por el área de la garganta $A^*$ y las condiciones de remanso.

\dot{m} = A^* \, p_0 \sqrt{\frac{\gamma}{R T_0}} \left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}

Aquí $p_0$ es la presión de remanso, $T_0$ la temperatura de remanso y $R$ la constante del gas. Por mucho que siga cayendo la contrapresión, este valor no cambia. Por eso el empuje de un motor cohete se diseña a través del tamaño de la garganta.

Las siete etapas a medida que cae la contrapresión#

El verdadero drama empieza después del bloqueo. Al bajar la contrapresión $p_b$ desde la presión de remanso $p_0$ , el flujo interno cambia etapa a etapa.

Pruébalo en la simulación de abajo. Arrastra el deslizador de contrapresión de 1,0 hasta 0,05 y observa el color dentro de la tobera (número de Mach) y la curva de presión de debajo.

back pressure pb/p0: 0.85specific heat ratio gamma: 1.40

En orden, esto es lo que ocurre.

(a) Venturi subsónico. Con la contrapresión bastante alta, todo el flujo permanece subsónico. Alcanza su máxima velocidad en la garganta y vuelve a frenarse en la sección divergente. La presión toca fondo en la garganta y casi se recupera en la salida.

(b) Primer punto crítico. Baja más la contrapresión y la garganta alcanza exactamente $M=1$ . El bloqueo empieza aquí.

(c)–(d) Onda de choque dentro de la tobera. Bájala más y el flujo acelera supersónicamente en la sección divergente hasta toparse con una onda de choque normal (una discontinuidad que devuelve el flujo bruscamente a subsónico). Tras la onda el flujo es subsónico, así que desacelera y se ajusta a la contrapresión. Cuanto más baja la contrapresión, más aguas abajo se empuja la onda.

(e) Sobreexpandido. Cuando la onda sale por la salida, el interior de la tobera es completamente supersónico. Pero la presión de salida es menor que la contrapresión, así que ondas de choque oblicuas fuera de la tobera concilian la diferencia. Es el régimen sobreexpandido (overexpanded).

(f) Punto de diseño. Un único punto donde la presión de salida iguala exactamente la contrapresión. No hay ondas de choque ni dentro ni fuera. Es la condición de operación más eficiente.

(g) Subexpandido. Cuando la contrapresión baja del valor de diseño, el gas que sale sigue expandiéndose mediante ondas de expansión fuera de la tobera. Es el régimen subexpandido (underexpanded).

A medida que un cohete asciende y la presión ambiente (contrapresión) cae, pasa por (e) → (f) → (g) en ese orden. Por eso una tobera sobreexpandida a nivel del mar atraviesa su punto de diseño y se vuelve subexpandida a gran altitud.

Resolver la tobera en código#

Este código encuentra ambas raíces de la relación área-Mach por bisección y calcula la presión de diseño a partir de la razón de áreas de salida.

import numpy as np
 
def area_ratio(mach, gamma=1.4):
    """razón de áreas isentrópica A/A* en función de Mach"""
    t = 1.0 + 0.5 * (gamma - 1.0) * mach**2
    expo = (gamma + 1.0) / (2.0 * (gamma - 1.0))
    return (1.0 / mach) * (2.0 / (gamma + 1.0) * t) ** expo
 
def invert_area_ratio(target, gamma=1.4, branch="sub"):
    """raíz de Mach para un A/A* dado (rama subsónica o supersónica)"""
    lo, hi = (1e-4, 1.0) if branch == "sub" else (1.0, 8.0)
    for _ in range(80):
        mid = 0.5 * (lo + hi)
        f = area_ratio(mid, gamma)
        # la rama subsónica decrece, la supersónica crece
        ascending = (branch == "sup")
        if (f < target) == ascending:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    return 0.5 * (lo + hi)
 
def pressure_ratio(mach, gamma=1.4):
    """razón de presión estática/remanso p/p0"""
    return (1.0 + 0.5 * (gamma - 1.0) * mach**2) ** (-gamma / (gamma - 1.0))
 
# condición de diseño de una tobera con razón de áreas de salida 4.0
ae_over_astar = 4.0
m_exit = invert_area_ratio(ae_over_astar, branch="sup")
p_design = pressure_ratio(m_exit)
 
print(f"Mach de salida de diseno = {m_exit:.3f}")
print(f"pe/p0 de diseno          = {p_design:.4f}")
print(f"verificacion area-ratio  = {area_ratio(m_exit):.3f}")

La salida:

Mach de salida de diseno = 2.940
pe/p0 de diseno          = 0.0298
verificacion area-ratio  = 4.000

Una tobera con razón de áreas 4,0 acelera el flujo hasta Mach 2,94, donde la presión de salida es cerca del 3 % de la presión de remanso. Dicho de otro modo, esta tobera está en su punto de diseño cuando la contrapresión ronda el 3 % de $p_0$ . Como la razón de áreas recuperada coincide con el 4,0 de entrada, se confirma que las dos funciones son inversas exactas.

Para recordar#

Por debajo de la velocidad del sonido, estrechar acelera el flujo; por encima, hay que ensanchar para ir más rápido. De ahí la forma convergente-divergente.
Cuando la garganta alcanza $M=1$ , la tobera se bloquea. Bajar más la contrapresión no aumentará el flujo másico.
La misma tobera recorre los regímenes de venturi, choque interno, sobreexpandido, diseño y subexpandido según la contrapresión. El único punto donde la presión de salida iguala la contrapresión es el punto de diseño.