Para superar el sonido, ensancha el tubo — La tobera De Laval y el bloqueo

Bajar la contrapresión por debajo de 0.0298 no aumenta el gasto másico. Solo decide si la onda normal sigue dentro del divergente.

Apretar el extremo de una manguera de jardín saca el agua con más fuerza. Más estrecho, más rápido. Una tobera de cohete hace lo contrario detrás de la garganta: se abre como una trompeta. El gas que ya pasó la velocidad del sonido solo acelera si el conducto se ensancha.

Al subir el control de razón de áreas por encima de 1, las dos raíces de Mach que comparten una sola área se separan, una hacia cada lado.

area ratio A/A*: 3.0subsonic: M=0.197, p/p0=0.973  |  supersonic: M=2.637, p/p0=0.047

La raíz subsónica baja hacia 0 y la supersónica sube. Si la raíz supersónica queda cerca de 2.94 cuando la razón de áreas ronda 4, el punto de diseño impreso más adelante es un punto de esa curva.

Estrechar acelera; superar el sonido lo invierte#

En flujo compresible, donde la densidad cambia, el vínculo entre área y velocidad se invierte con el número de Mach. La relación área-velocidad del flujo isentrópico unidimensional escribe esa inversión en una línea.

\frac{dA}{A} = (M^2 - 1)\,\frac{dV}{V}

Aquí $A$ es el área de la sección, $V$ la velocidad y $M$ el número de Mach (velocidad entre velocidad del sonido). El signo decide hacia dónde tiene que moverse el área.

Con $M=0.5$ , $M^2-1=-0.75$ . Un 1% más de velocidad pide un 0.75% menos de área. Con $M=2$ , $M^2-1=3$ , así que ese mismo 1% pide un 3% más de área. La razón 3/0.75 es 4.

Por debajo de Mach 1 ( $M<1$ ), $M^2-1<0$ . Subir la velocidad ( $dV>0$ ) obliga a reducir el área ( $dA<0$ ). Ahí vive la manguera.

Por encima de Mach 1 ( $M>1$ ), $M^2-1>0$ . Ir más rápido obliga a agrandar el área. El signo se invierte.

Leído ese mismo cambio de signo junto al salto de una onda, sigue en por qué, pasado el sonido, ensanchar acelera.

Así que el gas primero se estrecha hasta tocar $M=1$ y solo después se ensancha. Esa forma, de estrechar y luego abrir, es la tobera convergente-divergente, o tobera de De Laval. El punto más estrecho es la garganta.

Un área, dos números de Mach#

La relación área-Mach ata el área de la sección al número de Mach en flujo isentrópico.

\frac{A}{A^*} = \frac{1}{M}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1 + \frac{\gamma-1}{2}M^2\right)\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}

$A^*$ es el área crítica donde $M=1$ (el área de la garganta) y $\gamma$ es la razón de calores específicos (a presión constante entre a volumen constante; cerca de 1.4 para el aire).

El lado derecho es una U con mínimo 1 en $M=1$ . Cada razón de áreas mayor que 1 trae dos raíces de Mach, una subsónica y otra supersónica.

El control de razón de áreas de arriba ya separa esas raíces. Una razón mayor pega la raíz subsónica cerca de 0 y levanta la supersónica. Con la misma forma, la contrapresión de salida elige la rama.

Bloqueo — el instante en que la garganta ya no admite más#

Al bajar la contrapresión, el gasto másico sube. No sin techo. La subida se detiene cuando la velocidad en la garganta alcanza la del sonido ( $M=1$ ).

Una perturbación de presión viaja aguas arriba a la velocidad del sonido. Con la garganta sónica, una señal de presión aguas abajo no la cruza. El flujo aguas arriba de la garganta no se entera de que la contrapresión bajó otra vez. El gasto másico se fija en su máximo. Ese estado es el bloqueo (choking).

El gasto másico máximo de una tobera bloqueada se escribe solo con el área de la garganta $A^*$ y el estado de remanso.

\dot{m} = A^* \, p_0 \sqrt{\frac{\gamma}{R T_0}} \left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}

Aquí $p_0$ es la presión de remanso, $T_0$ la temperatura de remanso y $R$ la constante del gas.

El factor que solo lleva $\gamma$ es $(2/(\gamma+1))^{(\gamma+1)/(2(\gamma-1))}$ . Con $\gamma=1.4$ vale $(5/6)^3\approx 0.5787$ , y $(5/6)^3=125/216=0.5787037$ , así que 0.5787 redondea el cuarto dígito. $p_b$ no entra. Con la garganta sónica, $A^*$ , $p_0$ , $T_0$ , $R$ y 0.5787 fijan el gasto. La contrapresión solo elige si el divergente traga la onda o la empuja afuera.

El empuje de un cohete se dimensiona con la garganta por esta fórmula. La contrapresión queda fuera del factor.

Las siete etapas a medida que cae la contrapresión#

La historia dentro de la tobera empieza después del bloqueo. Al bajar la contrapresión $p_b$ desde la presión de remanso $p_0$ , el flujo interno cambia de tramo. Los tramos van de una razón de contrapresión 1.0 hasta 0.05. El deslizador espera a que la razón de presiones de diseño impresa esté en la página.

(a) Venturi subsónico. Con la contrapresión bastante alta, todo el flujo permanece subsónico. Alcanza su máxima velocidad en la garganta y vuelve a frenarse en la sección divergente. La presión toca fondo en la garganta y casi se recupera en la salida.

(b) Primer punto crítico. Al bajar más la contrapresión y la garganta alcanza exactamente $M=1$ . El bloqueo empieza aquí.

(c)–(d) Onda de choque dentro de la tobera. Con una bajada mayor el flujo acelera supersónicamente en la sección divergente hasta toparse con una onda de choque normal (una discontinuidad que devuelve el flujo bruscamente a subsónico). Tras la onda el flujo es subsónico, así que desacelera y se ajusta a la contrapresión. Cuanto más baja la contrapresión, más aguas abajo se empuja la onda.

(e) Sobreexpandido. Cuando la onda sale por la salida, el interior de la tobera es completamente supersónico. Pero la presión de salida es menor que la contrapresión, así que ondas de choque oblicuas fuera de la tobera concilian la diferencia. Es el régimen sobreexpandido (overexpanded).

(f) Punto de diseño. Un único punto donde la presión de salida iguala exactamente la contrapresión. No hay ondas de choque ni dentro ni fuera. Es la condición de operación más eficiente.

(g) Subexpandido. Cuando la contrapresión baja del valor de diseño, el gas que sale sigue expandiéndose mediante ondas de expansión fuera de la tobera. Es el régimen subexpandido (underexpanded).

A medida que un cohete asciende y la presión ambiente (contrapresión) cae, pasa por (e) → (f) → (g) en ese orden. Por eso una tobera sobreexpandida a nivel del mar atraviesa su punto de diseño y se vuelve subexpandida a gran altitud.

Resolver la tobera en código#

La bisección encuentra la raíz supersónica de la relación área-Mach y la presión de diseño para una razón de áreas de salida de 4.0.

import numpy as np
 
def area_ratio(mach, gamma=1.4):
    """razón de áreas isentrópica A/A* en función de Mach"""
    t = 1.0 + 0.5 * (gamma - 1.0) * mach**2
    expo = (gamma + 1.0) / (2.0 * (gamma - 1.0))
    return (1.0 / mach) * (2.0 / (gamma + 1.0) * t) ** expo
 
def invert_area_ratio(target, gamma=1.4, branch="sub"):
    """raíz de Mach para un A/A* dado (rama subsónica o supersónica)"""
    lo, hi = (1e-4, 1.0) if branch == "sub" else (1.0, 8.0)
    for _ in range(80):
        mid = 0.5 * (lo + hi)
        f = area_ratio(mid, gamma)
        # la rama subsónica decrece, la supersónica crece
        ascending = (branch == "sup")
        if (f < target) == ascending:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    return 0.5 * (lo + hi)
 
def pressure_ratio(mach, gamma=1.4):
    """razón de presión estática/remanso p/p0"""
    return (1.0 + 0.5 * (gamma - 1.0) * mach**2) ** (-gamma / (gamma - 1.0))
 
# condición de diseño de una tobera con razón de áreas de salida 4.0
ae_over_astar = 4.0
m_exit = invert_area_ratio(ae_over_astar, branch="sup")
p_design = pressure_ratio(m_exit)
 
print(f"Mach de salida de diseno = {m_exit:.3f}")
print(f"pe/p0 de diseno          = {p_design:.4f}")
print(f"verificacion area-ratio  = {area_ratio(m_exit):.3f}")

La salida:

Mach de salida de diseno = 2.940
pe/p0 de diseno          = 0.0298
verificacion area-ratio  = 4.000

back pressure pb/p0: 0.85specific heat ratio gamma: 1.40

Al mover el deslizador de razón de contrapresión desde 1.0 hasta 0.05, el color dentro de la tobera (número de Mach) y la curva de presión de abajo pasan de (a) a (g). Cerca de 0.0298, la presión de salida se encuentra con la contrapresión. Por encima, una onda normal permanece dentro del divergente. Más abajo, la expansión sigue fuera de la salida.

Con $\gamma=1.4$ en $M=1$ , el corchete vale 1 y $A/A^*$ vale 1. Esa es la garganta. El punto de diseño impreso es la rama supersónica. Devolver $M=2.940$ a la fórmula de área da 3.9993 y una razón de presiones 0.029795, frente al 4.000 y al 0.0298 impresos. La otra raíz de la razón 4 es subsónica: $M$ cerca de 0.1465 y $p/p_0$ cerca de 0.985. El listado mantiene branch en sup y no imprime esa raíz.

El punto de diseño impreso es Mach 2.940 y una razón de presiones de 0.0298. La presión de salida ronda el 3% de la presión de remanso. Cuando la razón de áreas vuelve como 4.000, las dos funciones son inversas entre sí.

Con la contrapresión por encima de 0.0298, el divergente se traga la onda#

0.0298 es donde la presión estática de salida iguala la contrapresión. Por encima, el tramo supersónico del divergente muere en una onda normal y el área de más frena el flujo.

Por debajo, la onda sale y se vuelve oblicua. ¿Esa onda de fuera es la misma razón de presiones que un tren atrapado en un conducto? Un tren de ondas oblicuas en una toma supersónica sigue la pregunta.