La onda de choque que aparece a diario en el fregadero — número de Froude y resalto hidráulico

Con el grifo abierto, el agua cae sobre el fondo plano del fregadero. Una lámina fina y rápida se extiende desde el punto de impacto, y en cierto radio el agua se apila de golpe formando un anillo grueso. Ese anillo es un resalto hidráulico(hydraulic jump). Este suceso cotidiano de la cocina, sorprendentemente, obedece las mismas ecuaciones que una onda de choque nacida en una tobera supersónica. El número de Froude gobierna el flujo en canal abierto(open channel): el calado puede saltar en un instante, y el agua somera imita a un gas compresible. Un poco de Python y dos simulaciones muestran por qué el anillo del fregadero y la onda de choque de una tobera de Laval son primos.

Al mover los controles de $q$ y del calado $h$, cambia la rama ocupada sobre una misma curva de energía específica.

Un valor de $E$ corresponde a dos calados: la rama superior (flujo profundo y lento) y la rama inferior (flujo somero y rápido). Al pasar la punta en el calado crítico $h_c$, los dos mundos se separan.

Un flujo que no llena la tubería#

Un canal abierto es una vía de agua con su parte superior expuesta a la atmósfera. Ríos, cunetas de drenaje y canales de riego caen todos en esta categoría. El agua que llena una tubería cerrada la empuja una diferencia de presión entre entrada y salida. El agua en canal abierto es distinta. La pendiente del fondo y la gravedad impulsan el flujo.

La clave es que la superficie libre puede subir y bajar. Las ondas se propagan a lo largo de esa superficie. En agua somera, la velocidad de una onda superficial pequeña depende solo del calado.

Aquí $c$ es la velocidad de la onda de agua somera(shallow-water wave), $g$ es la aceleración de la gravedad y $h$ es el calado. Cuanto más profunda el agua, más rápidas las ondas.

Energía específica y calado crítico#

La energía del flujo medida respecto al fondo, expresada como una altura(head, energía por unidad de peso, en unidades de longitud), es la energía específica(specific energy). En un canal rectangular de ancho $b$ constante, escribiendo el caudal por unidad de ancho como $q = Q/b$,

El primer término $h$ es energía potencial (calado); el segundo es energía cinética. Fija $q$ y traza $E$ como función de $h$: aparece una curva interesante. Con un calado demasiado pequeño la velocidad dispara el término cinético; con uno demasiado grande domina el término potencial. En algún punto intermedio, $E$ alcanza un mínimo.

Resolver $dE/dh = 0$ da el calado en ese punto.

Este $h_c$ es el calado crítico(critical depth). Ahí $E_{\min} = \tfrac{3}{2} h_c$, y la velocidad iguala exactamente a la velocidad de la onda: $u_c = \sqrt{g h_c}$.

El número de Froude: régimen lento y rápido#

La razón entre la velocidad del flujo y la velocidad de la onda fija el carácter del flujo. Ese grupo adimensional es el número de Froude(razón entre fuerza de inercia y velocidad de onda gravitatoria).

Cuando $Fr < 1$, el flujo es más lento que sus ondas. Una perturbación de la superficie causada por un obstáculo aguas abajo puede remontar aguas arriba. Este flujo profundo y tranquilo se llama subcrítico(subcritical flow). Cuando $Fr > 1$, el flujo adelanta a sus ondas. Las señales de aguas abajo nunca llegan aguas arriba. Este flujo somero y rápido es supercrítico(supercritical flow). $Fr = 1$ es el estado crítico, y ahí el calado es exactamente $h_c$.

Ya se intuye a dónde va esto. El número de Froude cumple el mismísimo papel que el número de Mach (razón entre velocidad del flujo y del sonido) en la dinámica de gases. Igual que el sonido transporta información en un gas compresible, en un canal abierto lo hacen las ondas de agua somera. Supercrítico es supersónico; subcrítico es subsónico. Dentro de una tobera esa inversión es el caso en que el conducto tiene que ensancharse para que el flujo acelere.

El resalto hidráulico: el instante en que el agua engrosa#

Surge un problema cuando un flujo supercrítico debe volverse subcrítico. En la curva de energía específica no hay camino suave de la rama inferior a la superior. La naturaleza lo resuelve con una discontinuidad: el agua somera y rápida salta de golpe a agua gruesa y lenta. Eso es el resalto hidráulico.

La relación que une ambos lados del resalto no proviene de la energía, sino de la conservación de la cantidad de movimiento, porque un rodillo turbulento (roller) dentro del resalto devora energía sin piedad. Al equilibrar el flujo de cantidad de movimiento y la presión hidrostática a ambos lados se obtiene la relación de calados conjugados(conjugate depth) entre el calado aguas arriba $h_1$ y el calado aguas abajo $h_2$.

$Fr_1$ es el número de Froude justo antes del resalto (supercrítico). La energía específica perdida en el resalto sale limpiamente.

Esa pérdida es justo la razón por la que los ingenieros crean resaltos hidráulicos a propósito en aliviaderos de presas y cuencos amortiguadores. Dispersan en turbulencia la energía cinética destructiva del agua rápida, protegiendo el lecho aguas abajo de la erosión.

Reproducirlo en código#

El calado conjugado y la pérdida de energía salen del cálculo directo. El caso usa un caudal por unidad de ancho $q = 0.8\ \mathrm{m^2/s}$ y un calado aguas arriba $h_1 = 0.2\ \mathrm{m}$.

import numpy as np
 
g = 9.81  # m/s^2
 
def froude(u, h):
    """Número de Froude = velocidad del flujo / velocidad de onda somera."""
    return u / np.sqrt(g * h)
 
def critical_depth(q):
    """Calado crítico para el caudal unitario q (energía específica mínima)."""
    return (q**2 / g) ** (1.0 / 3.0)
 
def specific_energy(h, q):
    """Energía específica E = h + q^2 / (2 g h^2)."""
    return h + q**2 / (2.0 * g * h**2)
 
def conjugate_depth(h1, q):
    """Calado aguas abajo h2 para un calado aguas arriba (supercrítico) h1."""
    u1 = q / h1
    fr1 = froude(u1, h1)
    return 0.5 * h1 * (np.sqrt(1.0 + 8.0 * fr1**2) - 1.0)
 
def jump_dissipation(h1, h2):
    """Energía específica perdida en el resalto (disipación turbulenta)."""
    return (h2 - h1)**3 / (4.0 * h1 * h2)
 
q, h1 = 0.8, 0.2
u1 = q / h1
h2 = conjugate_depth(h1, q)
u2 = q / h2
 
print(f"aguas arriba (super)  u1={u1:.2f} m/s  Fr1={froude(u1,h1):.2f}")
print(f"tras el resalto       h2={h2:.3f} m  u2={u2:.2f} m/s  Fr2={froude(u2,h2):.2f}")
print(f"calado crítico        hc={critical_depth(q):.3f} m")
print(f"pérdida de energía    dE={jump_dissipation(h1,h2):.3f} m")

La salida es la siguiente.

aguas arriba (super)  u1=4.00 m/s  Fr1=2.86
tras el resalto       h2=0.714 m  u2=1.12 m/s  Fr2=0.42
calado crítico        hc=0.403 m
pérdida de energía    dE=0.238 m

Al subir el control del $Fr_1$ aguas arriba, la lámina vista de perfil engrosa y el rodillo se vuelve violento.

Con $Fr_1$ cerca de 1.5 el resalto se debilita en una ondulación suave. Por encima de 5, $h_2/h_1$ supera seis, con un violento rodillo de espuma blanca.

Un flujo supercrítico con $Fr_1 = 2.86$ pasó a un flujo subcrítico con $Fr_2 = 0.42$. El calado engrosó por un factor de 3.6 y la velocidad se frenó en el mismo factor (continuidad, $u h = \text{const}$). El precio son 0.238 m de energía específica dispersados en turbulencia. Que el calado aguas abajo $h_2 = 0.714$ m supere el calado crítico $h_c = 0.403$ m confirma que el flujo ya es subcrítico.

Leídos como energía específica, los números impresos cierran el resalto. La velocidad de 4.00 m/s es el caudal 0.8 partido por el calado 0.2. La raíz de 9.81 por 0.2 ronda 1.40 m/s, y 4.00 partido por 1.40 es el Fr impreso 2.86: una onda de superficie no remonta. La energía específica, calado más velocidad al cuadrado sobre 2g, suma unos 1.016 m aguas arriba y 0.778 m aguas abajo. La diferencia es la pérdida impresa, 0.238 m, cerca de un cuarto de la carga de aguas arriba. El calado crítico 0.403 m queda entre 0.2 y 0.714, así que el resalto cruza la punta. El mínimo es 1.5 veces 0.403, unos 0.605 m, y 0.778 m sigue por encima.

Fr igual a 1 en la relación conjugada da una razón de calados de 1, sin resalto. El Fr impreso 2.86 da unos 3.57, y por 0.2 m sale 0.714 m. Fr 5 es 1 más 200, raíz cercana a 14.2, y la mitad menos 1 ronda 6.6. Es la misma relación que la frase en la que la razón pasa de seis.

Cuando el agua somera se hace pasar por un gas#

Aquí está lo mejor del artículo. La ecuación de continuidad en régimen estacionario para agua somera en un canal de ancho constante es $u h = \text{const}$. La ecuación de continuidad estacionaria para un gas compresible en un conducto de área constante es $\rho v = \text{const}$. El calado $h$ corresponde exactamente a la densidad del gas $\rho$.

Derivar la ecuación de energía del agua somera $h + u^2/(2g) = \text{const}$ da $u\,du + g\,dh = 0$. Al insertar la velocidad de onda $u_c = \sqrt{g h}$, las ondas de agua somera ocupan el mismo asiento que las ondas acústicas en un gas. Reuniéndolo todo, resulta esta analogía.

Esta analogía corresponde a un gas ficticio con $\kappa = 2$ ($h \leftrightarrow T$, $h^2 \leftrightarrow p$). Por eso los primeros investigadores aeronáuticos, en lugar de costosos conductos de viento supersónicos, colocaban objetos en una "mesa de agua somera(shallow water table)" y estudiaban cualitativamente los patrones de choque observando los resaltos de la superficie. El anillo del fregadero se parece a una onda de choque de proa(bow shock) delante de un cuerpo bidimensional precisamente por esta razón.

Ajustar la altura del resalto con energía yerra el calado aguas abajo#

El número de Froude $Fr = u/\sqrt{gh}$ es el número de Mach del flujo en canal abierto. $Fr<1$ es subcrítico, $Fr>1$ es supercrítico, $Fr=1$ es crítico. Si la altura del resalto se ajusta conservando la energía específica, el estado aguas abajo se queda en la rama de aguas arriba. Los 0.714 m impresos salen de la cantidad de movimiento. Cambiar el calado conjugado $h_2/h_1 = \tfrac{1}{2}(\sqrt{1+8Fr_1^2}-1)$ por un enunciado de energía no devuelve ese calado.

El mismo Fr parte una superficie libre en otro sitio: una estela. La razón de que subir solo la velocidad deje el ángulo de la cuña clavado está en dónde el Froude de calado abre el ángulo de Kelvin. El Fr del resalto y el de la estela miden la velocidad con la velocidad de onda. Uno fija una razón de calados. El otro fija un ángulo.