可視化で理解するReynolds数と流れの遷移

Reynolds数とは何か#

流体流れを理解する上で最も重要な無次元数の一つが**Reynolds数(Re)**です。これは慣性力と粘性力の比を表します。

$Re = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu}$

ここで:

• $\rho$: 流体の密度 $[\text{kg/m}^3]$
• $U$: 特性速度 $[\text{m/s}]$
• $L$: 特性長さ $[\text{m}]$
• $\mu$: 動粘性係数 $[\text{Pa·s}]$
• $\nu = \mu/\rho$: 動粘度 $[\text{m}^2/\text{s}]$

流れ域の区分#

流れ遷移の物理的メカニズム#

層流から乱流への遷移はケルビン-ヘルムホルツ(Kelvin-Helmholtz)不安定から始まります。速度勾配が存在する境界で小さな擾乱が増幅され、渦(vortex)が形成され、それが連鎖的にエネルギーカスケードを引き起こします。

速度プロファイルの変化を数式で表すと:

$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u}$

Navier-Stokes方程式の左辺の非線形項 $(\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}$ が慣性を担い、右辺の $\nu \nabla^2 \mathbf{u}$ が粘性減衰を担います。Reynolds数はこの2項の相対的な大きさを示します。

速度場の可視化:Reynolds数による流れの変化#

下のシミュレーションでReynolds数の変化に伴う速度場の変化を直接確認してください:

観察ポイント:

• 低Re (Re ≈ 1~50): ベクトルが滑らかで規則的に整列 — 粘性が擾乱を即座に減衰
• 中Re (Re ≈ 100~500): 障害物後流で非対称性が出現 — 慣性力が粘性力に匹敵
• 高Re (Re > 1000): ベクトル方向が不規則化し、渦構造が発達

円柱周りの流線:カルマン渦列#

円柱(cylinder)を通過する流れでReynolds数が増加すると、周期的な渦放出現象である**カルマン渦列(Kármán vortex street)**が現れます。

放出周波数はStrouhal数 $St$ で正規化されます:

$St = \frac{f D}{U_\infty}$

ここで $f$ は渦放出周波数、$D$ は円柱直径、$U_\infty$ は自由流速です。円柱の場合 $St \approx 0.2$ ($100 < Re < 10^5$) でほぼ一定に保たれます。

下のシミュレーションで円柱後流の流線パターンを確認してください:

観察ポイント:

• 円柱前面の**よどみ点(stagnation point)**で流線が分かれることを確認
• 後流域で対称性が崩れ周期的渦放出が発生する過程を観察
• speed を上げる(流速を速くする)と後流不安定がより強くなることが分かる

数値解析でのReynolds数:格子要求#

乱流シミュレーション(DNS, Direct Numerical Simulation)では最も小さい長さスケールである**コルモゴロフ微小スケール(Kolmogorov microscale)**まで解像する必要があります:

$\eta = \left(\frac{\nu^3}{\varepsilon}\right)^{1/4}$

全格子数はReynolds数に対して次のようにスケールします:

$N \sim Re^{9/4}$

つまり $Re$ が10倍に増えると格子数は約178倍増える必要があります。これが実用的な乱流シミュレーションにRANSやLESといった乱流モデルが必要な理由です。

まとめ#

• Reynolds数は慣性力/粘性力の比で、流れの特性を決める核心的な無次元数
• 臨界 $Re$ を超えると層流 → 遷移 → 乱流の経路を辿る
• 円柱後流ではカルマン渦列が発生し、Strouhal数で特性化される
• DNS乱流シミュレーションの格子コストは $Re^{9/4}$ でスケールするため、高Re流れには乱流モデルが必須

来週は**有限体積法(FVM)**を使ってこのNavier-Stokes方程式をどう離散化するか、そして上流差分vs中央差分スキームが精度に与える影響を扱います。