정지한 채로 데워지는 유체 — 자연대류와 Rayleigh 수 1708

아래에서 불을 켜도 유체는 한동안 꼼짝하지 않는다. 바닥은 뜨겁고 천장은 차가운데, 액체는 정지한 채로 열만 위로 흘려보낸다. 그러다 어느 순간 줄무늬 같은 소용돌이가 한꺼번에 켜진다. 이 글은 그 '문턱'이 왜 Rayleigh 수 1708인지, 그리고 데워진 벽이 얼마나 잘 식는지를 정하는 Nusselt 상관식까지 따라간다. 끝에서는 임계값을 직접 넘겨 보고, 수직 평판의 열손실을 Python으로 계산한다.

부력과 점성이 맞붙는 자리#

자연대류(외부 펌프 없이 밀도 차가 만드는 흐름)는 세 힘의 싸움이다. 바닥이 데워지면 그 위 유체가 팽창해 가벼워진다. 가벼운 덩어리는 떠오르려 한다. 이것이 부력이다.

부력만 있으면 흐름은 즉시 일어나야 한다. 그런데 두 가지가 발목을 잡는다. 점성은 떠오르는 덩어리를 주변과 마찰로 끌어내린다. 열확산은 뜨거운 덩어리의 온도를 빠르게 흐려, 부력의 원동력인 온도차 자체를 지운다.

그래서 결론은 단순한 경쟁이다. 두 제동(점성 + 열확산)이 부력을 이기면 유체는 정지한다. 부력이 이기면 대류가 켜진다. 어느 쪽이 이길지를 한 숫자로 답하는 것이 이 글의 목표다.

Boussinesq 근사 — 밀도 변화를 한 항으로#

밀도가 온도에 따라 변하면 방정식이 복잡해진다. Boussinesq 근사(밀도를 중력 항에서만 변수로 취급하는 단순화)는 이 짐을 덜어 준다. 다른 모든 곳에서 밀도는 상수, 오직 부력 항에서만 온도에 반응한다.

체적 열팽창계수(온도가 1도 오를 때 밀도가 줄어드는 비율)를 정의한다.

\beta \equiv -\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_P

여기서 $\beta$ 는 열팽창계수, $\rho$ 는 밀도, $T$ 는 온도다. 이상기체라면 $\beta = 1/T$ 로 깔끔하게 떨어진다.

이 정의로 밀도 차를 온도 차로 바꾼다.

\frac{\rho_\infty - \rho}{\rho} \approx \beta\,(T - T_\infty)

$\rho_\infty$ , $T_\infty$ 는 멀리 떨어진 정지 유체의 밀도와 온도다. 이 한 줄이 수직 평판 경계층의 운동량 방정식에 부력 소스를 심는다.

u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = g\beta\,(T - T_\infty) + \nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

$u$ , $v$ 는 속도 성분, $g$ 는 중력가속도, $\nu$ 는 동점성계수다. 우변 첫 항이 부력, 둘째 항이 점성 저항이다. 에너지 방정식은 온도를 확산으로 끌고 간다.

u\frac{\partial T}{\partial x} + v\frac{\partial T}{\partial y} = \alpha\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}

$\alpha$ 는 열확산계수(열이 퍼지는 속도)다. 운동량과 에너지가 부력으로 묶인 이 한 쌍이 자연대류의 뼈대다.

Grashof와 Rayleigh — 두 무차원수의 분업#

방정식을 무차원화하면 부력 항이 하나의 수로 뭉친다. Grashof 수다.

\mathrm{Gr} = \frac{g\beta\,(T_s - T_\infty)\,L^3}{\nu^2} \sim \frac{\text{부력}}{\text{점성력}}

$T_s$ 는 벽 온도, $L$ 은 특성 길이다. Grashof는 강제대류의 Reynolds 수가 하는 일을 자연대류에서 떠맡는다. 부력이 점성을 얼마나 압도하는지를 잰다.

하지만 부력의 적은 점성만이 아니다. 열확산도 온도차를 지운다. 이 둘째 제동을 셈에 넣으려면 Prandtl 수(운동량 확산/열확산 비, $\mathrm{Pr} = \nu/\alpha$ )를 곱한다. 그 결과가 Rayleigh 수다.

\mathrm{Ra} = \mathrm{Gr}\cdot\mathrm{Pr} = \frac{g\beta\,(T_s - T_\infty)\,L^3}{\nu\,\alpha}

분모에 점성 $\nu$ 와 열확산 $\alpha$ 가 함께 들어간다. 이것이 핵심이다. 대류가 켜질지는 Gr 단독이 아니라 Ra가 정한다. 부력이 두 제동의 곱을 이겨야 흐름이 산다.

1708이라는 문턱#

아래에서 데워지는 유체 층을 선형 안정성 분석에 넣으면 깔끔한 임계값이 나온다. 위아래가 모두 고체 벽이면 임계 Rayleigh 수는 $\mathrm{Ra}_c = 1708$ 이다. 이보다 작으면 모든 교란이 점성과 열확산에 잡아먹혀 사라진다. 유체는 정지하고 열은 순수 전도로만 전달된다.

$\mathrm{Ra}_c$ 를 넘는 순간 패턴이 켜진다. 규칙적으로 나란히 도는 롤 셀, 곧 Bénard 셀이다. 셀의 폭은 층 두께의 약 두 배다.

아래 시뮬레이션에서 직접 조작해보자.

Ra = 1.0e+4

critical Ra_c = 1708 · state: steady convection rolls (Benard cells)

Ra를 1708 아래로 내리면 입자가 거의 멈추고 온도장은 위아래로 곱게 갈린다. 1708을 넘기면 반대로 도는 셀이 켜지며 입자가 순환하기 시작한다. Ra를 더 올리면 순환이 거세지고 경계층이 얇아진다.

Python — 수직 평판의 Nusselt를 따라가기#

벽이 데워졌을 때 얼마나 잘 식는가? 답은 Nusselt 수(전도 대비 대류 열전달 비, $\mathrm{Nu} = hL/k$ )다. 수직 등온 평판에는 전 영역에서 통하는 Churchill–Chu 상관식이 있다. 60도 벽을 20도 공기 속에 세운 경우를 계산해 보자.

import numpy as np
 
def rayleigh_number(Ts, Tinf, L, beta, nu, alpha, g=9.81):
    # 부력 대 (점성 x 열확산) 의 비
    return g * beta * (Ts - Tinf) * L**3 / (nu * alpha)
 
def churchill_chu_vertical(Ra, Pr):
    # 수직 등온 평판 — 전 영역 유효
    denom = (1.0 + (0.492 / Pr)**(9 / 16))**(8 / 27)
    return (0.825 + 0.387 * Ra**(1 / 6) / denom)**2
 
# 막온도 기준 공기 물성
nu, alpha, Pr, k = 1.85e-5, 2.60e-5, 0.71, 0.027
Ts, Tinf, L = 60.0, 20.0, 0.30          # 60C 벽, 0.3 m 높이
beta = 1.0 / (0.5 * (Ts + Tinf) + 273.15)  # 이상기체 1/Tf
 
Ra = rayleigh_number(Ts, Tinf, L, beta, nu, alpha)
Nu = churchill_chu_vertical(Ra, Pr)
h = Nu * k / L
q = h * (Ts - Tinf)                     # 단위면적 열손실
 
print(f"Ra = {Ra:.2e}")
print(f"Nu = {Nu:.1f},  h = {h:.2f} W/m^2K")
print(f"q  = {q:.1f} W/m^2")
 
# Ra = 7.03e+07
# Nu = 54.9,  h = 4.94 W/m^2K
# q  = 197.6 W/m^2

$\mathrm{Ra} \approx 7\times10^7$ 이니 아직 층류 영역이다. 평판 1제곱미터가 약 198와트를 잃는다. 입력 온도차나 높이를 바꾸면 Ra가 곧장 움직인다.

아래 그래프는 같은 상관식을 Ra 축 위에 펼친 것이다.

Pr = 0.69Ra marker = 1e7.0

cyan: Churchill–Chu · green: laminar 0.59 Ra^1/4 · pink: turbulent 0.10 Ra^1/3

Pr를 낮추면(액체금속 쪽) 곡선이 내려가고, 높이면(기름 쪽) 올라간다. Ra 마커를 $10^9$ 너머로 끌면 곡선의 기울기가 층류 $\mathrm{Ra}^{1/4}$ 에서 난류 $\mathrm{Ra}^{1/3}$ 로 갈아탄다.

Nusselt 상관식 한 묶음#

형상마다 상관식이 다르다. 자주 쓰는 것을 모았다.

수직 평판: $\mathrm{Nu} = 0.59\,\mathrm{Ra}^{1/4}$ (층류, $10^4$ – $10^9$ ), $\mathrm{Nu} = 0.10\,\mathrm{Ra}^{1/3}$ (난류, $10^9$ – $10^{13}$ ). 전 영역은 Churchill–Chu.
수평 가열판, 위로 향함: $\mathrm{Nu} = 0.54\,\mathrm{Ra}^{1/4}$ ( $10^4$ – $10^7$ ), $0.15\,\mathrm{Ra}^{1/3}$ ( $10^7$ – $10^{11}$ ).
수평 가열판, 아래로 향함: $\mathrm{Nu} = 0.27\,\mathrm{Ra}^{1/4}$ .
아래에서 데우는 밀폐 공간: $\mathrm{Ra}_c = 1708$ 을 넘으면 Bénard 셀.

수평판의 특성 길이는 면적÷둘레 $L = A_s/P$ 로 잡는다. 난류 영역의 지수 $1/3$ 에는 숨은 뜻이 있다. $\mathrm{Nu} \propto \mathrm{Ra}^{1/3}$ 이고 $\mathrm{Ra} \propto L^3$ 이므로, $h = \mathrm{Nu}\,k/L$ 에서 $L$ 이 상쇄된다. 난류 자연대류의 열전달계수는 크기에 무관하다.

기억할 점#

부력의 적은 점성과 열확산 둘이다. 그래서 대류 개시는 Gr 단독이 아니라 둘을 곱해 넣은 Ra가 정한다.
$\mathrm{Ra} < 1708$ 이면 유체는 정지(순수 전도), 넘으면 Bénard 셀이 켜진다.
$\mathrm{Nu}$ 는 층류에서 $\mathrm{Ra}^{1/4}$ , 난류에서 $\mathrm{Ra}^{1/3}$ . 후자에서는 열전달계수가 평판 크기에 의존하지 않는다.