물은 관을 얼마나 흘러야 포물선이 되는가 — 발달 길이와 Hagen–Poiseuille

수도꼭지를 완전히 열면 물줄기가 한동안 매끈하다. 관 속에서도 비슷한 일이 벌어진다. 입구에서 물은 벽의 존재를 거의 느끼지 못한다. 프로파일은 거의 평평하다. 그런데 조금 흐르고 나면 단면 속도 분포가 부드러운 포물선으로 바뀐다. 그 사이 구간이 오늘의 주인공이다.

벽이 소문을 퍼뜨리는 데 걸리는 거리#

관 벽에서 유체는 미끄러지지 않는다(no-slip, 벽 접촉면 속도 0). 이 조건은 입구에서 곧바로 전 단면에 퍼지지 않는다.

벽 근처에만 얇은 경계층(속도가 급변하는 벽 부근 층)이 생긴다. 흐를수록 이 층이 안쪽으로 자란다. 위아래 경계층이 관 중심에서 만나는 순간, 프로파일은 더 이상 변하지 않는다. 이 지점부터를 완전발달(fully developed) 구간이라 부른다.

입구에서 완전발달까지의 거리를 수력학적 발달 길이 $L_h$ 라 한다. 층류에서는 관 지름 $D$ 와 Reynolds 수(관성력/점성력 비)로 정해진다.

\frac{L_h}{D} \approx 0.05\,\mathrm{Re}_D, \qquad \mathrm{Re}_D = \frac{\rho\,u_m D}{\mu}

$u_m$ 은 단면 평균 속도, $\rho$ 는 밀도, $\mu$ 는 점성계수다. $\mathrm{Re}_D=2000$ 이면 발달 길이가 관 지름의 100배에 달한다. 가는 실험 배관에서 측정 위치를 잘못 잡으면 아직 발달 중인 유동을 재는 셈이다.

아래 시뮬레이션에서 Reynolds 수를 직접 조작해보자.

Reynolds Re_D800

Re를 100에서 2000까지 올리면 주황색 "fully developed" 선이 오른쪽으로 밀려난다. 입구의 평평한 프로파일이 포물선으로 자리 잡는 데 더 긴 거리가 필요해진다.

완전발달 구간의 포물선 — Hagen–Poiseuille#

완전발달이면 축방향 속도가 더 변하지 않는다. $\partial u/\partial x = 0$ , 반경방향 속도 $v=0$ 이다. 원통좌표 운동량 방정식은 단순해진다.

\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right) = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}

압력 구배 $dp/dx$ 는 상수다. 벽에서 $u(R)=0$ , 중심에서 $du/dr=0$ 을 걸고 두 번 적분한다.

u(r) = -\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}\left(R^2 - r^2\right) = 2\,u_m\!\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right)

$R=D/2$ 는 관 반지름, $r$ 는 중심에서의 거리다. 결과가 깔끔하다. 중심 속도는 평균의 정확히 두 배다. 이 포물선이 Hagen–Poiseuille 흐름이다.

압력은 왜 일정하게 떨어지는가 — 마찰계수#

포물선을 단면에 걸쳐 평균하면 평균 속도와 압력 구배가 직접 연결된다.

\frac{dp}{dx} = -\frac{32\,\mu\,u_m}{D^2}

구배가 상수라는 건 압력이 관을 따라 직선으로 떨어진다는 뜻이다. 이 손실을 무차원으로 묶은 것이 Darcy 마찰계수 $f$ 다.

f = \frac{-\,(dp/dx)\,D}{\tfrac{1}{2}\rho u_m^2} = \frac{64}{\mathrm{Re}_D}

층류 마찰계수는 오직 Reynolds 수만으로 결정된다. 관 거칠기는 끼어들지 않는다. 아래에서 Reynolds 수를 바꾸며 마찰계수 곡선 위 점을 옮겨보자.

Re_D1,000

regime: laminarf = 0.0640L_h/D ≈ 50.0

$\mathrm{Re}_D<2300$ 구간에서 점은 $64/\mathrm{Re}$ 직선을 정확히 따라간다. 문턱을 넘기면 곡선이 꺾이며 다른 법칙으로 갈아탄다.

2300이라는 문턱 — 층류에서 난류로#

$\mathrm{Re}_D$ 가 약 2300을 넘으면 매끈하던 유동이 흐트러진다. 소용돌이가 섞이며 난류로 천이한다.

난류에서는 발달 길이가 짧아진다. $L_h/D$ 가 대략 10~60에 머문다. 층류의 100배와 대비된다. 대신 마찰은 커진다. 매끈한 관의 경험식 하나가 Blasius 식이다.

f = 0.316\,\mathrm{Re}_D^{-1/4} \quad (4000 \lesssim \mathrm{Re}_D \lesssim 10^5)

지수가 $-1$ 에서 $-1/4$ 로 완만해진다. Reynolds 수를 올려도 마찰이 예전만큼 빨리 떨어지지 않는다. 같은 유량을 더 큰 압력으로 밀어야 한다.

Python으로 재현하는 발달 길이와 마찰#

작은 배관 하나를 숫자로 따라가 보자.

import numpy as np
 
def entrance_length(Re, D):
    # 층류 수력학적 발달 길이 [m]
    return 0.05 * Re * D
 
def poiseuille_profile(r, R, u_mean):
    # 완전발달 층류 속도 분포 (Hagen-Poiseuille)
    return 2.0 * u_mean * (1.0 - (r / R) ** 2)
 
def darcy_friction(Re):
    # 층류 마찰계수 (Re < 2300)
    return 64.0 / Re
 
D = 0.02          # 관 지름 [m]
rho, mu = 1000.0, 1e-3
u_mean = 0.08     # 평균 속도 [m/s]
 
Re = rho * u_mean * D / mu
print(f"Re = {Re:.0f}")                                 # Re = 1600
print(f"발달 길이 = {entrance_length(Re, D):.2f} m")     # 1.60 m
print(f"중심 속도 = {poiseuille_profile(0, D/2, u_mean):.3f} m/s")  # 0.160
dpdx = -32 * mu * u_mean / D**2
print(f"압력 구배 = {dpdx:.2f} Pa/m")                    # -6.40 Pa/m
print(f"마찰계수 f = {darcy_friction(Re):.4f}")          # 0.0400

지름 2 cm 관인데 발달 길이가 1.6 m다. 관 지름의 80배다. 실험대 위 짧은 배관은 대부분 발달 중인 유동을 다룬다.

다음에 관 유동을 만나면#

관 유동의 본질은 "벽의 정보가 중심까지 스미는 과정"이다. 세 가지만 남기자.

입구 구간에서는 프로파일이 계속 바뀐다. 발달 길이는 $0.05\,\mathrm{Re}\,D$ 까지 늘어난다.
완전발달 층류는 포물선이다. 중심 속도는 평균의 두 배, 마찰계수는 $64/\mathrm{Re}$ .
$\mathrm{Re}\approx2300$ 에서 천이한다. 난류는 발달이 빠르지만 마찰이 크다.