水は管をどれだけ流れれば放物線になるのか — 助走区間とHagen–Poiseuille

蛇口を全開にすると、水の筋はしばらく滑らかに保たれます。管の中でも似たことが起こります。入口では水はほとんど壁の存在を感じません。速度分布はほぼ平らです。ところが少し流れると、断面の速度分布は滑らかな放物線に変わります。その間の区間が今日の主役です。

壁が知らせを伝えるのに要する距離

管壁で流体は滑りません(no-slip、壁面での速度はゼロ)。この条件は入口で断面全体へすぐには広がりません。

はじめは壁の近くだけに薄い境界層(速度が急変する壁近傍の層)ができます。流れが進むほど、この層は内側へ成長します。上下の境界層が管中心で出会った瞬間、分布はもう変わりません。この点から先を十分に発達した流れ(fully developed)と呼びます。

入口から発達完了までの距離を助走区間長 $L_h$ といいます。層流では管径 $D$ とReynolds数(慣性力と粘性力の比)で決まります。

\frac{L_h}{D} \approx 0.05\,\mathrm{Re}_D, \qquad \mathrm{Re}_D = \frac{\rho\,u_m D}{\mu}

$u_m$ は断面平均速度、 $\rho$ は密度、 $\mu$ は粘性係数です。 $\mathrm{Re}_D=2000$ なら助走区間は管径の100倍に達します。細い実験配管で測定位置を誤ると、まだ発達途中の流れを測ることになります。

下のシミュレーションでReynolds数を直接操作してみましょう。

Reynolds Re_D800

Reを100から2000まで上げると、オレンジの「fully developed」線が右へ押しやられます。入口の平らな分布が放物線に落ち着くまで、より長い距離が必要になります。

発達区間の放物線 — Hagen–Poiseuille#

十分に発達すると、軸方向速度はもう変化しません。 $\partial u/\partial x = 0$ 、半径方向速度 $v=0$ です。円筒座標の運動量方程式は単純になります。

\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right) = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}

圧力勾配 $dp/dx$ は一定です。壁で $u(R)=0$ 、中心で $du/dr=0$ を課し、二回積分します。

u(r) = -\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}\left(R^2 - r^2\right) = 2\,u_m\!\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right)

$R=D/2$ は管半径、 $r$ は中心からの距離です。結果はすっきりしています。中心速度はちょうど平均の2倍です。この放物線がHagen–Poiseuille流れです。

圧力はなぜ一定の割合で下がるのか — 摩擦係数

放物線を断面で平均すると、平均速度と圧力勾配が直接つながります。

\frac{dp}{dx} = -\frac{32\,\mu\,u_m}{D^2}

勾配が一定ということは、圧力が管に沿って直線的に下がるという意味です。この損失を無次元にまとめたのがDarcy摩擦係数 $f$ です。

f = \frac{-\,(dp/dx)\,D}{\tfrac{1}{2}\rho u_m^2} = \frac{64}{\mathrm{Re}_D}

層流の摩擦係数はReynolds数だけで決まります。管の粗さは入り込みません。下でReynolds数を動かし、摩擦係数曲線上の点を移動させてみましょう。

Re_D1,000

regime: laminarf = 0.0640L_h/D ≈ 50.0

$\mathrm{Re}_D<2300$ の区間で点は $64/\mathrm{Re}$ の直線を正確になぞります。しきい値を越えると曲線が折れ、別の法則へ乗り換えます。

2300というしきい値 — 層流から乱流へ#

$\mathrm{Re}_D$ がおよそ2300を越えると、滑らかだった流れが乱れます。渦が混じり、乱流へ遷移します。

乱流では助走区間が短くなります。 $L_h/D$ はおよそ10〜60にとどまります。層流の100倍と対照的です。その代わり摩擦は大きくなります。滑らかな管の経験式の一つがBlasiusの式です。

f = 0.316\,\mathrm{Re}_D^{-1/4} \quad (4000 \lesssim \mathrm{Re}_D \lesssim 10^5)

指数が $-1$ から $-1/4$ へ緩やかになります。Reynolds数を上げても摩擦は以前ほど速く下がりません。同じ流量をより大きな圧力で押す必要があります。

Pythonで再現する助走区間長と摩擦#

小さな配管を一つ、数値で追ってみましょう。

import numpy as np
 
def entrance_length(Re, D):
    # 層流の水力学的助走区間長 [m]
    return 0.05 * Re * D
 
def poiseuille_profile(r, R, u_mean):
    # 十分に発達した層流速度分布 (Hagen-Poiseuille)
    return 2.0 * u_mean * (1.0 - (r / R) ** 2)
 
def darcy_friction(Re):
    # 層流の摩擦係数 (Re < 2300)
    return 64.0 / Re
 
D = 0.02          # 管径 [m]
rho, mu = 1000.0, 1e-3
u_mean = 0.08     # 平均速度 [m/s]
 
Re = rho * u_mean * D / mu
print(f"Re = {Re:.0f}")                                 # Re = 1600
print(f"助走区間長 = {entrance_length(Re, D):.2f} m")     # 1.60 m
print(f"中心速度 = {poiseuille_profile(0, D/2, u_mean):.3f} m/s")  # 0.160
dpdx = -32 * mu * u_mean / D**2
print(f"圧力勾配 = {dpdx:.2f} Pa/m")                     # -6.40 Pa/m
print(f"摩擦係数 f = {darcy_friction(Re):.4f}")          # 0.0400

直径2 cmの管なのに、助走区間長は1.6 m。管径の80倍です。実験台の短い配管は、ほとんどが発達途中の流れを扱っています。

次に管内流れに出会ったら

管内流れの本質は「壁の情報が中心までしみ込む過程」です。三つだけ残しましょう。

入口区間では分布が変わり続けます。助走区間長は $0.05\,\mathrm{Re}\,D$ まで伸びます。
十分に発達した層流は放物線です。中心速度は平均の2倍、摩擦係数は $64/\mathrm{Re}$ 。
$\mathrm{Re}\approx2300$ で遷移します。乱流は発達が速いが摩擦が大きい。