流动的三幅肖像 — 流线、迹线、脉线为何分道扬镳

往河里滴下一缕墨水，拍下一张照片。在同一瞬间，旁边放下一片树叶，描出它的轨迹。两条线却画出了不同的形状。流动明明只有一个，画面怎么会一分为二？本文展示流线、迹线、脉线这三条曲线为何会分开，以及这种分开如何与物质导数（随流体一同运动时所见的变化率）相连。读完之后，你能从一张河流照片里读出隐藏的时间痕迹。

同一流动，三幅不同的画#

把流动画下来的方法不止一种。在实验室里，常用三种。

第一，在某一瞬间把所有点的速度方向连起来。第二，给一个流体微团做标记，追踪它的足迹。第三，在一处持续释放染料，拍下它形成的带子。三种方法看的是同一个流动，结果却未必一致。

关键在于时间。当流动随时间改变时（非定常流），三幅画就会分开。当它不变时（定常流），三者精确重合。这个差别就是今天的主题。

流线、迹线、脉线 — 三个定义#

用公式把三条曲线分开。把速度场记作 $\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)$ 。

流线（streamline）：在固定的某一瞬间 $t$ ，在每一点都与速度相切的曲线。

\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v}

这里 $u, v$ 是那一瞬间的速度分量。它是把时间冻结的快照。

迹线（pathline）：单个微团沿时间积分得到的真实轨迹。

\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{u}(\mathbf{x}, t)

可以把它看作一片树叶的旅行日记。

脉线（streakline）：把曾经经过同一点 $\mathbf{x}_0$ 的所有微团此刻所在的位置连起来的线。烟囱升起的烟、或一条染料带，正是脉线。

只有定常流中三者才重合#

定常流是速度场不依赖时间的流动，即 $\partial \mathbf{u} / \partial t = 0$ 。此时，一个微团一旦经过某点，后来的微团也会走同一条路——因为路不随时间改变。

于是迹线与脉线变得相同。流线在每一瞬间也都一样，所以三者全部重合。我们在教科书里看到的"干净的流线图"，其实都站在定常这一隐含假设之上。

在非定常流中，这个假设失效。先经过的微团之路与后来者不同，瞬时的切线方向也时刻在变。三条曲线因此分开。

欧拉、拉格朗日与物质导数#

这种分开的根源是两个视角：欧拉视角（在空间固定点观察）与拉格朗日视角（跟随微团观察）。流线是欧拉式的，迹线是拉格朗日式的。

连接两个视角的桥梁是物质导数。

\frac{D\phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\phi

这里 $\phi$ 是任意物理量，右端第一项是局部变化率，第二项是对流变化率。前者表示"固定点处随时间的变化"，后者表示"因微团移动而产生的变化"。

直觉最容易在此处绊倒。即便在定常流中 $\partial \mathbf{u}/\partial t = 0$ ，微团仍可加速。想象一个收窄的喷嘴。在固定点看，速度不随时间改变。但被吸入喉部的微团却越来越快。这一加速全部由对流项 $u\,\partial u/\partial x$ 造成。

在下面的模拟中拖动收缩比试试。

contraction (outlet/inlet) = 0.40

Nothing in this field depends on time, so ∂u/∂t = 0 at every fixed point. Yet the pink parcel still accelerates into the throat — all of it from the convective term u·∂u/∂x.

把收缩比降到 0.25，喉部附近微团速度翻到四倍。可 $\partial u/\partial t$ 这根柱子仍然贴在零上。所有加速都来自青色的对流项。

Python — 在振荡流动中画出三条曲线#

让我们一次画出三条曲线。采用横向速度沿下游传播为波的流动： $u = U$ ， $v = V_0\cos(\omega t - k x)$ ，其中 $k = \omega/U$ 。在这个流动里，三条曲线呈现出干净的不同形状。

import numpy as np
 
U, V0, omega = 1.0, 0.6, 2.0
k = omega / U
 
def velocity(x, t):
    """沿下游传播的横波: 返回 (u, v)"""
    return U, V0 * np.cos(omega * t - k * x)
 
def pathline(t0, t_end, dt=0.01):
    """t0 时刻从原点出发的微团轨迹（数值积分）"""
    x, y, t = 0.0, 0.0, t0
    xs, ys = [x], [y]
    while t < t_end:
        u, v = velocity(x, t)
        x += u * dt; y += v * dt; t += dt
        xs.append(x); ys.append(y)
    return np.array(xs), np.array(ys)
 
def streakline(t_now, n=400):
    """t_now 时刻的染料带: s<=t_now 释放微团的当前位置"""
    s = np.linspace(0.0, t_now, n)
    x = U * (t_now - s)
    y = V0 * np.cos(omega * s) * (t_now - s)   # 此流动的精确解
    return x, y
 
def streamline_snapshot(t_now, x_max=10.0, n=400):
    """t_now 瞬间过原点的流线"""
    x = np.linspace(0.0, x_max, n)
    y = (V0 / omega) * (np.sin(omega * t_now) - np.sin(omega * t_now - k * x))
    return x, y
 
t_now = 6.0
xp, yp = pathline(0.0, t_now)
xs, ys = streakline(t_now)
xl, yl = streamline_snapshot(t_now)
print(f"迹线终点   : ({xp[-1]:.2f}, {yp[-1]:.2f})")
print(f"脉线 y 范围: [{ys.min():.2f}, {ys.max():.2f}]")
print(f"流线 y 范围: [{yl.min():.2f}, {yl.max():.2f}]")

输出表明三条曲线占据了完全不同的区域。迹线笔直延伸，流线是振幅 $V_0/\omega$ 的浅波，脉线摆动得大得多。同一流动，三幅不同的画。

亲手摇出非定常性#

现在让时间活起来，看三条曲线如何分开。在下面的模拟中调节振幅 $V_0$ 和频率 $\omega$ 。

transverse amplitude V₀ = 0.55frequency ω = 2.2

Field: u = U, v = V₀·cos(ωt − kx) with k = ω/U. Drag V₀ to 0 and the three curves collapse onto the axis — they only ever agree when the flow is steady.

把 $V_0$ 降到零，三条曲线叠在轴上——你回到了定常流。增大 $V_0$ 和 $\omega$ ，黄色流线快速起伏，粉色迹线笔直延伸，青色脉线又画出另一种波形。非定常性越强，三幅肖像离得越远。

再看一条河时#

一个流动给出三幅画，原因只有一个：时间。流线是冻结时间的切面，迹线是单个微团的一生，脉线是经过同一处的所有微团此刻的所在。

带走三句话。

三者重合，流动就是定常的。三者不同，说明流动正随时间改变。
物质导数 $D/Dt = \partial/\partial t + \mathbf{u}\cdot\nabla$ 的对流项，在定常流中也会产生加速。
若实验照片是染料带，那它是脉线，而非流线。混淆二者，就会把速度方向读错。