加热得更烫反而更凉了 — 沸腾曲线与临界热流密度

1934年，在东京，抜山四郎一边给镍铬丝通电，一边观察沸腾的水。电流每往上调一档，气泡就更剧烈一分。然后某一瞬间，电线突然烧得通红、熔断了。气泡最旺盛的区段与电线熔断的区段之间究竟发生了什么，他始终未能亲眼看到。本文要追的，正是他错过的那一段 — 加热越猛、热量反而越难带走的沸腾曲线（boiling curve）悖论。临界热流密度为何像悬崖一样存在，莱顿弗罗斯特液滴为何在热锅上起舞，最后再用一段 Python 计算把它们串起来。

沸腾曲线 — 一张图里的四个区域#

沸腾是发生在固–液界面上的蒸发。壁面热流密度写成简单的形式。

$q'' = h\,(T_s - T_{sat}) = h\,\Delta T_e$

$T_s$ 是壁面温度， $T_{sat}$ 是饱和温度（水在1个大气压下为100°C）， $\Delta T_e$ 是二者之差，即过热度（excess temperature）。 $h$ 是对流换热系数。

直觉上， $\Delta T_e$ 越大， $q''$ 似乎应当单调上升。真实的沸腾曲线却不肯。把 $\Delta T_e$ 对 $q''$ 画在双对数坐标上，四个区域依次出现。

自然对流（ $\Delta T_e \lesssim 5$ °C）：几乎没有气泡。浮力驱动的自然对流搬运热量。
核态沸腾（ $5 \lesssim \Delta T_e \lesssim 30$ °C）：气泡从成核点喷涌而出。 $q''$ 上升得最陡。
过渡沸腾（ $30 \lesssim \Delta T_e \lesssim 120$ °C）：蒸气膜开始部分覆盖壁面。 $q''$ 下降。
膜态沸腾（ $\Delta T_e \gtrsim 120$ °C）：连续的蒸气膜完全盖住壁面。加上辐射， $q''$ 再次上升。

请在下面的模拟中亲手操作。

Wall excess temperature ΔTe = 20 °C

Regime

Nucleate boiling

ΔTe

20 °C

q″

0.37 MW/m²

h = q″/ΔTe

18.7 kW/m²K

把顶部按钮切换到'Heat-flux control'，把热流密度推到临界点之上。工作点会从核态沸腾分支跳到膜态沸腾分支。这次跳跃就是熔断抜山电线的烧毁（burnout）。

核态沸腾 — 气泡把热量汲上来#

核态沸腾如此高效，靠的不是气泡本身，而是气泡掀起的搅拌（agitation）。气泡脱离壁面时，冷液体涌入那个空位。这种微小的泵送作用不停地置换壁面附近的液体。

Rohsenow 用一个无量纲关联式概括了该区域的热流密度。

q''_s = \mu_l\, h_{fg}\sqrt{\frac{g(\rho_l - \rho_v)}{\sigma}} \left(\frac{c_{p,l}\,\Delta T_e}{C_{s,f}\,h_{fg}\,Pr_l^{\,n}}\right)^3

$\mu_l$ 是液体黏度， $h_{fg}$ 是汽化潜热， $\rho_l,\rho_v$ 是液体与蒸气密度， $\sigma$ 是表面张力， $c_{p,l}$ 是液体比热， $Pr_l$ 是液体普朗特数。 $C_{s,f}$ 是与表面–流体组合有关的实验常数（水–铂为0.013）。

关键在于 $q''_s \propto \Delta T_e^3$ 。过热度稍微提高一点，热流密度就按立方猛涨。所以核态沸腾能在很窄的温度区间内带走巨大的热量。反应堆堆芯、CPU水冷、锅炉，全都瞄准这个区域。

临界热流密度 — Zuber 预言的悬崖#

立方上升不会永远持续。气泡密集到一定程度就会彼此合并，开始覆盖壁面。液体通往表面的通道被堵住。恰在此前， $q''$ 达到最大值。这就是临界热流密度（critical heat flux, CHF）。水在1个大气压下超过1 MW/m²。

Zuber 从蒸气柱失稳的条件（开尔文–亥姆霍兹不稳定性）推导出 CHF。

q''_{max} \approx 0.149\, h_{fg}\, \rho_v \left[\frac{\sigma\, g\,(\rho_l - \rho_v)}{\rho_v^2}\right]^{1/4}

符号同前， $\rho_v$ 为蒸气密度。令人惊讶的是，这个式子里既没有壁温，也没有表面材质。CHF 仅由流体物性决定。

CHF 是一把双刃剑。它既是带走热量能力的上限，越过它的瞬间又是一场灾难。在热流密度受控的装置（电加热、核燃料）中，超过 CHF 会把工作点从核态沸腾抛向膜态沸腾。要用膜态沸腾承担同样的热流密度，壁温必须暴涨数百度。金属在那之前就熔化了。抜山看到的正是这次跳跃。

膜态沸腾与莱顿弗罗斯特#

过渡沸腾的尽头， $q''$ 再次触底的那一点，称为莱顿弗罗斯特点（Leidenfrost point）。越过它，连续的蒸气膜完全盖住壁面。液体碰不到壁面。热量只能靠穿过蒸气的传导和辐射传递。蒸气的导热系数远低于液体，所以传热很糟糕。

如果你曾把水甩到热锅上，那你已经见过膜态沸腾了。在中等热度的锅上，液滴嗤的一声沸腾、很快消失。可在非常热的锅上，液滴会团成珠子，在锅面上滑行、久久不散。它浮在自己造的蒸气膜上。

请在下面的模拟中亲手操作。

Surface temperature Ts = 160 °C

Push Ts past ~200 °C and the droplet lifts onto its own vapor film — the Leidenfrost effect. Counterintuitively it now lives far longer than at 130 °C.

把表面温度设在130°C附近，液滴会喷着气泡迅速蒸发。推过200°C，它就浮上蒸气膜、四处溜动。更烫，却反而活得更久 — 这种非单调性就是莱顿弗罗斯特悖论。

水平圆柱上的膜态沸腾热流密度遵循下面的形式。

\overline{Nu}_D = C\left[\frac{g(\rho_l-\rho_v)\,h'_{fg}\,D^3}{\nu_v\, k_v\,(T_s - T_{sat})}\right]^{1/4}

$D$ 是圆柱直径， $\nu_v, k_v$ 是蒸气的运动黏度与导热系数， $C$ 是形状常数（水平圆柱0.62，球0.67）。 $h'_{fg} = h_{fg} + 0.8\,c_{p,v}(T_s - T_{sat})$ 是修正了蒸气过热的潜热。

Python — 亲手画出沸腾曲线#

用水在1个大气压下的物性计算 Rohsenow 核态沸腾和 Zuber CHF。两个式子在哪里相遇、在哪里分道扬镳，一目了然。

import numpy as np
 
# 水, 1个大气压下的饱和物性
g    = 9.81       # m/s^2
rho_l = 957.9     # kg/m^3
rho_v = 0.5956
h_fg  = 2257e3    # J/kg
sigma = 0.0589    # N/m
mu_l  = 279e-6    # N.s/m^2
cp_l  = 4217.0    # J/kg.K
Pr_l  = 1.76
Csf, n = 0.013, 1.0   # 水-铂
 
def rohsenow_nucleate_flux(dTe):
    """Rohsenow 核态沸腾热流密度 q'' (W/m^2)."""
    bracket = np.sqrt(g * (rho_l - rho_v) / sigma)
    ja = cp_l * dTe / (Csf * h_fg * Pr_l**n)
    return mu_l * h_fg * bracket * ja**3
 
def zuber_critical_heat_flux():
    """Zuber 临界热流密度 (W/m^2)."""
    return 0.149 * h_fg * rho_v * (
        sigma * g * (rho_l - rho_v) / rho_v**2) ** 0.25
 
chf = zuber_critical_heat_flux()
print(f"CHF (Zuber)      = {chf/1e6:.3f} MW/m^2")
 
# 扫描核态沸腾分支, 找出达到 CHF 的过热度
for dTe in [5, 10, 20, 30, 40]:
    q = rohsenow_nucleate_flux(dTe)
    flag = "  <-- 超过 CHF (Rohsenow 失效)" if q > chf else ""
    print(f"dTe={dTe:3d} C : q''={q/1e6:6.3f} MW/m^2{flag}")

运行结果如下。

CHF (Zuber)      = 1.259 MW/m^2
dTe=  5 C : q''= 0.017 MW/m^2
dTe= 10 C : q''= 0.137 MW/m^2
dTe= 20 C : q''= 1.094 MW/m^2
dTe= 30 C : q''= 3.692 MW/m^2  <-- 超过 CHF (Rohsenow 失效)

Rohsenow 式在 $\Delta T_e \approx 30$ °C附近就已经超过了 CHF。这不是公式错了，而是它离开了适用范围。真实曲线在 CHF 处折转向下。核态沸腾关联式只在那个拐点之前有效。两个式子合用时，必须始终把 CHF 强制为上限。

无量纲数的语言 — Jakob 与 Bond#

支配沸腾的两个无量纲数值得一提。第一个是雅各布数（Jakob number）。

$Ja = \frac{c_{p,l}\,\Delta T_e}{h_{fg}}$

它是液体吸收的显热与潜热之比。 $Ja$ 小，意味着潜热压倒显热。水的潜热极大，所以沸腾情形下 $Ja$ 很小。Rohsenow 式括号里的那一项正是 $Ja$ 。

第二个是邦德数（Bond number）。

$Bo = \frac{g(\rho_l - \rho_v)\,L^2}{\sigma}$

它是浮力与表面张力之比。气泡的特征尺寸 $L$ 由这两者的平衡得出。气泡直径按 $D_b \propto \sqrt{\sigma / [g(\rho_l-\rho_v)]}$ 标度。这就是 CHF 式四次根里出现表面张力与密度差的原因。气泡的大小和脱离频率，最终决定了热流密度的上限。

记住这三行#

沸腾曲线不是单调上升的。提高过热度反而会在过渡沸腾区间内使热流密度下降，存在一道叫临界热流密度（CHF）的悬崖。
越过 CHF，工作点跳向膜态沸腾，壁温暴涨数百度。这就是抜山电线熔断的原因。
莱顿弗罗斯特效应是同一种非单调性的日常版。在更热的锅上，液滴浮在蒸气膜上、反而活得更久。