厨房水槽里每天都有的激波 — 弗劳德数与水跃

水跃高度只由动量配平。若用比能守恒去求下游水深，就对不上输出里的0.714 m。

打开水龙头，让水落到平坦的水槽底部。水冲击点周围铺开一层薄而快的水膜，然后在某个半径处水突然堆起，形成一圈厚厚的环。这个环就是水跃(hydraulic jump)。厨房里每天发生的这个现象，令人惊讶的是竟遵循与超声速喷管中诞生的激波相同的方程。本文用一段小小的 Python 代码和两个仿真，讲清楚支配明渠(open channel)流动的弗劳德数是什么、为什么水深会在瞬间跃升、以及浅水如何模仿可压缩气体。读到最后，你会明白水槽里的环与拉瓦尔喷管中的激波为何是表亲。

拨动 $q$ 和水深 $h$ 的滑条，同一条比能曲线上所骑的那一支会换边。

q (unit-width discharge): 0.80 m²/sh (flow depth): 0.20 m

u = q/h = 4.00 m/s
Fr = u/√(gh) = 2.86
E = 1.02 m
h_c = 0.40 m
supercritical (사류)

同一个 $E$ 对应两个水深：上支(深而慢的流动)和下支(浅而快的流动)。越过临界水深 $h_c$ 的鼻尖，两个世界就分开了。

不填满管道的流动

明渠是顶部向大气敞开的水道。河流、排水沟、灌溉渠都属于这一类。充满封闭管道流动的水，靠进出口的压差被推动。明渠里的水不同。渠底坡度和重力驱动流动。

关键在于自由表面可以自由起伏。波沿着这个自由表面传播。在浅水中，小的表面波传播速度只由水深决定。

c = \sqrt{g h}

其中 $c$ 是浅水波(shallow-water wave)的传播速度， $g$ 是重力加速度， $h$ 是水深。水越深，波越快。

比能与临界水深

以渠底为基准、把流动所具有的能量用水头(head，长度单位的能量)表示出来，就是比能(specific energy)。在宽度 $b$ 恒定的矩形渠道中，把单位宽度流量记为 $q = Q/b$ ，则

E = h + \frac{u^2}{2g} = h + \frac{q^2}{2 g h^2}

第一项 $h$ 是位能(水深)，第二项是动能。固定 $q$ 而把 $E$ 画成 $h$ 的函数，会出现一条有趣的曲线。水深太浅则流速变大、动能剧增；太深则位能变大。在两者之间的某处， $E$ 取得最小值。

求解 $dE/dh = 0$ 就得到该点的水深。

h_c = \left( \frac{q^2}{g} \right)^{1/3}

这个 $h_c$ 就是临界水深(critical depth)。在此点 $E_{\min} = \tfrac{3}{2} h_c$ ，而流速恰好等于波速： $u_c = \sqrt{g h_c}$ 。

弗劳德数：缓流与急流

流速与波速之比决定流动的性格。这个无量纲数就是弗劳德数(惯性力与重力波速度之比)。

Fr = \frac{u}{\sqrt{g h}}

当 $Fr < 1$ 时，流速比波慢。下游障碍物造成的水面变化能够逆流而上传回上游。这种深而平缓的流动称为缓流(subcritical flow)。当 $Fr > 1$ 时，流速超过波速。下游的信号到不了上游。这种浅而快的流动是急流(supercritical flow)。 $Fr = 1$ 是临界状态，此时水深恰为 $h_c$ 。

你大概已经有感觉了。弗劳德数扮演着与气体动力学中马赫数(流速与声速之比)完全相同的角色。就像声音在可压缩气体中传递信息一样，在明渠中浅水波传递信息。急流对应超声速，缓流对应亚声速。喷管里那种反转长什么样，写在要变快就得先变宽的超声速里，篇幅更短。

水跃：水变厚的瞬间

当急流必须变为缓流时，麻烦出现了。在比能曲线上，从下支平滑地过渡到上支没有路可走。自然用一个不连续来解决：浅而快的水突然跃升为厚而慢的水。这就是水跃。

联系水跃前后的关系，不来自能量，而来自动量守恒，因为水跃内部的湍流滚轴(roller)会毫不留情地吞噬能量。在水跃两侧配平动量通量和静水压力，就在跃前水深 $h_1$ 与跃后水深 $h_2$ 之间得到共轭水深(conjugate depth)关系。

\frac{h_2}{h_1} = \frac{1}{2} \left( \sqrt{1 + 8\,Fr_1^2} - 1 \right)

$Fr_1$ 是水跃之前(急流)的弗劳德数。水跃中损失的比能可以干净地求出。

\Delta E = \frac{(h_2 - h_1)^3}{4\, h_1 h_2}

这个损失正是工程师在大坝溢洪道和消力池中故意制造水跃的原因。他们把快水破坏性的动能散入湍流，保护下游河床免受冲刷。

用代码再现

我们直接计算共轭水深和能量损失。取单位宽度流量 $q = 0.8\ \mathrm{m^2/s}$ ，跃前水深 $h_1 = 0.2\ \mathrm{m}$ 。

import numpy as np
 
g = 9.81  # m/s^2
 
def froude(u, h):
    """弗劳德数 = 流速 / 浅水波速度。"""
    return u / np.sqrt(g * h)
 
def critical_depth(q):
    """单位宽度流量 q 对应的临界水深(比能最小)。"""
    return (q**2 / g) ** (1.0 / 3.0)
 
def specific_energy(h, q):
    """比能 E = h + q^2 / (2 g h^2)。"""
    return h + q**2 / (2.0 * g * h**2)
 
def conjugate_depth(h1, q):
    """对跃前水深 h1(急流)求跃后水深 h2。"""
    u1 = q / h1
    fr1 = froude(u1, h1)
    return 0.5 * h1 * (np.sqrt(1.0 + 8.0 * fr1**2) - 1.0)
 
def jump_dissipation(h1, h2):
    """水跃中损失的比能(湍流耗散)。"""
    return (h2 - h1)**3 / (4.0 * h1 * h2)
 
q, h1 = 0.8, 0.2
u1 = q / h1
h2 = conjugate_depth(h1, q)
u2 = q / h2
 
print(f"上游(急流)  u1={u1:.2f} m/s  Fr1={froude(u1,h1):.2f}")
print(f"水跃后      h2={h2:.3f} m  u2={u2:.2f} m/s  Fr2={froude(u2,h2):.2f}")
print(f"临界水深    hc={critical_depth(q):.3f} m")
print(f"能量损失    dE={jump_dissipation(h1,h2):.3f} m")

输出如下。

上游(急流)  u1=4.00 m/s  Fr1=2.86
水跃后      h2=0.714 m  u2=1.12 m/s  Fr2=0.42
临界水深    hc=0.403 m
能量损失    dE=0.238 m

把上游 $Fr_1$ 滑条往上推，侧面看到的水层变厚，滚轴也变凶。

upstream Froude number Fr1: 3.0

h2/h1 = 3.77Fr2 = 0.41ΔE/h1 = 1.41

把 $Fr_1$ 降到 1.5 附近，水跃减弱，水面平缓地隆起。升到 5 以上， $h_2/h_1$ 超过 6 倍，白色泡沫滚轴变得剧烈。

$Fr_1 = 2.86$ 的急流经过水跃变成了 $Fr_2 = 0.42$ 的缓流。水深变厚 3.6 倍，流速以同样的倍率变慢(连续方程 $u h = \text{const}$ )。代价是 0.238 m 的比能散入湍流。跃后水深 $h_2 = 0.714$ m 大于临界水深 $h_c = 0.403$ m，这证实了流动现在是缓流。

把输出的数字再读成比能，水跃的账就对上了。上游流速 4.00 m/s 就是流量 0.8 除以水深 0.2。波速是 g 与 h 乘积的平方根。9.81 乘 0.2 得 1.962，平方根约 1.40 m/s。4.00 除以 1.40，就是印出来的 Fr 2.86。表面波因此上不了游。比能是水深加上流速平方除以 2g。上游是 0.2 加上 16 除以 19.62 的 0.816，合计约 1.016 m。下游是 0.714 加上 1.12 的平方除以 19.62 的 0.064，合计约 0.778 m。差是 0.238 m，和输出的能量损失相同。上游比能大约四分之一漏进滚轴。临界水深 0.403 m 夹在 0.2 和 0.714 之间。水跃横过比能曲线的鼻尖，换了一支。最小比能是临界水深的 1.5 倍，约 0.605 m，所以下游 0.778 m 仍在鼻尖上方。能量并没有被吃到最低点。

共轭水深公式里把 Fr 取成 1，1 加 8 的平方根是 3。减去 1 再除以 2，比值是 1。没有水跃的临界。输出的 Fr 2.86 给出的比值约 3.57，乘上 0.2 m 就是 0.714 m。图里说的 Fr 5，是 1 加 8 乘 25 等于 201，平方根约 14.2，取半再减 1，大约 6.6 倍。和“超过 6 倍”是同一个式子。

当浅水冒充气体

这里是本文的精华。宽度恒定的浅水槽中定常流的连续方程是 $u h = \text{const}$ 。截面恒定的管道中可压缩气体定常流的连续方程是 $\rho v = \text{const}$ 。水深 $h$ 与气体密度 $\rho$ 精确对应。

对浅水能量方程 $h + u^2/(2g) = \text{const}$ 求微分得到 $u\,du + g\,dh = 0$ ，代入波速 $u_c = \sqrt{g h}$ ，就会发现浅水波占据着与气体中声波相同的位置。汇总起来就得到下面的相似。

浅水	可压缩气体
水深 $h$	密度 $\rho$
浅水波速度 $\sqrt{gh}$	声速 $\sqrt{\kappa R T}$
弗劳德数 $Fr$	马赫数 $M$
急流 / 缓流	超声速 / 亚声速
水跃	激波

这个相似对应于 $\kappa = 2$ 的假想气体( $h \leftrightarrow T$ ， $h^2 \leftrightarrow p$ )。所以早期的航空研究者不用昂贵的超声速风洞，而是把物体放进"浅水水槽(shallow water table)"，通过观察水面的水跃来定性研究激波形态。水槽里的环之所以像二维物体前的弓形激波(bow shock)，正是因为这个原因。

用能量去配水跃高度，下游水深会对错

弗劳德数 $Fr = u/\sqrt{gh}$ 是明渠流的马赫数。 $Fr<1$ 为缓流， $Fr>1$ 为急流， $Fr=1$ 为临界。用水跃前后比能相等去配高度，下游会留在上游那一支上。输出里的 0.714 m 来自动量。把共轭水深 $h_2/h_1 = \tfrac{1}{2}(\sqrt{1+8Fr_1^2}-1)$ 换成能量式，那个水深就出不来。

同一个 Fr 切开水面的另一处是尾迹。只把速度调高、楔角却钉在原地，原因写在水深弗劳德把开尔文角撑开的地方。水跃的 Fr 和尾迹的 Fr 都用波速去量流速，一边定水深比，一边把角度固定。