Las dos caras de un remolino — vórtice libre, vórtice forzado y Helmholtz

Al destapar una bañera, el agua gira. Llamamos a esa escena "el agua rota". Sin embargo, un especialista en mecánica de fluidos, mirando casi toda esa misma región, dirá lo contrario: "ahí no hay rotación (irrotacional)". La aparente contradicción esconde la definición real de un vórtice. Este texto separa los dos remolinos que comparten la misma imagen: el vórtice libre con velocidad $1/r$ y el vórtice forzado con velocidad $\omega r$ ; explica qué mide en realidad la vorticidad (el doble de la velocidad angular de giro de una partícula fluida); y sigue el teorema de Helmholtz hasta la afirmación de que los vórtices son inmortales.

¿El remolino de la bañera es realmente "rotación"?#

Dentro de una sola palabra conviven dos sentidos. El primero es revolución — moverse en círculo en torno a algún punto. El segundo es giro propio — la partícula rotando sobre su propio eje. En el remolino del desagüe las partículas de agua hacen revolución. Pero ¿giran sobre sí mismas? Lejos del agujero, casi nada. Una hojita pequeña que flota en la superficie traza caminos circulares, pero no rota su cuerpo: la misma cara apunta siempre hacia el desagüe.

En mecánica de fluidos, "rotación" significa giro propio. Por eso un vórtice libre se clasifica como no rotante en todas partes, salvo en el punto singular del centro.

Forzado contra libre: misma imagen, alma distinta#

Si se agita el agua de un balde durante el tiempo suficiente, el líquido entero gira como un sólido rígido. Es el vórtice forzado. Cada partícula hace revolución y giro propio simultáneamente.

u_\theta(r) = \omega \, r

Aquí $u_\theta$ es la velocidad tangencial, $\omega$ la velocidad angular del cuerpo rígido y $r$ la distancia al eje. La velocidad es proporcional al radio.

El remolino que aparece de manera natural en un fluido ideal (sin viscosidad) es el vórtice libre, también llamado vórtice potencial.

u_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}

$\Gamma$ es la circulación, la integral de línea de la velocidad sobre una curva cerrada. La velocidad cae como $1/r$ y diverge en el centro; en fluidos reales la viscosidad domestica esa singularidad.

	Forzado	Libre
Velocidad	$\omega r$	$\Gamma / 2\pi r$
Giro propio	sí	no
Aporte de energía	continuo	una sola vez
Ejemplo cotidiano	taza removida	bañera, tornado

Las mismas líneas de corriente circulares, pero comportamientos opuestos en cuanto al giro. Una sola cantidad escalar cuantifica la diferencia.

Lo que mide la vorticidad#

La vorticidad $\boldsymbol{\omega}$ es el rotacional del campo de velocidad.

\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{u}

En dos dimensiones sobrevive solo la componente $z$ :

\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}

donde $u, v$ son las componentes de velocidad en $x, y$ . Su valor equivale al doble de la velocidad angular del giro propio de la partícula fluida.

Sustituyendo el vórtice forzado: $\omega_z = 2\omega$ , uniforme en todo el dominio. Sustituyendo el vórtice libre: $\omega_z = 0$ en todas partes salvo en el centro. Líneas de corriente idénticas y redondas, pero giro propio opuesto.

Vórtice combinado de Rankine — el plano del tornado#

Los remolinos reales no obedecen a una única fórmula. Cerca del centro la viscosidad es fuerte y el fluido gira como un sólido; lejos, la viscosidad se desprecia y manda la ley del vórtice libre. El modelo que empalma ambas zonas es el vórtice combinado de Rankine.

u_\theta(r) = \begin{cases} \dfrac{U_{\max}}{R}\, r, & r \le R \\[6pt] \dfrac{U_{\max}\, R}{r}, & r > R \end{cases}

$R$ es el radio del núcleo y $U_{\max}$ la velocidad tangencial máxima en el borde del núcleo. Las dos piezas se empalman suavemente en $r = R$ . Los perfiles de viento de un tornado, los vórtices de punta de ala que dejan los aviones y la espiral aspirante sobre un desagüe siguen esta forma. Dentro del núcleo: rotacional. Fuera: irrotacional.

El teorema de Helmholtz — la inmortalidad del vórtice#

En un fluido sin viscosidad, la única fuerza sobre una partícula es la presión, y la presión apunta hacia el centro de la partícula, sin generar par. Por tanto, una partícula que no gira nunca empieza a hacerlo, y una partícula que gira nunca se detiene. Es el teorema de Helmholtz en una línea.

Una formulación más precisa es el teorema de Kelvin: la circulación $\Gamma$ medida a lo largo de una curva material cerrada no cambia con el tiempo.

\frac{D\Gamma}{Dt} = 0

$D/Dt$ es la derivada material (que sigue a una parcela fluida). Los tubos de vórtice no se cortan ni terminan; estirar uno lo hace girar más rápido — la misma física que la patinadora artística cerrando los brazos. Los fluidos reales tienen viscosidad y los vórtices terminan difundiéndose, pero en medios poco viscosos como el agua o el aire sobreviven días enteros. Por eso la estela condensada de un avión queda visible largo rato después del paso.

La puerta que abre el potencial de velocidad#

En una región irrotacional ( $\boldsymbol{\omega} = 0$ ), una identidad vectorial regala una propiedad clave:

\nabla \times \mathbf{u} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{u} = \nabla \phi

La función escalar $\phi$ se llama potencial de velocidad. Si además el flujo es incompresible, $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$ , entonces

\nabla^2 \phi = 0

la ecuación de Laplace. El flujo no viscoso, irrotacional e incompresible se reduce a un único problema escalar. Así pudo la mecánica de fluidos del siglo XIX tratar perfiles, fuentes y sumideros de forma analítica. El propio vórtice libre se escribe como $\phi = (\Gamma / 2\pi)\, \theta$ — un potencial proporcional a la coordenada angular.

Dos vórtices en código#

Al graficar la velocidad de Rankine y la vorticidad discreta, la diferencia salta a la vista.

import numpy as np
 
def rankine_speed(r, R_core, U_max):
    """Velocidad tangencial del vórtice combinado de Rankine"""
    speed = np.where(r <= R_core,
                     U_max * r / R_core,
                     U_max * R_core / np.maximum(r, 1e-9))
    return speed
 
def vorticity_field(u, v, dx, dy):
    """Rotacional discreto en 2D: omega_z = dv/dx - du/dy"""
    dvdx = (v[1:-1, 2:] - v[1:-1, :-2]) / (2 * dx)
    dudy = (u[2:, 1:-1] - u[:-2, 1:-1]) / (2 * dy)
    return dvdx - dudy
 
# Muestreo en una malla 200x200
N, L = 200, 2.0
x = np.linspace(-L, L, N)
y = np.linspace(-L, L, N)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
R = np.hypot(X, Y)
THETA = np.arctan2(Y, X)
 
U_max, R_core = 1.0, 0.5
u_theta = rankine_speed(R, R_core, U_max)
u =  -u_theta * np.sin(THETA)
v =   u_theta * np.cos(THETA)
 
dx = dy = x[1] - x[0]
omega = vorticity_field(u, v, dx, dy)
 
# Vorticidad media dentro y fuera del núcleo
mask_in  = R[1:-1, 1:-1] <  R_core
mask_out = R[1:-1, 1:-1] >  1.5 * R_core
print(f"núcleo media omega_z ~ {omega[mask_in].mean():.3f}")   # ~ 2 * U_max / R_core
print(f"exterior media omega_z ~ {omega[mask_out].mean():.3f}") # ~ 0

Dentro del núcleo, $\omega_z \approx 2 U_{\max}/R$ y se mantiene casi constante. Fuera, cae a cero. En el mismo flujo redondo, una frontera nítida en $r = R$ separa partículas que giran de partículas que no.

La simulación, en vivo#

La simulación de abajo permite jugar con los parámetros directamente. Los trazadores amarillos atrapados en el disco central forman el núcleo del vórtice forzado; los azules que vagan por fuera viven en la región del vórtice libre.

core radius R =70U_max =110highlight core (ω ≠ 0)

Yellow tracers sit inside the forced-vortex core and rotate as a solid body (ω = 2U/R). Blue tracers outside follow u_θ = ΓR/r — circular streamlines but zero local spin. The Rankine combined vortex is the simplest model for a bath-tub drain or tornado.

Reducir $R$ estrecha la región rotacional — el modelo de un ojo de tornado que se contrae. Subir $U_{\max}$ escala la vorticidad del núcleo $\omega = 2 U_{\max}/R$ . La gráfica del cuadro superior derecho muestra cómo el tramo lineal del núcleo ( $\omega r$ ) se empalma con la rama hiperbólica externa ( $1/r$ ) justo en $r = R$ .

La próxima vez con un remolino delante#

Separar la región que gira de la región que no: esa es la frase que se queda. Cuando aparezcan después el remolino del desagüe, el pequeño giro en una taza o la imagen satelital de un tifón, conviene recordar tres cosas.

Revolución y giro propio no son lo mismo. Las mismas líneas circulares pueden cargar vorticidad cero.
El vórtice combinado de Rankine es el modelo realista más simple. Cuerpo rígido por dentro, $1/r$ por fuera.
El teorema de Helmholtz responde por qué los vórtices son tan persistentes — a menor viscosidad, mayor longevidad.

Con esas tres líneas en la cabeza, cuando aparezca la "ecuación de transporte de vorticidad" en una clase de turbulencia, no resultará nueva. La vorticidad ya no se conserva, pero el espíritu sigue habitando el mismo lugar.