Sobre Mach 1, hay que ensancharse para acelerar — la paradoja de la tobera Laval

El 14 de octubre de 1947, el X-1 de Chuck Yeager alcanzó Mach 1.06. Lo que dejó atónito al equipo del túnel de viento no fue romper la barrera del sonido en sí, sino algo más extraño: los difusores empezaron a comportarse como aceleradores en el régimen supersónico, mientras las toberas frenaban el flujo. Este artículo sigue la identidad de una sola línea entre área y Mach que explica esa inversión, muestra por qué una tobera Laval debe estrecharse en el centro y de dónde aparecen las ondas de choque. Cerramos con un script de NumPy de treinta líneas que dibuja la curva isentrópica de cualquier tobera.

Número de Mach — un cociente que divide regímenes#

El número de Mach (cociente entre la velocidad del flujo $U$ y la del sonido $a$) es más que una escala de velocidad. La fuerza de inercia por unidad de volumen va como $\rho U^2 / l$ y la elástica como $K l^2 / l^3$, así que la raíz cuadrada de su cociente es exactamente Mach.

Aquí $K$ es el módulo volumétrico (rigidez frente al cambio de volumen) y $\rho$ la densidad. Mach mide cuánto está apretando el flujo a la elasticidad del medio. Como regla práctica, con $\mathrm{Ma} < 0.3$ la densidad varía menos del 5% y la hipótesis incompresible aguanta. Por encima, el propio flujo empieza a comprimir el medio que atraviesa.

Cruzando la velocidad del sonido — del Doppler al cono de Mach#

Una fuente sonora en reposo emite frentes concéntricos. Si se mueve, la longitud de onda se acorta delante y se estira detrás: efecto Doppler clásico. Cuando la fuente alcanza la velocidad del sonido, todos los frentes se apilan en un plano. Si la supera, la fuente adelanta a los frentes que ella misma emitió, y la envolvente se cierra en un cono. Fuera de ese cono de Mach no llega ningún sonido.

El semiángulo $\mu$ sale de pura geometría.

A Mach 2 el cono tiene $\mu \approx 30°$; a Mach 5 se aprieta a $11.5°$. Probemos a manipular la simulación de abajo. Subiendo el deslizador desde 0.6 hasta 2.5 se ve el momento en que la envolvente se vuelca detrás de la fuente.

Dos detalles importan: los frentes se alinean en una recta inclinada justo en Mach 1, y el cono se aprieta más cuanto mayor sea Mach.

La identidad de una línea — (1−1/Ma²)dρ/ρ + dA/A = 0#

Vamos al grano. Tomemos un flujo unidimensional estacionario por un conducto de área variable $A(x)$. La conservación de masa, en forma diferencial, da

y la ecuación de Euler isentrópica con la definición de la velocidad del sonido $a^2 = dp/d\rho$ produce

Eliminando $du$ entre ambas queda la línea que se traga toda paradoja.

$\rho$ es densidad, $A$ es área, $\mathrm{Ma}$ es el número de Mach. El análisis de signos lo aclara todo.

Subsónico ($\mathrm{Ma} < 1$, paréntesis negativo): si el área se reduce ($dA<0$) la densidad cae y la velocidad sube. Es la manguera de jardín cuando se pinza con el dedo.

Supersónico ($\mathrm{Ma} > 1$, paréntesis positivo): todos los signos cambian. Un conducto más estrecho ahora aumenta la densidad y frena el flujo. Intentar empujar el gas más rápido por un cuello más estrecho lo asfixia. Para acelerar hay que dejar que el área crezca.

La tobera Laval — estrechar no siempre acelera#

Ese cambio de signo dicta la forma Laval. Para llevar un gas subsónico hasta supersónico, primero hay que contraer hasta llegar a sónico en una sección estrecha, y luego expandir. La garganta se sitúa exactamente en $\mathrm{Ma}=1$ porque la única forma de que la identidad sea compatible con $1 - 1/\mathrm{Ma}^2 = 0$ es que $dA = 0$.

Una vez fijada el área de garganta $A^*$, las demás secciones quedan determinadas por Mach.

El mismo cociente de áreas admite dos soluciones de Mach, una subsónica y otra supersónica. Qué rama sigue el flujo depende de la presión de descarga $P_b$. Probemos las dos perillas debajo.

Bajando suficiente la presión de descarga, la parte divergente sube por la rama supersónica y Mach pasa de uno. Si se eleva la descarga por encima del punto de diseño, aparece una onda de choque normal en algún lugar de la tobera y el flujo cae de nuevo a subsónico.

Siguiendo la curva en NumPy#

La fórmula de área–Mach y el cociente de presión isentrópico caben en treinta líneas. Invertimos la relación con bisección.

import numpy as np
 
GAMMA = 1.4
 
def area_mach_relation(M, gamma=GAMMA):
    """A/A* — identidad isentrópica área-Mach."""
    exp = (gamma + 1) / (2 * (gamma - 1))
    inner = (2 / (gamma + 1)) * (1 + 0.5 * (gamma - 1) * M ** 2)
    return (1 / M) * inner ** exp
 
def solve_supersonic_branch(area_ratio, gamma=GAMMA, lo=1.0001, hi=25.0):
    """Cociente de áreas -> Mach supersónico (bisección)."""
    for _ in range(80):
        mid = 0.5 * (lo + hi)
        if area_mach_relation(mid, gamma) < area_ratio:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    return 0.5 * (lo + hi)
 
def pressure_ratio_isentropic(M, gamma=GAMMA):
    """p/p0 — presión estática sobre presión de estancamiento."""
    return (1 + 0.5 * (gamma - 1) * M ** 2) ** (-gamma / (gamma - 1))
 
def normal_shock_p2_p1(M1, gamma=GAMMA):
    """Cociente de presión estática a través de un choque normal."""
    return 1 + (2 * gamma / (gamma + 1)) * (M1 ** 2 - 1)
 
A_ratio = 2.5
M_exit = solve_supersonic_branch(A_ratio)
p_exit = pressure_ratio_isentropic(M_exit)
 
print(f"design exit  Ma = {M_exit:.3f}")
print(f"design exit  p/p0 = {p_exit:.4f}")
print(f"if Ma1=1.5 normal shock, p2/p1 = {normal_shock_p2_p1(1.5):.3f}")

La salida:

design exit  Ma = 2.443
design exit  p/p0 = 0.0633
if Ma1=1.5 normal shock, p2/p1 = 2.458

Una tobera con cociente de áreas 2.5 trabajando en condiciones de diseño alcanza Mach 2.44 a la salida y baja la presión estática al 6.3% de la de estancamiento. Si dentro se forma un choque normal a Mach 1.5, la presión salta un factor 2.46 y el flujo regresa instantáneamente al régimen subsónico.

Ondas de choque — el límite de la compresión#

Una onda de compresión que se alcanza a sí misma se vuelve choque. El borde trasero se calienta por la compresión, la velocidad del sonido sube y el reverso adelanta al frente. Todo el salto de presión termina concentrándose en una lámina de unas pocas distancias libres medias — micrómetros en el aire.

El salto de presión a través de un choque normal $p_2/p_1 = 1 + \frac{2\gamma}{\gamma+1}(\mathrm{Ma}_1^2 - 1)$ vale cero en Mach 1 y crece cuadráticamente. Cuando la presión de descarga supera el valor de diseño de una tobera Laval supersónica, el flujo planta un choque interno para cerrar la diferencia y se desacelera a sí mismo. Es el régimen sobreexpandido.

Lo curioso: la misma ecuación gobierna los microchoques que liberan las burbujas de cavitación al colapsar, el chasquido de un látigo cuya punta acaba de superar la velocidad del sonido y el calentamiento de los meteoros al entrar en la atmósfera — distintas caras de una sola identidad.

Para llevarse en la mochila#

• La línea $\left(1 - \tfrac{1}{\mathrm{Ma}^2}\right) \tfrac{d\rho}{\rho} + \tfrac{dA}{A} = 0$ explica todas las inversiones de papel entre tobera y difusor.
• La garganta estrecha de la Laval es la única sección donde se permite Mach 1; el Mach y la presión a la salida se siguen del cociente de áreas más la presión de descarga.
• Los choques aparecen donde se rompe la hipótesis isentrópica. Un choque dentro de una tobera es la señal de que la presión de descarga está por encima del punto de diseño.