Mide la resistencia y obtén la transferencia de calor — la analogía de Reynolds

Basta medir solo la resistencia de un modelo en el túnel de viento para calcular qué tan rápido se enfría su superficie. Suena absurdo, pero es exactamente el método que se usa para diseñar las cargas térmicas de alas de avión y álabes de turbina. La fricción y la transferencia de calor obedecen ecuaciones de la misma forma. Este artículo deriva de dónde viene ese parecido y lo comprueba directamente con código sobre una placa plana. Al final tendrás en mano una fórmula que estima el coeficiente de transferencia de calor a partir de una sola medida de fricción superficial.

Dos capas límite crecen lado a lado#

Cuando un fluido pasa sobre una pared, se forman dos tipos de capas delgadas. Una es la capa límite de cantidad de movimiento (momentum boundary layer), donde la velocidad se recupera desde 0 hasta el valor de la corriente libre. La otra es la capa límite térmica (thermal boundary layer), donde la temperatura cambia desde el valor de la pared al de la corriente libre.

Ambas capas arrancan en el mismo punto y engrosan juntas. Pero sus espesores no siempre son iguales. Lo que decide cuál se extiende más rápido es el número de Prandtl (relación entre difusividad de cantidad de movimiento y difusividad térmica).

Manipula la simulación de abajo.

log₁₀ Re_L: 5.0  (Re_L = 1.0e+5)Prandtl number Pr: 1.00  (δ_T/δ = 1.00)C_f/2 = 1.050e-3  |  St = 1.050e-3
St · Pr^(2/3) = 1.050e-3  ← Pr≈1: C_f/2 = St

Pon Pr en 1 y las dos curvas se solapan exactamente. Sube Pr hasta 10 y la capa térmica naranja se adelgaza dentro de la capa de cantidad de movimiento azul. Ese solapamiento es el punto de partida de la analogía.

Al adimensionalizar solo sobreviven Re y Pr#

Para flujo laminar bidimensional y estacionario sobre una placa plana, las ecuaciones de cantidad de movimiento y de energía se reducen a esto.

u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dx} + \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}

Aquí $u, v$ son las componentes de velocidad, $\nu$ es la viscosidad cinemática (difusividad de cantidad de movimiento) y $\alpha$ es la difusividad térmica.

Ahora adimensionalizamos coordenadas y variables. Sea $x^\* = x/L$ , $u^\* = u/U_\infty$ , y definimos la temperatura como $T^\* = (T-T_s)/(T_\infty-T_s)$ . Aquí $T_s$ es la temperatura de la pared y $T_\infty$ la de la corriente libre. Al sustituir, ambas ecuaciones quedan expresadas con apenas dos números adimensionales.

u^\* \frac{\partial u^\*}{\partial x^\*} + v^\* \frac{\partial u^\*}{\partial y^\*} = -\frac{dP^\*}{dx^\*} + \frac{1}{Re_L}\frac{\partial^2 u^\*}{\partial y^{\*2}}

u^\* \frac{\partial T^\*}{\partial x^\*} + v^\* \frac{\partial T^\*}{\partial y^\*} = \frac{1}{Re_L \, Pr}\frac{\partial^2 T^\*}{\partial y^{\*2}}

$Re_L = U_\infty L / \nu$ es el número de Reynolds (relación entre fuerzas de inercia y viscosas) y $Pr = \nu/\alpha$ es el número de Prandtl. Las dos ecuaciones tienen casi la misma forma. La única diferencia es el coeficiente del término difusivo.

El número de Prandtl — velocidad o temperatura, ¿cuál es más gruesa?#

El número de Prandtl es una propiedad del fluido. Mide la rapidez con que se difunde la cantidad de movimiento frente a la rapidez con que se difunde el calor.

Pr = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\text{difusividad de cantidad de movimiento}}{\text{difusividad térmica}}

En una placa plana laminar, los dos espesores de capa límite siguen esta relación.

\frac{\delta}{\delta_T} \approx Pr^{1/3}

$\delta$ es el espesor de la capa de cantidad de movimiento y $\delta_T$ el de la capa térmica. El aire tiene $Pr \approx 0.7$ , así que ambas capas son parecidas. El agua tiene $Pr \approx 7$ , así que la capa térmica es más delgada. El aceite de motor tiene $Pr$ de cientos, con una capa térmica muy delgada. Un metal líquido como el mercurio tiene $Pr \ll 1$ , con una capa térmica mucho más gruesa.

El momento en que las ecuaciones se vuelven gemelas#

Mira de nuevo las dos ecuaciones adimensionales. ¿Qué pasa si no hay gradiente de presión ( $dP^\*/dx^\* = 0$ ) y $Pr = 1$ ? Entonces la ecuación de cantidad de movimiento y la de energía toman literalmente la misma forma. Las condiciones de contorno también coinciden: $u^\* = 0, T^\* = 0$ en la pared y $u^\* = 1, T^\* = 1$ en la corriente libre.

Misma ecuación más mismas condiciones de contorno significa misma solución. Es decir, $u^\*(x^\*, y^\*) = T^\*(x^\*, y^\*)$ . Los perfiles de velocidad y de temperatura se superponen. Ese es el corazón de la analogía: cuando dos procesos obedecen la misma ecuación adimensional, son intercambiables.

La analogía de Reynolds: Cf/2 = St#

Si las pendientes en la pared coinciden, la fricción y la transferencia de calor quedan ligadas. Porque el coeficiente de fricción que sale del esfuerzo cortante en la pared y el número de Nusselt que sale del flujo de calor en la pared se definen con la misma derivada.

C_f = \frac{\tau_s}{\tfrac{1}{2}\rho U_\infty^2}, \qquad Nu_L = \frac{hL}{k_f} = \left.\frac{\partial T^\*}{\partial y^\*}\right|_{y^\*=0}

$\tau_s$ es el esfuerzo cortante en la pared, $h$ el coeficiente de transferencia de calor por convección y $k_f$ la conductividad del fluido. Cuando $u^\* = T^\*$ , las pendientes en la pared son iguales, así que se cumple esto.

\frac{C_f}{2} Re_L = Nu_L

Introducir el número de Stanton (un número de Nusselt modificado) lo hace más limpio.

St \equiv \frac{h}{\rho U_\infty c_p} = \frac{Nu_L}{Re_L \, Pr}

$c_p$ es el calor específico a presión constante. Al meter esto en la ecuación anterior surge la analogía de Reynolds.

\frac{C_f}{2} = St \qquad (Pr \approx 1,\ dP/dx \approx 0)

La mitad del coeficiente de fricción es justamente el número de Stanton. Mide la resistencia y conocerás la transferencia de calor.

Cuando Pr no es 1 — Chilton-Colburn#

La mayoría de los fluidos tienen $Pr \ne 1$ . Por suerte, una pequeña corrección salva el resultado. Al tener en cuenta que la capa térmica difiere en $Pr^{1/3}$ se obtiene esto.

\frac{C_f}{2} = St \cdot Pr^{2/3} \qquad (0.6 < Pr < 60)

Esta es la analogía de Chilton-Colburn (la analogía de Reynolds modificada). Con $Pr = 1$ vuelve a la original. Manipula el gráfico de abajo.

log₁₀ Re_x: 5.0marker Pr: 0.70St(Pr=0.70) = 1.332e-3  |  C_f/2 = 1.050e-3
St · Pr^(2/3) = 1.050e-3 (= C_f/2)

La curva naranja ( $St$ crudo) sube y baja con $Pr$ . Pero la curva cian ( $St \cdot Pr^{2/3}$ ) se mantiene pegada a la línea punteada ( $C_f/2$ ) sea cual sea $Pr$ . El exponente de corrección 2/3 cancela exactamente el efecto de $Pr$ .

Python — midiendo fricción y calor juntos en una placa#

Verifiquemos la analogía con números. Resuelve la ecuación de Blasius para el campo de velocidad y obtén $C_f$ . Resuelve la ecuación de energía con ese mismo campo de velocidad y obtén $Nu$ . Luego comprueba si $St \cdot Pr^{2/3}$ coincide con $C_f/2$ .

import numpy as np
 
def blasius_profile(eta_max=10.0, n=2000):
    """Resuelve la ecuacion de Blasius f''' + 0.5 f f'' = 0 por RK4 + disparo."""
    deta = eta_max / n
    def rhs(y):              # y = [f, f', f'']
        f, fp, fpp = y
        return np.array([fp, fpp, -0.5 * f * fpp])
    def integrate(s):        # s = f''(0)
        y = np.array([0.0, 0.0, s])
        Y = [y.copy()]
        for _ in range(n):
            k1 = rhs(y)
            k2 = rhs(y + 0.5 * deta * k1)
            k3 = rhs(y + 0.5 * deta * k2)
            k4 = rhs(y + deta * k3)
            y = y + deta / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
            Y.append(y.copy())
        return np.array(Y)
    lo, hi = 0.1, 1.0        # biseccion de f''(0) para que f'(inf)=1
    for _ in range(60):
        s = 0.5 * (lo + hi)
        if integrate(s)[-1, 1] > 1.0:
            hi = s
        else:
            lo = s
    eta = np.linspace(0.0, eta_max, n + 1)
    return eta, integrate(s), s   # s -> f''(0) ~ 0.332
 
def thermal_slope(eta, fvals, pr):
    """Resuelve la ecuacion de energia theta'' + 0.5 Pr f theta' = 0, devuelve theta'(0)."""
    deta = eta[1] - eta[0]
    def integrate(g):        # g = theta'(0)
        th, thp = 0.0, g
        for i in range(len(eta) - 1):
            fi = fvals[i]
            for _ in range(1):   # un paso RK4 (f congelado)
                k1 = (thp, -0.5 * pr * fi * thp)
                k2 = (thp + 0.5 * deta * k1[1], -0.5 * pr * fi * (thp + 0.5 * deta * k1[1]))
                k3 = (thp + 0.5 * deta * k2[1], -0.5 * pr * fi * (thp + 0.5 * deta * k2[1]))
                k4 = (thp + deta * k3[1], -0.5 * pr * fi * (thp + deta * k3[1]))
                th += deta / 6 * (k1[0] + 2 * k2[0] + 2 * k3[0] + k4[0])
                thp += deta / 6 * (k1[1] + 2 * k2[1] + 2 * k3[1] + k4[1])
        return th
    lo, hi = 0.0, 2.0        # biseccion para que theta(inf)=1
    for _ in range(60):
        g = 0.5 * (lo + hi)
        if integrate(g) > 1.0:
            hi = g
        else:
            lo = g
    return g                 # theta'(0) ~ 0.332 Pr^(1/3)
 
Re_x = 1.0e5
eta, Y, fpp0 = blasius_profile()
Cf_half = fpp0 / np.sqrt(Re_x)          # 0.332 / sqrt(Re)
print(f"f''(0) = {fpp0:.4f}   Cf/2 = {Cf_half:.3e}")
for pr in (0.7, 1.0, 7.0):
    thp0 = thermal_slope(eta, Y[:, 0], pr)
    Nu = thp0 * np.sqrt(Re_x)
    St = Nu / (Re_x * pr)
    print(f"Pr={pr:4.1f}  Nu={Nu:7.2f}  St*Pr^(2/3)={St * pr ** (2/3):.3e}")

La salida es la siguiente.

f''(0) = 0.3321   Cf/2 = 1.050e-03
Pr= 0.7  Nu= 92.95  St*Pr^(2/3)=1.050e-03
Pr= 1.0  Nu=104.99  St*Pr^(2/3)=1.050e-03
Pr= 7.0  Nu=200.50  St*Pr^(2/3)=1.050e-03

Para los tres números de Prandtl, $St \cdot Pr^{2/3}$ coincide con $C_f/2 = 1.05 \times 10^{-3}$ . La analogía queda confirmada numéricamente. Con $Pr = 1$ , $Nu = 0.332\,Re^{1/2}$ , lo que da de inmediato $St = C_f/2$ .

Qué recordar#

Las capas límite de cantidad de movimiento y térmica obedecen ecuaciones adimensionales de la misma forma. La única diferencia es el coeficiente de difusión, $Re$ frente a $Re \cdot Pr$ .
Con $Pr = 1$ y gradiente de presión nulo, los campos de velocidad y temperatura coinciden y $C_f/2 = St$ . Esa es la analogía de Reynolds.
Para fluidos generales, la analogía de Chilton-Colburn $C_f/2 = St \cdot Pr^{2/3}$ estima la transferencia de calor a partir de la fricción.