Mide la resistencia y obtén la transferencia de calor — la analogía de Reynolds

Basta medir solo la resistencia de un modelo en el túnel de viento para calcular qué tan rápido se enfría su superficie. Suena absurdo, pero es exactamente el método que se usa para diseñar las cargas térmicas de alas de avión y álabes de turbina. La fricción y la transferencia de calor obedecen ecuaciones de la misma forma. El parecido se comprobó con código sobre una placa plana, no con el nombre de las ecuaciones. Al final queda una fórmula que estima el coeficiente de transferencia de calor a partir de una sola medida de fricción superficial.

Dos capas límite crecen lado a lado#

Cuando un fluido pasa sobre una pared, se forman dos tipos de capas delgadas. Una es la capa límite de cantidad de movimiento (momentum boundary layer), donde la velocidad se recupera desde 0 hasta el valor de la corriente libre. La otra es la capa límite térmica (thermal boundary layer), donde la temperatura cambia desde el valor de la pared al de la corriente libre.

Ambas capas arrancan en el mismo punto y engrosan juntas. Pero sus espesores no siempre son iguales. Lo que decide cuál se extiende más rápido es el número de Prandtl (relación entre difusividad de cantidad de movimiento y difusividad térmica).

Al mover el deslizador de Pr entre 0.1 y 10 cambia el cociente de espesores entre la capa térmica y la de cantidad de movimiento. El deslizador log10 Re_L solo adelgaza el espesor absoluto de ambas capas a la vez.

Pon Pr en 1 y las dos curvas se solapan exactamente. Sube Pr hasta 10 y la capa térmica naranja se adelgaza dentro de la capa de cantidad de movimiento azul. Ese solapamiento es el punto de partida de la analogía.

Al adimensionalizar solo sobreviven Re y Pr#

Para flujo laminar bidimensional y estacionario sobre una placa plana, las ecuaciones de cantidad de movimiento y de energía se reducen a esto.

Aquí $u, v$ son las componentes de velocidad, $\nu$ es la viscosidad cinemática (difusividad de cantidad de movimiento) y $\alpha$ es la difusividad térmica.

Ahora adimensionalizamos coordenadas y variables. Sea $x^\* = x/L$, $u^\* = u/U_\infty$, y definimos la temperatura como $T^\* = (T-T_s)/(T_\infty-T_s)$. Aquí $T_s$ es la temperatura de la pared y $T_\infty$ la de la corriente libre. Al sustituir, ambas ecuaciones quedan expresadas con apenas dos números adimensionales.

$Re_L = U_\infty L / \nu$ es el número de Reynolds (relación entre fuerzas de inercia y viscosas) y $Pr = \nu/\alpha$ es el número de Prandtl. Las dos ecuaciones tienen casi la misma forma. La única diferencia es el coeficiente del término difusivo.

El número de Prandtl — velocidad o temperatura, ¿cuál es más gruesa?#

El número de Prandtl es una propiedad del fluido. Mide la rapidez con que se difunde la cantidad de movimiento frente a la rapidez con que se difunde el calor.

En una placa plana laminar, los dos espesores de capa límite siguen esta relación.

$\delta$ es el espesor de la capa de cantidad de movimiento y $\delta_T$ el de la capa térmica. El aire tiene $Pr \approx 0.7$, así que ambas capas son parecidas. El agua tiene $Pr \approx 7$, así que la capa térmica es más delgada. El aceite de motor tiene $Pr$ de cientos, con una capa térmica muy delgada. Un metal líquido como el mercurio tiene $Pr \ll 1$, con una capa térmica mucho más gruesa.

Con aire a $Pr \approx 0.7$, $Pr^{1/3}$ vale cerca de 0.89 y la capa térmica queda un poco más gruesa que la de cantidad de movimiento. Con agua a $Pr \approx 7$, $7^{1/3} \approx 1.91$ y la capa térmica baja a cerca de la mitad. Los Nusselt impresos repiten esa razón: 104.99 con Pr 1, 92.95 con Pr 0.7 (0.885 veces) y 200.50 con Pr 7 (1.91 veces), todos a $Re_x = 10^5$. $C_f/2 = 1.050 \times 10^{-3}$ no conoce Pr. La fricción pertenece al campo de velocidad. El calor solo apila Pr encima. Un gas se aparta de Pr = 1 porque la viscosidad y la conductividad no salen de un mismo camino libre medio. El factor de teoría cinética que desplaza Pr por 1.98 cuando $\mu$ y $k$ salen de la misma fórmula muestra dónde se parte la premisa Pr = 1.

El momento en que las ecuaciones se vuelven gemelas#

Esas dos ecuaciones adimensionales, otra vez. ¿Qué pasa si no hay gradiente de presión ($dP^\*/dx^\* = 0$) y $Pr = 1$? Entonces la ecuación de cantidad de movimiento y la de energía toman literalmente la misma forma. Las condiciones de contorno también coinciden: $u^\* = 0, T^\* = 0$ en la pared y $u^\* = 1, T^\* = 1$ en la corriente libre.

Misma ecuación más mismas condiciones de contorno significa misma solución. Es decir, $u^\*(x^\*, y^\*) = T^\*(x^\*, y^\*)$. Los perfiles de velocidad y de temperatura se superponen. Ese es el corazón de la analogía: cuando dos procesos obedecen la misma ecuación adimensional, son intercambiables.

La analogía de Reynolds: Cf/2 = St#

Si las pendientes en la pared coinciden, la fricción y la transferencia de calor quedan ligadas. Porque el coeficiente de fricción que sale del esfuerzo cortante en la pared y el número de Nusselt que sale del flujo de calor en la pared se definen con la misma derivada.

$\tau_s$ es el esfuerzo cortante en la pared, $h$ el coeficiente de transferencia de calor por convección y $k_f$ la conductividad del fluido. Cuando $u^\* = T^\*$, las pendientes en la pared son iguales, así que se cumple esto.

Introducir el número de Stanton (un número de Nusselt modificado) lo hace más limpio.

$c_p$ es el calor específico a presión constante. Al meter esto en la ecuación anterior surge la analogía de Reynolds.

La mitad del coeficiente de fricción es justamente el número de Stanton. Con la resistencia ya medida, la transferencia de calor queda determinada.

Cuando Pr no es 1 — Chilton-Colburn#

La mayoría de los fluidos tienen $Pr \ne 1$. Por suerte, una pequeña corrección salva el resultado. Al tener en cuenta que la capa térmica difiere en $Pr^{1/3}$ se obtiene esto.

Esta es la analogía de Chilton-Colburn (la analogía de Reynolds modificada). Con $Pr = 1$, $Pr^{2/3}=1$ y la relación vuelve a la original. El exponente 2/3 es lo que queda cuando el cociente de espesores $Pr^{1/3}$ se encuentra con el Pr del denominador de Stanton. $St = Nu/(Re\,Pr)$ y, si Nu escala como $Pr^{1/3}$, la potencia restante es $1/3-1=-2/3$. Al multiplicar por $Pr^{2/3}$, Pr sale de la ecuación.

Python — midiendo fricción y calor juntos en una placa#

La comprobación es numérica. Resuelve la ecuación de Blasius para el campo de velocidad y obtén $C_f$. Resuelve la ecuación de energía con ese mismo campo de velocidad y obtén $Nu$. Luego comprueba si $St \cdot Pr^{2/3}$ coincide con $C_f/2$.

import numpy as np
 
def blasius_profile(eta_max=10.0, n=2000):
    """Resuelve la ecuacion de Blasius f''' + 0.5 f f'' = 0 por RK4 + disparo."""
    deta = eta_max / n
    def rhs(y):              # y = [f, f', f'']
        f, fp, fpp = y
        return np.array([fp, fpp, -0.5 * f * fpp])
    def integrate(s):        # s = f''(0)
        y = np.array([0.0, 0.0, s])
        Y = [y.copy()]
        for _ in range(n):
            k1 = rhs(y)
            k2 = rhs(y + 0.5 * deta * k1)
            k3 = rhs(y + 0.5 * deta * k2)
            k4 = rhs(y + deta * k3)
            y = y + deta / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
            Y.append(y.copy())
        return np.array(Y)
    lo, hi = 0.1, 1.0        # biseccion de f''(0) para que f'(inf)=1
    for _ in range(60):
        s = 0.5 * (lo + hi)
        if integrate(s)[-1, 1] > 1.0:
            hi = s
        else:
            lo = s
    eta = np.linspace(0.0, eta_max, n + 1)
    return eta, integrate(s), s   # s -> f''(0) ~ 0.332
 
def thermal_slope(eta, fvals, pr):
    """Resuelve la ecuacion de energia theta'' + 0.5 Pr f theta' = 0, devuelve theta'(0)."""
    deta = eta[1] - eta[0]
    def integrate(g):        # g = theta'(0)
        th, thp = 0.0, g
        for i in range(len(eta) - 1):
            fi = fvals[i]
            for _ in range(1):   # un paso RK4 (f congelado)
                k1 = (thp, -0.5 * pr * fi * thp)
                k2 = (thp + 0.5 * deta * k1[1], -0.5 * pr * fi * (thp + 0.5 * deta * k1[1]))
                k3 = (thp + 0.5 * deta * k2[1], -0.5 * pr * fi * (thp + 0.5 * deta * k2[1]))
                k4 = (thp + deta * k3[1], -0.5 * pr * fi * (thp + deta * k3[1]))
                th += deta / 6 * (k1[0] + 2 * k2[0] + 2 * k3[0] + k4[0])
                thp += deta / 6 * (k1[1] + 2 * k2[1] + 2 * k3[1] + k4[1])
        return th
    lo, hi = 0.0, 2.0        # biseccion para que theta(inf)=1
    for _ in range(60):
        g = 0.5 * (lo + hi)
        if integrate(g) > 1.0:
            hi = g
        else:
            lo = g
    return g                 # theta'(0) ~ 0.332 Pr^(1/3)
 
Re_x = 1.0e5
eta, Y, fpp0 = blasius_profile()
Cf_half = fpp0 / np.sqrt(Re_x)          # 0.332 / sqrt(Re)
print(f"f''(0) = {fpp0:.4f}   Cf/2 = {Cf_half:.3e}")
for pr in (0.7, 1.0, 7.0):
    thp0 = thermal_slope(eta, Y[:, 0], pr)
    Nu = thp0 * np.sqrt(Re_x)
    St = Nu / (Re_x * pr)
    print(f"Pr={pr:4.1f}  Nu={Nu:7.2f}  St*Pr^(2/3)={St * pr ** (2/3):.3e}")

La salida es la siguiente.

f''(0) = 0.3321   Cf/2 = 1.050e-03
Pr= 0.7  Nu= 92.95  St*Pr^(2/3)=1.050e-03
Pr= 1.0  Nu=104.99  St*Pr^(2/3)=1.050e-03
Pr= 7.0  Nu=200.50  St*Pr^(2/3)=1.050e-03

Para los tres números de Prandtl, $St \cdot Pr^{2/3}$ coincide con $C_f/2 = 1.05 \times 10^{-3}$. Con $Pr = 1$, $Nu = 0.332\,Re^{1/2}$, lo que da de inmediato $St = C_f/2$.

Con el deslizador del Pr marcador en 0.7, 1 y 7 se lee si el Stanton corregido, en cian, queda sobre la línea punteada $C_f/2$. Mover log10 Re_x baja las dos curvas juntas. Mover Pr no separa la curva cian de esa línea.

La curva naranja ($St$ crudo) sube y baja con $Pr$. La curva cian ($St \cdot Pr^{2/3}$) permanece sobre la línea punteada ($C_f/2$) para cualquier Pr. El exponente 2/3 cancela el efecto de $Pr$.

Las tres filas terminan en el mismo $1.050 \times 10^{-3}$ porque la división devuelve el exponente. Con Pr 1, $St = 104.99/10^5 = 1.050 \times 10^{-3}$ y $Pr^{2/3}=1$, así que no hay corrección. Con Pr 0.7 el Stanton crudo es $92.95/(10^5 \times 0.7) = 1.328 \times 10^{-3}$. Multiplicado por $0.7^{2/3} \approx 0.788$ vuelve a cerca de $1.05 \times 10^{-3}$. Pr 7 va al revés. El St crudo es $200.50/(10^5 \times 7) = 2.864 \times 10^{-4}$, y solo $7^{2/3} \approx 3.66$ lo devuelve a $C_f/2$.

$f''(0)=0.3321$ ocupa el mismo lugar. $C_f/2 = 0.3321/\sqrt{10^5}$ y $\sqrt{10^5} \approx 316.2$, de modo que $0.3321/316.2 = 1.050 \times 10^{-3}$. Una sola pendiente de pared de Blasius fija toda la fricción. La ecuación de energía solo toma prestado el campo de velocidad $f$ como coeficiente. El perfil de temperatura cambia con Pr y $f''(0)$ no se mueve.

Sin el exponente 2/3 en agua, el Stanton se infla unas 3.7 veces#

Con Pr 7, el cociente entre el St crudo $2.864 \times 10^{-4}$ y $C_f/2 = 1.050 \times 10^{-3}$ es 3.67. Es $7^{2/3}$. Escribir $C_f/2 = St$ para agua deja el coeficiente de transferencia de calor unas 3.7 veces demasiado alto. En aire, $0.7^{2/3} \approx 0.79$ y el mismo descuido se queda dentro de un veinte por ciento. La ventana escrita en la fórmula va de Pr 0.6 a 60.

Si el gradiente de presión no es nulo, el término de presión queda solo en la ecuación de cantidad de movimiento y no en la de energía. Las dos soluciones dejan de coincidir. Cuando la capa se separa, el esfuerzo de pared casi desaparece y el flujo de calor no sigue esa razón. La crisis de resistencia en una pelota rugosa, donde la fricción superficial cae de golpe, muestra dónde se parte una estimación de calor apoyada solo en $C_f$.