通过可视化理解 Reynolds 数与流动转捩

尾流每五个直径掉一次涡，那个频率其实已经落在St约0.2上。

同一股空气，在鼻息里是安静的，在通风口里却搅在一起。流体没有换。速度、长度和黏性被捆进一个数，那就是 Reynolds 数。

把 Re 滑条向右推，从默认值 100 出发的速度矢量会在障碍物后方开始失去方向。

停在 50 以下时，箭头绕过障碍物并立刻重新贴上。推过 1000 以后，尾流格子里的矢量方向各走各的。

什么是 Reynolds 数#

定义很短。惯性力除以黏性力。

$Re = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu}$

符号先固定下来。

$\rho$ : 流体密度 $[\text{kg/m}^3]$
$U$ : 特征速度 $[\text{m/s}]$
$L$ : 特征长度 $[\text{m}]$
$\mu$ : 动力粘度 $[\text{Pa·s}]$
$\nu = \mu/\rho$ : 运动粘度 $[\text{m}^2/\text{s}]$

流动状态划分

Reynolds 数范围	流动状态	特征
$Re \ll 1$	蠕动流(Stokes flow)	粘性主导,完全层流
$Re < 2300$ (管流)	层流 (Laminar)	有序的层状流动
$2300 < Re < 4000$	转捩 (Transitional)	不稳定,间歇湍流
$Re > 4000$	湍流 (Turbulent)	不规则混合,高能量耗散

管内的 2300 和圆柱这张图不是同一道门槛。水流散开的临界值，以及边界层怎么分层，写在水流开始散开的临界雷诺数里。

流动转捩的物理机制

层流跨进湍流时，第一道裂缝是开尔文-亥姆霍兹不稳定。两层速度不同的流体碰上，小波动卷成涡。涡再把能量交给更小的涡。

$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u}$

左边的非线性项 $(\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}$ 承担惯性,右边的 $\nu \nabla^2 \mathbf{u}$ 承担粘性衰减。Reynolds 数表示这两项的相对大小。

速度场可视化:Reynolds 数下的流动变化#

前面的画面分成三段来读。低处，黏性项把扰动就地抹掉。中间，障碍物后方的对称先破。过了 1000，涡留在格子里。不要把表里的管流 2300 和这张障碍物图放在同一把尺子上。形状一换，门槛就换。

圆柱绕流流线:卡门涡街

圆柱后方出现周期性的涡脱落，就是卡门涡街。频率用 Strouhal 数来收。

脱落频率用 Strouhal 数 $St$ 归一化:

$St = \frac{f D}{U_\infty}$

其中 $f$ 为涡脱落频率, $D$ 为圆柱直径, $U_\infty$ 为来流速度。圆柱情况下 $St \approx 0.2$ ( $100 < Re < 10^5$ )几乎保持恒定。

把 speed 滑条推高，同一根圆柱的尾流左右摆得更快。

先看前驻点，流线是否在那里分开。再看后方对称是否破裂，涡是否左右交替掉下来。

数值方法中的 Reynolds 数:网格需求#

DNS 要把格子放到最小的长度，也就是 Kolmogorov 尺度。

$\eta = \left(\frac{\nu^3}{\varepsilon}\right)^{1/4}$

格子数随 Re 这样增长。

$N \sim Re^{9/4}$

即 $Re$ 增加 10 倍,网格数需要增加约 178 倍。这是实际湍流仿真依赖 RANS、LES 等湍流模型的原因。

9/4次方与五个直径的周期#

St 若是 0.2，一个周期里流体走过的距离就是直径除以 0.2。1 除以 0.2 等于 5，也就是五个直径。从 Re 100 一直到 10 的 5 次方，这个比值几乎不动，意思是尾流间距用尺子就能读。图案每五个直径重复一次，这个算例就已经落在这段区间里。

Re 加倍时，网格倍率是 2 的 9/4 次方。2 的平方是 4，2 的 1/4 次方大约是 1.19。4 乘 1.19 大约是 4.8。速度只是加倍，格子数却涨到将近五倍。十倍更陡。10 的 9/4 次方等于 100 乘 10 的 0.25 次方。10 的 0.25 次方大约是 1.78，100 乘 1.78 等于 178。Re 上升一个量级要付出 178 倍网格，理由就是这个乘积。

把长度减半，用的还是同一个指数。Kolmogorov 长度式子括号里，黏性的三次方除以耗散，必须变成 1/16，长度才会减半，因为 2 的 4 次方是 16。黏性不动的话，耗散单独变成 16 倍。往更小的涡走一步，代价就是这么重。9/4 在纸上看着平缓，Re 变成 10 倍时的 178 倍却不能看轻。

要不要扛下178倍的网格#

把 Re 提高一个量级的计算若是 DNS，网格按 $Re^{9/4}$ 膨胀。集群接不住这 178 倍，就该改走 RANS 或 LES。圆柱的话，先看尾流间距是不是五个直径。对不上，这个算例就在 St 0.2 的区间外面。

管内临界 $Re$ 和障碍物图上的 1000 不是同一道门槛。4000 和 2300 之间那一条带，宽度是 1700。在支付 178 倍网格之前，先把系数本身变成负数的那次平均放在手边。动态系数有49.9%变成负数的那次平均就是这个决定的下一页。