漩涡的两副面孔 — 自由涡、强迫涡与亥姆霍兹

把浴缸的塞子拔掉，水会一圈圈地转。我们把这一幕称作"水在旋转"。可流体力学家面对这片区域的大部分时，会反过来说："这里没有发生旋转（irrotational）。"看似矛盾的两句话里，藏着涡（vortex）真正的样子。本文把同一幅画里共存的两种漩涡分开：自由涡（free vortex，速度按 $1/r$ 分布）与强迫涡（forced vortex，速度按 $\omega r$ 分布），讲清楚涡量（vorticity，流体微团自转角速度的两倍）究竟在度量什么，再追到亥姆霍兹定理为什么把涡称作"不灭"。

浴缸漩涡真的是"旋转"吗#

"旋转"这一个词里塞着两层意思。其一是公转 — 围着某个点做圆周运动。其二是自转 — 微团自己绕自己的轴转。在浴缸漩涡里，水的微团确实公转。可是自转呢？远离排水口的那块区域几乎没有。一片漂在水面的小叶子沿着圆形轨迹走，可它自己并不转动，始终把同一面对着排水口。

在流体力学里，"旋转"指的就是自转。所以自由涡除了奇异的中心点以外，整个区域都被归为"无旋"。

强迫涡与自由涡：同一幅画，不同的灵魂#

往一个旋转的容器里搅水搅久了，整桶水会像刚体一样一起转。这叫 强迫涡。每一个微团既公转也自转。

u_\theta(r) = \omega \, r

其中 $u_\theta$ 是切向速度， $\omega$ 是刚体的角速度， $r$ 是到中心的距离。速度与半径成正比。

而在忽略粘性的理想流体里自然形成的漩涡，是 自由涡（即势涡）。

u_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}

$\Gamma$ 是环量（circulation） — 沿一条闭合曲线的速度线积分。速度按 $1/r$ 衰减，到中心发散。这一奇点在真实流体里被粘性所驯服。

	强迫涡	自由涡
速度	$\omega r$	$\Gamma / 2\pi r$
自转	有	无
能量输入	持续不断	仅在最初一次
日常例子	搅动的杯水	浴缸、龙卷风

同样的圆形流动，自转的有无却相反。把这一差异化为单一标量的，就是涡量。

涡量度量了什么#

涡量 $\boldsymbol{\omega}$ 是速度场的旋度（curl）。

\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{u}

二维情形里只剩 $z$ 分量：

\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}

其中 $u, v$ 分别是 $x, y$ 方向的速度分量。这一值正好等于 流体微团自转角速度的两倍。

代入强迫涡， $\omega_z = 2\omega$ 是常数 — 整片区域都在自转。代入自由涡，除中心外处处 $\omega_z = 0$ 。流线一样圆，自转情况却恰好相反。

兰金组合涡 — 龙卷风的蓝图#

真实世界里的漩涡不会只听一种法则。靠近中心的地方粘性强，流体像刚体一样转；远处粘性可忽略，自由涡的法则接管。把两者拼起来的模型就是 兰金（Rankine）组合涡。

u_\theta(r) = \begin{cases} \dfrac{U_{\max}}{R}\, r, & r \le R \\[6pt] \dfrac{U_{\max}\, R}{r}, & r > R \end{cases}

$R$ 是核心半径， $U_{\max}$ 是核心边界处的最大切向速度。两段表达式在 $r = R$ 光滑相接。龙卷风的风速分布、飞机翼尖脱出的翼尖涡、排水口上方的吸入涡，都接近这一形状。核心内是有旋区，核心外是无旋区。

亥姆霍兹定理 — 涡的不灭#

在无粘流体中，作用在微团上的力只有压力，而压力指向微团中心，无法产生力矩。所以 此前不自转的微团永远不会开始自转，正在自转的微团永远不会停下。这就是亥姆霍兹涡定理的一行总结。

更精确的说法是 开尔文（Kelvin）定理：沿一条闭合物质曲线测得的环量 $\Gamma$ 不随时间变化。

\frac{D\Gamma}{Dt} = 0

$D/Dt$ 是物质导数（跟随流体微团求导）。涡管不能被切断也不能被分开，被拉长后转得更快 — 跟花样滑冰运动员收紧手臂是同一件事。真实流体有粘性，涡终究会扩散，但在水或空气这种低粘性介质中，它们能存活好几天。这也是为什么飞机航迹上的凝结涡能久久可见。

速度势打开的那扇门#

在无旋（ $\boldsymbol{\omega} = 0$ ）区域，向量恒等式直接送一份礼：

\nabla \times \mathbf{u} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{u} = \nabla \phi

这一标量函数 $\phi$ 称为 速度势。如果还满足不可压缩性 $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$ ，那么

\nabla^2 \phi = 0

正是拉普拉斯方程。无粘、无旋、不可压缩流可以由单一标量函数完全描述。十九世纪的流体力学之所以能用解析手段处理翼型升力、源汇模型，秘诀就在这里。自由涡本身可以写成 $\phi = (\Gamma / 2\pi)\, \theta$ — 一个与角度 $\theta$ 成正比的势函数。

用代码看这两种涡#

把兰金涡的速度和离散涡量画出来，差别一目了然。

import numpy as np
 
def rankine_speed(r, R_core, U_max):
    """兰金组合涡的切向速度"""
    speed = np.where(r <= R_core,
                     U_max * r / R_core,
                     U_max * R_core / np.maximum(r, 1e-9))
    return speed
 
def vorticity_field(u, v, dx, dy):
    """二维离散旋度: omega_z = dv/dx - du/dy"""
    dvdx = (v[1:-1, 2:] - v[1:-1, :-2]) / (2 * dx)
    dudy = (u[2:, 1:-1] - u[:-2, 1:-1]) / (2 * dy)
    return dvdx - dudy
 
# 在 200x200 网格上采样
N, L = 200, 2.0
x = np.linspace(-L, L, N)
y = np.linspace(-L, L, N)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
R = np.hypot(X, Y)
THETA = np.arctan2(Y, X)
 
U_max, R_core = 1.0, 0.5
u_theta = rankine_speed(R, R_core, U_max)
u =  -u_theta * np.sin(THETA)
v =   u_theta * np.cos(THETA)
 
dx = dy = x[1] - x[0]
omega = vorticity_field(u, v, dx, dy)
 
# 核心内外的平均涡量
mask_in  = R[1:-1, 1:-1] <  R_core
mask_out = R[1:-1, 1:-1] >  1.5 * R_core
print(f"核心内平均 omega_z ~ {omega[mask_in].mean():.3f}")   # ~ 2 * U_max / R_core
print(f"核心外平均 omega_z ~ {omega[mask_out].mean():.3f}")  # ~ 0

核心内 $\omega_z \approx 2 U_{\max}/R$ 几乎是常数，核心外则接近零。同样的圆形流动里，把"旋转"与"不旋转"分隔开的边界，正好画在 $r = R$ 上。

在仿真中亲手调一调#

请在下面的仿真中亲手调动参数。被困在中央圆盘里的黄色示踪粒子构成强迫涡核心；外围漂动的蓝色粒子生活在自由涡区域。

core radius R =70U_max =110highlight core (ω ≠ 0)

Yellow tracers sit inside the forced-vortex core and rotate as a solid body (ω = 2U/R). Blue tracers outside follow u_θ = ΓR/r — circular streamlines but zero local spin. The Rankine combined vortex is the simplest model for a bath-tub drain or tornado.

把核心半径 $R$ 调小，自转区域就变窄 — 这正是龙卷风"风眼"收紧的模型。把 $U_{\max}$ 调大，核心涡量 $\omega = 2 U_{\max}/R$ 也跟着放大。右上角的小图显示： $r \le R$ 区段是直线（ $\omega r$ ）， $r > R$ 区段是双曲线（ $1/r$ ），它们在 $r = R$ 处光滑相接。

下次再看到漩涡#

把有自转的区域和没自转的区域分开。这就是这一小时留下的一句话。下次见到浴缸漩涡、茶杯里的小漩、卫星上的台风云图，记得回想三件事。

公转和自转不是一回事。 同样圆的流线可以承载零涡量。
兰金组合涡是最简单的现实模型。 核心内做刚体转动，核心外按 $1/r$ 。
亥姆霍兹定理回答了"涡为何这么难消失" — 粘性越小，活得越久。

带着这三行，下次乱流课上"涡量输运方程"再登场，就不会陌生。涡量本身不再守恒，但精神还停在原处。