网格看不见的壁面 — IBM 的 delta 核与 multi-direct forcing

只看标记点上的滑移，会把间距越拉越大。Δs/h=3时间隙泄漏是0.287，0.25时条件数升到10^11。

壁面不在网格上。流动却感觉得到它。浸没边界法(IBM·不让网格贴合物体、而用强制项表示物体的方法)用动量方程里的一个源项处理这个矛盾。网格保持正交，物体只以浮在网格之上的一组标记点存在。下面用代码确认三件事：这个强制项究竟怎么算、为什么算一次并不能保证无滑移、以及标记点间距选错时会往哪个方向崩掉。

一边切换核一边让 slide 跑着， $\sum\varphi^2$ 要么晃动，要么钉在一个数上。

kernel

marker X/h0.350drag on the canvas to move the marker

2 点 hat 在 0.5 和 1.0 之间来回，Roma 的 3 点核停在 0.5，Peskin 的 4 点核停在 0.375。两个矩条件三种核都同样满足。

用一个强制项立起壁面

Peskin 在 1972 年为了求解心脏瓣膜周围的血流而创造了这个方法。瓣膜又薄又会弯。按那种形状重新划分网格，意味着每个时间步都要重来一次。Peskin 没有动网格，而是往方程里加了一项。

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\nabla^2\mathbf{u} + \mathbf{f}

$\mathbf{u}$ 是速度场， $p$ 是压力， $\nu$ 是运动黏度， $\mathbf{f}$ 是固体施加给流体的体积力。壁面的全部信息都装在 $\mathbf{f}$ 里。

计算在两套网格之间往返。流体住在固定的正交网格(Eulerian)上，物体住在沿表面排列的标记点(Lagrangian)上。连接两者的是离散 delta 函数 $\delta_h$ ，方向有两个。

\mathbf{U}_l = \sum_{\mathbf{x}} \mathbf{u}(\mathbf{x})\,\delta_h(\mathbf{x}-\mathbf{X}_l)\,h^d

这是把网格速度拉到标记点位置 $\mathbf{X}_l$ 的插值(interpolation)。 $h$ 是网格间距， $d$ 是维数。反方向是

\mathbf{f}(\mathbf{x}) = \sum_{l} \mathbf{F}_l\,\delta_h(\mathbf{x}-\mathbf{X}_l)\,\Delta s_l

这是把标记点上算出的力 $\mathbf{F}_l$ 撒回网格的扩散(spreading)。 $\Delta s_l$ 是每个标记点所代表的表面片长度。两个算子分别记作 $\mathcal{I}$ 和 $\mathcal{S}$ 。

连续强制与离散强制 — 各自放弃了什么

构造强制项的方式大致分成两条路线。

	连续强制 (continuous)	离散强制 (ghost-cell / cut-cell)	direct forcing + MDF
界面表示	被 delta 核抹开约 $4h$	sharp	抹开约 $4h$
空间精度	一阶	可做到二阶以上	一阶
物体内部	一起求解	排除在计算外	一起求解
运动/变形物体	直接可用	需处理 fresh cell	直接可用
主要用途	弹性膜、低 Re	高 Re 刚体	IB-LBM、刚体与运动体

连续强制使用 delta 函数。因此界面被抹开，精度被锁在一阶，而且连物体内部也一起求解。在高 Reynolds 数(惯性力与黏性力之比)的计算里，这份浪费代价不小。

离散强制完全不用 delta 函数。ghost-cell IBM 往固体侧单元填入虚拟值，沿表面法线在镜像点上插值来施加边界条件。没有 delta 函数挡路，二阶以上就够得着了。代价是单元分类(流体/固体/ghost)和 fresh point 处理：物体一动，昨天还是固体的单元今天成了流体，而它的值无处可寻。

今天讲的 direct forcing 属于第一条路线。实现简短、对运动物体稳健，所以 IB-LBM 尤其依赖它。起点是 Peskin 不把瓣膜嵌进网格的那套构造。

delta 核必须满足的第三个条件#

$\delta_h$ 不是随便什么函数都行。它由一维核 $\varphi$ 相乘搭成( $\delta_h(\mathbf{x}) = h^{-d}\prod \varphi(x_k/h)$ )，而 $\varphi$ 必须满足条件。教科书总会写下的两个是矩条件。

\sum_i \varphi(r-i) = 1, \qquad \sum_i (i-r)\,\varphi(r-i) = 0

$r$ 是标记点的网格坐标， $i$ 是整数节点编号。前者表示撒出去的力总量守恒，后者表示这份力的重心正好落在标记点上。

真正值得注意的是很少被提起的第三个条件。

\sum_i \varphi(r-i)^2 = \text{const} \quad (\forall r)

这个量是 $\mathcal{I}\mathcal{S}$ 的对角元，也就是一个标记点从自己那里拿回来的份额。它若随 $r$ 变化，那么当物体横穿网格滑动时，同样的速度修正会给出不同大小的力。力就以网格频率振荡。匀速拖曳圆柱却在阻力曲线上看到锯齿，根源就在这里。

三种核可以同样满足那两个矩条件，真正分开的是第三个条件。上面画面里的下侧曲线就是这个差别。

Peskin 4 点核的形式如下。

\varphi(r)=\begin{cases} \frac{1}{8}\left(3-2|r|+\sqrt{1+4|r|-4r^2}\right), & |r|\le 1 \\[4pt] \frac{1}{8}\left(5-2|r|-\sqrt{-7+12|r|-4r^2}\right), & 1<|r|\le 2 \\[4pt] 0, & \text{其他} \end{cases}

支撑宽达 $4h$ ，代价是界面被抹开。换来的是运动物体上的力不会抖。

一次 direct forcing 定不住无滑移#

direct forcing 的想法很直白。先不加强制项推进一步得到临时速度场 $\mathbf{u}^*$ ，插值到标记点上，再把它与目标速度 $\mathbf{U}^d$ 的差除以 $\Delta t$ 当作力。

\mathbf{F}_l = \frac{\mathbf{U}^{d}_l - \mathcal{I}[\mathbf{u}^*]_l}{\Delta t}

固定刚体时 $\mathbf{U}^d = \mathbf{0}$ ，运动时则取物体速度。把这份力撒到网格上更新速度就结束了 — 本该如此，但并没有结束。

原因只有一行： $\mathcal{I}\mathcal{S} \ne \mathbf{E}$ 。先插值再撒回去的这趟往返不是恒等运算。往一个标记点撒力，力会摊开到 $4h$ 的宽度，只有一部分回到原来的标记点。其余的去了邻近标记点，或留在网格节点上。所以修正之后再插值一次，滑移仍然在那里。

在 64×64 网格上放一个半径 $0.18$ 的圆柱、来流 $u=1$ 做试验，一次修正之后标记点上残留的滑移是自由来流的 64%。壁面是立起来了，流体照样以壁面速度的三分之二从旁边走过。

Multi-direct forcing — 迭代补上的缺口#

Wang 等(2008)给出的答案是迭代。别让插值 → 算力 → 扩散一次就收工，把剩下的滑移再喂回去。

\mathbf{u}^{m+1} = \mathbf{u}^{m} + \mathcal{S}\left[\mathbf{U}^{d} - \mathcal{I}[\mathbf{u}^{m}]\right]

这是关于 $\mathbf{A} \equiv \mathcal{I}\mathcal{S}$ 的 Richardson 迭代。误差每轮乘上 $(\mathbf{E}-\mathbf{A})$ ，所以收敛速度由 $\mathbf{A}$ 的特征值决定。

也可以隐式地一次解完。

\mathbf{A}\,\Delta\mathbf{U} = \mathbf{U}^{d} - \mathcal{I}[\mathbf{u}^*]

代价是每个时间步求解一个规模等于标记点数的稠密矩阵。物体一旦运动或变形， $\mathbf{A}$ 每步都要重建。MDF 则不组装矩阵，只靠矩阵向量乘就逼近同一个位置。

这里藏着一个陷阱。实测下来， $\mathbf{A}$ 的最大特征值在 0.374 附近，最小特征值贴着 0。于是 $(\mathbf{E}-\mathbf{A})$ 的谱半径是 1。主导模态每轮缩小到 0.64 倍，但特征值接近 0 的模态完全不缩小。所以 MDF 的残余滑移不会收敛到 0，而是在百分之几的水平上变平。把迭代次数提到 20 次，与 5 次相比几乎没有差别。3～5 次就把能拿的都拿到了。

用 Python 数一数残余滑移#

给一个圆柱加上均匀来流，改变标记点间距并运行 MDF。测两样东西：标记点上的滑移，以及标记点之间(中点)的滑移。

import numpy as np
 
N, H = 64, 1.0 / 64            # Eulerian 网格：64x64 均匀单元
R, CX, CY = 0.18, 0.5, 0.5     # 置于均匀来流 u = 1 中的圆形物体
 
def peskin_kernel(r):
    """4 点 Peskin 核。与标记点位置无关，矩条件始终成立。"""
    a = np.abs(r)
    out = np.zeros_like(a)
    m1, m2 = a <= 1.0, (a > 1.0) & (a <= 2.0)
    out[m1] = (3 - 2 * a[m1] + np.sqrt(1 + 4 * a[m1] - 4 * a[m1] ** 2)) / 8
    out[m2] = (5 - 2 * a[m2] - np.sqrt(-7 + 12 * a[m2] - 4 * a[m2] ** 2)) / 8
    return out
 
def make_marker_ring(ratio, offset=0.0):
    """圆周上的 Lagrangian 标记点，间距 ds = ratio * h。"""
    n = max(8, int(round(2 * np.pi * R / (ratio * H))))
    th = np.linspace(0, 2 * np.pi, n, endpoint=False) + offset * np.pi / n
    return CX + R * np.cos(th), CY + R * np.sin(th), 2 * np.pi * R / n
 
def marker_stencil(xm, ym):
    """每个标记点的 4x4 支撑区索引与可分离权重。"""
    ii = np.floor(xm / H - 1.5).astype(int)[:, None] + np.arange(4)
    jj = np.floor(ym / H - 1.5).astype(int)[:, None] + np.arange(4)
    return ii % N, jj % N, peskin_kernel(xm[:, None] / H - ii), peskin_kernel(ym[:, None] / H - jj)
 
def interp_to_markers(u, st):
    """Eulerian -> Lagrangian:  U_l = sum_x u(x) delta_h(x - X_l) h^2"""
    ii, jj, wx, wy = st
    out = np.zeros(ii.shape[0])
    for a in range(4):
        for b in range(4):
            out += u[ii[:, a], jj[:, b]] * wx[:, a] * wy[:, b]
    return out
 
def spread_to_grid(dU, st, ds):
    """Lagrangian -> Eulerian:  du(x) = sum_l dU_l delta_h(x - X_l) ds"""
    ii, jj, wx, wy = st
    out = np.zeros((N, N))
    for a in range(4):
        for b in range(4):
            np.add.at(out, (ii[:, a], jj[:, b]), dU * wx[:, a] * wy[:, b] * ds / H)
    return out
 
def influence_matrix(st, ds):
    """A = I S。隐式 IB 解法要求逆的正是这个矩阵。"""
    n = st[0].shape[0]
    A = np.zeros((n, n))
    for l in range(n):
        e = np.zeros(n)
        e[l] = 1.0
        A[:, l] = interp_to_markers(spread_to_grid(e, st, ds), st)
    return A
 
def slip_after_mdf(ratio, n_iter):
    """跑 n_iter 轮 multi-direct forcing，再测标记点上与标记点之间的滑移。"""
    xm, ym, ds = make_marker_ring(ratio)
    st = marker_stencil(xm, ym)
    gap = marker_stencil(*make_marker_ring(ratio, offset=1.0)[:2])   # 标记点之间的中点
    u = np.ones((N, N))                                             # 自由来流，还不知道物体存在
    history = []
    for _ in range(n_iter):
        slip = 0.0 - interp_to_markers(u, st)                       # 目标速度为零
        history.append(np.max(np.abs(slip)))
        u += spread_to_grid(slip, st, ds)
    A = influence_matrix(st, ds)
    return dict(n=len(xm), history=history,
                on=np.max(np.abs(interp_to_markers(u, st))),
                between=np.max(np.abs(interp_to_markers(u, gap))),
                cond=np.linalg.cond(A), lam=np.linalg.eigvals(A).real.max())
 
print(f"{'ds/h':>5}{'markers':>9}{'slip@marker':>13}{'slip@gap':>10}{'cond(A)':>11}{'lam_max':>9}")
for ratio in (0.25, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0):
    r = slip_after_mdf(ratio, n_iter=10)
    print(f"{ratio:5.2f}{r['n']:9d}{r['on']:13.4f}{r['between']:10.4f}{r['cond']:11.1e}{r['lam']:9.3f}")

输出如下。

 ds/h  markers  slip@marker  slip@gap    cond(A)  lam_max
 0.25      290       0.0407    0.0442    1.3e+11    0.369
 0.50      145       0.0352    0.0439    8.8e+05    0.371
 1.00       72       0.0425    0.0455    6.8e+02    0.374
 1.50       48       0.0368    0.0630    6.4e+00    0.374
 2.00       36       0.0114    0.0519    2.0e+00    0.376
 3.00       24       0.0041    0.2865    1.1e+00    0.434

把 ds/h 推过 2.5，白点会变红并从标记缝里钻进去；降到 0.4 以下，cos θ 贴到 1。

marker spacing ds/h1.00MDF passes6

变红的粒子已经在物体里面。MDF passes 从 0 到 3 时滑移掉得很快，之后几乎不动。

只看 slip@marker 一列，标记点越稀疏似乎越好。 $\Delta s/h = 3$ 时是 0.004，全表最小。这是陷阱。

圆周 $2\pi R = 2\pi\times 0.18 \approx 1.131$ ， $h=1/64=0.015625$ 。 $\Delta s/h=1$ 时标记点数是 $1.131/0.015625\approx 72.4$ ，四舍五入为 72，与表一致。 $\Delta s/h=0.25$ 是 290 个，3.0 是 24 个。一次修正后滑移是自由来流的 64%，也就是 0.64。10 轮 MDF 之后， $\Delta s/h=1$ 的标记点滑移是 0.0425，大约是 0.64 的十五分之一。特征值 0.374 时一轮收缩是 $1-0.374=0.626$ ，和前面说的 0.64 对得上。 $0.64^5\approx 0.107$ ，五轮之后主导模态大约剩最初的 11%。靠近 0 的模态不动，所以 10 轮之后 0.04 附近就是地板。

$\Delta s/h=3$ 的间隙滑移 0.2865 大约是标记点上 0.0041 的 70 倍。 $\Delta s/h=1$ 时两者是 0.0455 和 0.0425，几乎一样。条件数在 0.25 是 $1.3\times 10^{11}$ ，在 1.0 是 $6.8\times 10^{2}$ ，在 3.0 是 1.1。 $\lambda_{\max}$ 到 2.0 还停在 0.376，到 3.0 跳到 0.434。标记点一稀，对角也跟着动。

Δs/h 两侧的两道悬崖#

看同一张表的 slip@gap 列。 $\Delta s/h = 3$ 时是 0.287。标记点所在之处无滑移几乎完美，而标记点与标记点之间，自由来流的 29% 原样穿了过去。只有被强制的点是安静的，水从缝隙里漏走。

另一侧的悬崖在 cond(A) 列。 $\Delta s/h = 0.25$ 时条件数是 $10^{11}$ 。标记点排得太密，相邻两个标记点看到的几乎是同一批网格节点， $\mathbf{A}$ 的行就变得彼此平行。显式 MDF 照样能跑。隐式解法在这里死掉。

工程上推荐 $\Delta s \approx h$ 的理由，就在这两列之间。把表面离散取得比流体网格略密一点( $\Delta s \approx 0.7h \sim 1.0h$ )，是安全区间。

只有标记点上安静，墙并没有立起来

slip@marker 可以降到 0.004，而 $\Delta s/h=3$ 的间隙滑移仍是 0.2865。安静的只有被强制的那些点。另一侧 $\Delta s/h=0.25$ 的泄漏只有 0.0442，条件数却是 $1.3\times10^{11}$ ，隐式求逆就死在那里。表里两列同时偏小的区间，是 $\Delta s/h$ 从 0.5 到 1.5。

只靠两个矩条件选核，2 点 hat 的 $\sum\varphi^2$ 会在 0.5 和 1.0 之间摆，阻力上留下网格频率的锯齿。一次 direct forcing 留下 64% 的滑移。3 到 5 轮能压下主导模态，靠近零空间的部分还在。先推进速度的那一步，和 Chorin 的投影步是同一个位置。