¿Por qué los motores de gasolina se detienen en relación de compresión 12? — Otto y Diésel

En 1919 Thomas Midgley, en una refinería, seguía un tintineo metálico en los motores. Sube la relación de compresión y la potencia crece. Pasada una línea, el combustible detona antes de que la bujía encienda. Ese golpe es el cascabeleo (knock). Al plegar el motor alternativo en cuatro procesos termodinámicos queda la fórmula que fija la eficiencia. El Python del final puntúa Otto contra Diésel con la misma relación.

Sube la relación de compresión, ¿y dónde se detiene?#

La relación de compresión (volumen máximo del cilindro sobre el mínimo) es la perilla de la eficiencia. Apretar más el aire saca más trabajo del mismo combustible.

La temperatura llega primero. La compresión adiabática reduce el volumen y calienta el gas a la vez. Superado el punto de autoignición, la mezcla explota antes de que la llama la alcance. Eso es el cascabeleo. Pistones y cojinetes se van primero.

El control de la relación de compresión estira el lazo P–V hacia los lados. El control del calor solo empuja ese mismo lazo hacia arriba.

El área sombreada es el trabajo neto de un ciclo. El número de eficiencia apenas se mueve al subir el calor. El cascabeleo mira el extremo izquierdo del lazo, la temperatura al terminar la compresión.

En 1921 Midgley agregó plomo tetraetilo para retrasar el encendido. El octanaje (un índice antidetonante) salió de ahí. Los aditivos también se agotan. La gasolina suele quedarse entre 9 y 12.

Cuatro procesos para un motor — el ciclo Otto de aire estándar#

Un motor real entrelaza admisión, combustión y escape. Para poder tratarlo, se fija el fluido de trabajo como una cantidad dada de gas ideal (aire) y se reemplaza la combustión por "calor que entra desde afuera". Esa simplificación es el ciclo Otto.

Se cierra en cuatro procesos.

• 1→2: compresión adiabática (el pistón comprime el aire)
• 2→3: aporte de calor a volumen constante (volumen fijo, combustión instantánea)
• 3→4: expansión adiabática (el aire empuja el pistón — la carrera de potencia)
• 4→1: rechazo de calor a volumen constante (el calor se descarga por el escape)

En un proceso adiabático, la relación de compresión $r=V_1/V_2$ y la temperatura quedan ligadas:

Aquí $T$ es la temperatura y $k$ es la relación de calores específicos ($c_p/c_v$, cerca de 1.4 para el aire). A mayor relación de compresión, más abrupta es la subida de $T_2$. La semilla del cascabeleo vive en esa relación. El estiramiento lateral del lazo, el del control de arriba, sale de aquí. Una tobera que compra velocidad al expandirse es otra máquina: el conducto tiene que abrirse después de la garganta. En el motor, esa expansión empuja un pistón.

La eficiencia la fija solo la relación de compresión#

La eficiencia térmica es el trabajo realizado dividido por el calor recibido. En el calentamiento y el rechazo a volumen constante, el calor es proporcional a una diferencia de temperaturas, así que

donde $Q_{in}$ es el calor recibido y $Q_{out}$ el descartado. Al sustituir las relaciones adiabáticas $T_2/T_1 = T_3/T_4 = r^{k-1}$, todas las temperaturas se cancelan y queda un resultado asombrosamente simple:

La eficiencia conserva solo la relación de compresión $r$ y la relación de calores específicos $k$. Cuánto combustible se quemó ($Q_{in}$) salió de la fórmula. Por eso el control del calor no movía el número.

El 56.5% impreso es $1-8^{-0.4}$ en $r=8$. El 63.0% es $r=12$. Con $k=1.4$ el término de pérdida es $r^{-0.4}$. Al invertirlo, la razón de temperaturas es $T_2/T_1 = 1/(1-\eta)$: cerca de 2.30 en $r=8$ y cerca de 2.70 en $r=12$. El listado toma el aire de admisión a 300 K, así que el fin de la compresión cae cerca de 690 K y de 810 K. Cuatro muescas, de 8 a 12, compran 6.5 puntos de eficiencia y unos 120 K. La pendiente de la eficiencia se acuesta. La de la temperatura no. El cascabeleo se enciende antes que la eficiencia.

La forma cerrada en $r=9$ es 0.5848. La pérdida $1-0.5848=0.4152$ deja $T_2/T_1$ cerca de 2.41 y $T_2$ cerca de 722 K. La perilla de calor alpha fija $T_3 = T_2 \alpha$: alpha 3 pone $T_3$ cerca de 2170 K y alpha 6 cerca de 4330 K. $T_4 = T_1 \alpha$, así que el calor rechazado escala con el mismo factor. Alpha se cancela en $q_{out}/q_{in} = T_1/T_2$. Duplicar el calor deja 0.5848 clavado.

Una relación de 8 da cerca del 56%, y 12 cerca del 63%. Los números pelados piden otra muesca. El cascabeleo corta el camino cerca de 12.

El Diésel salta el muro con calentamiento a presión constante#

Rudolf Diesel tomó otro camino. No premezcla el combustible. Comprime solo aire. Tras elevar la temperatura al final de la compresión por encima del punto de autoignición, inyecta combustible que arde en el instante en que cae. Sin bujía. Sin carga premezclada que pueda cascabelear, la relación de compresión puede trepar a 15–22.

La diferencia está en cómo entra el calor. Como el combustible se inyecta y arde de forma gradual, la presión se mantiene casi constante mientras el volumen crece. Es calentamiento a presión constante, no a volumen constante.

Aquí entra un nuevo número adimensional: la relación de corte (cut-off ratio) $r_c = V_3/V_2$, cuántas veces se expandió el volumen durante el calentamiento a presión constante. La eficiencia cambia a:

Es la expresión de Otto multiplicada por una fracción extra. Esa fracción siempre es mayor que 1 cuando $r_c>1$. Es decir, con la misma relación de compresión el Diésel pierde frente al Otto. A cambio, el Diésel puede operar con una relación de compresión mucho mayor, y en un motor real termina siendo más eficiente.

Con la misma relación de compresión, gana el Otto#

Al poner los dos ciclos sobre el eje de la relación de compresión, el orden aparece antes que la figura. Las curvas se acuestan hacia la derecha. Una unidad extra de relación compra menos eficiencia. Con la misma $r$, el cian (Otto) queda por encima del ámbar (Diésel). La banda roja es el muro práctico de la gasolina. El Otto se detiene delante. El Diésel la cruza y sigue más a la derecha.

Al bajar el corte hacia 1.2, el calentamiento a presión constante se parece al de volumen constante. Cuando $r_c \to 1$ las dos fórmulas coinciden. Esa escala mide cuánto se alejó el Diésel del Otto. La tabla imprime la brecha primero.

Python — Medir ambos ciclos directamente#

La forma cerrada tiene que salir de las temperaturas de estado. El listado lo comprueba.

import numpy as np
 
K = 1.4  # relación de calores específicos del aire (cp/cv)
 
def otto_efficiency(r, k=K):
    """ciclo Otto: calentamiento a volumen constante, relación r"""
    return 1.0 - 1.0 / r ** (k - 1)
 
def diesel_efficiency(r, cutoff, k=K):
    """ciclo Diésel: calentamiento a presión constante, relación r, corte cutoff"""
    return 1.0 - (1.0 / r ** (k - 1)) * (cutoff ** k - 1) / (k * (cutoff - 1))
 
for r in [8, 12, 18, 22]:
    eo = otto_efficiency(r)
    ed = diesel_efficiency(r, cutoff=2.0)
    print(f"r={r:2d}  Otto={eo*100:5.1f}%  Diesel(rc=2)={ed*100:5.1f}%")

Salida:

r= 8  Otto= 56.5%  Diesel(rc=2)= 49.0%
r=12  Otto= 63.0%  Diesel(rc=2)= 56.7%
r=18  Otto= 68.5%  Diesel(rc=2)= 63.2%
r=22  Otto= 71.0%  Diesel(rc=2)= 66.0%

El control del corte mueve solo la curva ámbar, y el eje horizontal es la columna $r$ de la tabla.

Con el corte por defecto $r_c=2$ la brecha es de 7.5 puntos en $r=8$ (56.5 frente a 49.0), 6.3 puntos en $r=12$ (63.0 frente a 56.7) y todavía 5.0 puntos en $r=22$ (71.0 frente a 66.0). El hueco se reduce. El signo no cambia. Al llevar el control a 1.2 las curvas se sientan una sobre la otra. Con $r_c=2$ y $k=1.4$ la fracción del Diésel es $(2^{1.4}-1)/1.4$. Como $2^{1.4}$ vale cerca de 2.639, la fracción queda cerca de 1.171. La pérdida del Otto en $r=12$ es 37.0%. Por 1.171 da 43.3%, y la eficiencia es 56.7%, la misma línea de la tabla.

Ahora construimos la eficiencia directamente desde las temperaturas de estado y la comparamos con la forma cerrada.

def otto_from_states(r, alpha, k=K):
    """eficiencia desde las temperaturas de estado (alpha = P3/P2, perilla de calor)"""
    T1 = 300.0                 # K, aire de admisión
    T2 = T1 * r ** (k - 1)     # 1->2 compresión adiabática
    T3 = T2 * alpha            # 2->3 calentamiento a volumen constante
    T4 = T3 / r ** (k - 1)     # 3->4 expansión adiabática
    q_in = T3 - T2             # cv se cancela
    q_out = T4 - T1
    return 1.0 - q_out / q_in
 
print(otto_from_states(9, alpha=3.0))  # 0.5848...
print(otto_from_states(9, alpha=6.0))  # 0.5848...  igual aun con más calor
print(otto_efficiency(9))              # 0.5848...

Las tres líneas imprimen el mismo 0.5848. Duplicar la perilla de calor alpha de 3 a 6 deja la eficiencia intacta. Eso confirma en código por qué el control de calor en la simulación P–V nunca movió la eficiencia.

Parar en 12, o recortar la relación de corte#

En $r=12$ el Otto está en 63.0% y el Diésel con corte 2 en 56.7%. Con la relación fija, la elección es el Otto. La gasolina no sostiene esa condición. La carga premezclada choca con el cascabeleo y 12 es el final del camino. La fórmula $\eta = 1 - r^{-(k-1)}$ conserva solo la relación de compresión y la de calores específicos. Cuánto se quema fija el tamaño de la salida, no la eficiencia.

El Diésel comprime solo aire, retira el techo y opera entre 15 y 22. El Diésel en $r=18$ da 63.2%, a la par del Otto en 12. En $r=22$ va por delante con 66.0%. La pérdida a igual relación la fabrica la fracción de corte. La decisión que la da vuelta es permitir una relación más alta. Otro muro, donde el líquido hierve porque la presión cayó primero, está en la presión de vapor por delante de la temperatura.