Olas colgadas en el cielo — La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz

De vez en cuando el cielo luce una hilera de olas marinas como congeladas. Crestas en forma de gancho, enroscadas y alineadas como rompientes en una playa. En una foto parecen un montaje, pero son nubes reales y tienen nombre: nubes de Kelvin-Helmholtz. El aire imita el instante justo antes de que una ola rompa.

Este artículo sigue cómo se forman esos ganchos. Una frontera delgada donde una corriente rápida se encuentra con una lenta: una capa de cizalla. Veremos por qué esa frontera se niega a quedarse plana y en cambio se enrolla en vórtices, cuándo se enrolla y cuándo permanece quieta, todo condensado en una sola fórmula de tasa de crecimiento. Al final enrollamos a mano una capa delgada de vórtices para fabricar los ganchos.

Olas colgadas en el cielo#

Las nubes de Kelvin-Helmholtz no son el único lugar donde esto ocurre. Lo mismo sucede por todas partes. Las costuras donde se separan las bandas de Júpiter, las ondas internas donde el agua de mar de distinta densidad se desliza sobre sí misma, la breve espiral al verter leche en el café. Incluso el punto donde una cinta de humo de cigarrillo que sube recta se dispersa de golpe sigue la misma regla.

Comparten un solo ingrediente. Dos capas de fluido fluyen lado a lado a velocidades distintas. La capa superior rápida, la inferior lenta. La frontera delgada entre ambas se desliza. Ese deslizamiento —la cizalla— es la semilla.

La intuición dice que las dos corrientes deberían pasar deslizándose una junto a otra. No es así. Basta una ondulación mínima en la frontera para que esa ondulación crezca por sí sola. Esta es la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz (una inestabilidad de la interfaz provocada por la cizalla).

Qué ocurre cuando dos corrientes se deslizan#

Supongamos que sobre la frontera se levanta un pequeño montículo. La corriente rápida de arriba debe pasar por encima. El paso sobre la cresta se estrecha. Para que el caudal se mantenga, el fluido se acelera donde el paso es angosto.

Más rápido significa menor presión. Es el principio de Bernoulli (donde el flujo es rápido, la presión es baja). La menor presión sobre la cresta succiona la cresta aún más hacia arriba. En el valle ocurre lo contrario: el flujo se frena, la presión sube y el valle se hunde más.

En resumen: la cresta sube más y el valle cava más hondo. Una ondulación pequeña se alimenta a sí misma, una retroalimentación positiva. Una vez que empieza, no se detiene. Ese es el mecanismo central de la inestabilidad.

Un malentendido frecuente: "Agua pesada abajo, aire ligero arriba, ¿no es eso estable?". Solo por gravedad, sí. Pero una cizalla suficientemente fuerte vence el efecto estabilizador de la gravedad. Hasta una estratificación estable colapsa frente a un viento fuerte.

La relación de dispersión — Qué longitudes de onda crecen#

Este forcejeo se condensa en una sola ecuación. Una capa superior (densidad $\rho_1$ ) y una inferior (densidad $\rho_2$ ) se deslizan a velocidad relativa $\Delta U$ , con la gravedad $g$ y la tensión superficial $T$ actuando sobre la interfaz. La rapidez con que crece una ondulación de número de onda $k$ (ondas por unidad de longitud) —su tasa de crecimiento $\sigma$ — es:

\sigma(k) = k\sqrt{\frac{\rho_1\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)^2}(\Delta U)^2 - \frac{g(\rho_2-\rho_1)}{(\rho_1+\rho_2)\,k} - \frac{T k}{\rho_1+\rho_2}}

$\sigma$ es la velocidad con que la ondulación se agranda. El primer término bajo la raíz es la cizalla (desestabiliza), el segundo es la gravedad (el fluido pesado abajo estabiliza) y el tercero es la tensión superficial (tensa la interfaz y estabiliza).

Si el radicando es positivo, $\sigma$ es real y la ondulación crece de forma exponencial. Si es negativo, $\sigma$ es imaginario: la ondulación solo oscila y no crece. La condición de inestabilidad es que el radicando sea positivo, es decir, que la cizalla venza a los otros dos términos.

\frac{\rho_1\rho_2}{\rho_1+\rho_2}(\Delta U)^2 > \frac{g(\rho_2-\rho_1)}{k} + T k

Veamos el caso más puro. Si las dos capas tienen igual densidad ( $\rho_1=\rho_2=\rho$ ) y no hay gravedad ni tensión superficial, la fórmula se reduce a algo sorprendentemente simple.

\sigma = \frac{k\,\Delta U}{2}

Cuanto mayor es el número de onda —cuanto más corta la longitud de onda— más rápido crece. Sin ningún freno, longitudes de onda arbitrariamente cortas se disparan. En el flujo real, la viscosidad corta esta fuga en el extremo de las longitudes de onda cortas.

La gravedad y la tensión superficial pisan el freno#

Los dos frenos detienen longitudes de onda distintas. El término de gravedad va como $1/k$ , así que suprime las ondas largas (pequeño $k$ ). El término de tensión superficial va como $k$ , así que suprime las ondas cortas (gran $k$ ). En medio sobrevive una banda de longitudes de onda inestables.

Si la cizalla es débil, esa banda nunca se abre. Al aumentar la cizalla, en cierto momento la inestabilidad irrumpe primero en una longitud de onda concreta. Ese umbral es exactamente la velocidad mínima de viento a la que una brisa empieza a levantar olas en una superficie en calma.

\Delta U_{\min}^2 = \frac{2(\rho_1+\rho_2)}{\rho_1\rho_2}\sqrt{g\,T\,(\rho_2-\rho_1)}

Con aire y agua se obtiene $\Delta U_{\min} \approx 6.6\ \mathrm{m/s}$ , y la primera longitud de onda en irrumpir ronda 1.7 cm. Kelvin lo calculó en el siglo XIX. (Una superficie de agua real se riza también a velocidades de viento menores, por la viscosidad: un límite de la teoría ideal.)

Para un flujo estratificado de forma continua, el veredicto lo da el número de Richardson (la razón entre flotabilidad y cizalla). $\mathrm{Ri} = N^2/(dU/dz)^2$ , donde $N$ es la frecuencia de flotabilidad. El teorema de Miles-Howard dice que la inestabilidad es posible en algún punto por debajo de $\mathrm{Ri} < 1/4$ . Es el criterio práctico para predecir cuándo estalla la turbulencia en la atmósfera y el océano.

Conviene probar a pisar el freno abajo. Al mover los deslizadores de cizalla, razón de densidades, gravedad y tensión superficial se ve cómo se rehace la curva de la tasa de crecimiento.

UNSTABLE — fastest growth at λ* ≈ 0.79 cm (σ ≈ 597.78 /s)

Shear ΔU: 8.0 m/sρ_upper/ρ_lower: 1.0e-2Gravity g: 9.8Surface tension T: 0.072

Al bajar la cizalla $\Delta U$ hacia 6, la curva se aplana contra el suelo y pasa a "STABLE". Al subir la gravedad o la tensión superficial, la banda inestable (la región naranja) se estrecha por ambos lados. Al empujar la razón de densidades hacia 1 (las dos capas volviéndose parecidas), la curva se dispara incluso con la cizalla más leve.

Dibujar la curva de crecimiento en Python#

Al pasar la fórmula directamente a código se puede leer qué longitud de onda crece primero a cualquier velocidad de viento.

import math
 
def kh_growth_rate(k, dU, rho_u, rho_l, g=9.81, T=0.072):
    """Tasa de crecimiento sigma(k) de un modo de Kelvin-Helmholtz."""
    shear   = rho_u * rho_l * dU**2 / (rho_u + rho_l)**2   # desestabiliza (cizalla)
    gravity = g * (rho_l - rho_u) / ((rho_u + rho_l) * k)  # estabiliza ondas largas
    tension = T * k / (rho_u + rho_l)                      # estabiliza ondas cortas
    disc = shear - gravity - tension
    return k * math.sqrt(disc) if disc > 0 else 0.0
 
rho_air, rho_water = 1.225, 1000.0
ks = [1 + 0.2 * i for i in range(4000)]
for dU in (3.0, 6.6, 10.0):
    s = [kh_growth_rate(k, dU, rho_air, rho_water) for k in ks]
    smax = max(s)
    if smax > 0:
        kstar = ks[s.index(smax)]
        lam = 2 * math.pi / kstar * 100   # cm
        print(f"dU={dU:4.1f} m/s -> unstable, lambda*={lam:5.2f} cm, sigma_max={smax:6.2f} /s")
    else:
        print(f"dU={dU:4.1f} m/s -> stable (no waves)")

El resultado de ejecutarlo es:

dU= 3.0 m/s -> stable (no waves)
dU= 6.6 m/s -> unstable, lambda*= 1.69 cm, sigma_max=  4.89 /s
dU=10.0 m/s -> unstable, lambda*= 0.78 cm, sigma_max=183.30 /s

Con un viento de 3 m/s la superficie sigue en calma. En el instante en que cruza 6.6 m/s, una ondulación de unos 1.7 cm es la primera en crecer. Al subir más el viento, la tasa de crecimiento trepa con fuerza mientras la longitud de onda más peligrosa se acorta.

El instante en que se enrolla#

La teoría lineal describe bien la etapa inicial, mientras la ondulación todavía crece. Pero una vez que el montículo se hace bastante grande, la historia cambia. La interfaz no solo ondula: se enrosca por completo. La delgada capa de vórtices se enrolla en un tren regular de vórtices. Esta es la verdadera identidad de las nubes en gancho, y el patrón que la teoría llama ojo de gato de Stuart (cat's eye).

La simulación de abajo realmente enrolla una capa de vórtices levemente perturbada. Cada punto es una marca sobre la interfaz que atrae a las demás mediante la velocidad inducida de un flujo no viscoso. Con los deslizadores se cambia el número de vórtices y la intensidad de la cizalla.

Billows: 2Shear ΔU: 1.0Bump: 0.03

Una línea que empieza como una onda suave se enrosca en un ojo de gato en pocos segundos. Al subir la cizalla $\Delta U$ se enrolla más rápido; al aumentar el número de vórtices aparece un tren de ganchos más fino. Con Reset se vuelve a empezar desde una onda plana.

Aquí importa separar las dos etapas. La fórmula de la tasa de crecimiento describe solo la etapa lineal, cuando la ondulación crece por primera vez. El ojo de gato enrollado es la etapa no lineal, una imagen aparte que nace de la interfaz tirando de sí misma. La naturaleza muestra ambas en secuencia. La ondulación se levanta y luego se enrolla.

Lo que este fenómeno revela#

Donde hay cizalla, siempre hay una semilla de inestabilidad. Cuando dos corrientes a distinta velocidad se encuentran, esa frontera nunca puede quedarse lisa. Un pequeño montículo se alimenta solo y termina enrollándose en un vórtice. Esa es la esencia de la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz.

La tasa de crecimiento $\sigma(k)$ es el árbitro de esta pelea. La cizalla empuja; la gravedad y la tensión superficial frenan. El equilibrio de los tres decide qué longitud de onda crece y cuál se duerme. Desde el viento mínimo que levanta olas en agua en calma hasta el número de Richardson que mide el umbral de la turbulencia atmosférica, todo es una lectura en la misma balanza. Esa nube en gancho colgada del cielo es la prueba de que la balanza se inclinó hacia la cizalla.

Olas colgadas en el cielo — La inestabilidad de Kelvin-Helmholtz