Cuatro choques le ganan a uno — el tren de choques oblicuos de una toma supersónica

Partir la desaceleración en choques oblicuos débiles recorta el aumento de entropía con el cubo. El choque normal final igual tiene que quedar.

Gotinga, 1944. Oswatitsch estaba atascado con la toma de un estatorreactor. Frenar un flujo a Mach 3 en un solo choque hacía desaparecer dos tercios de la presión. No comprimió más fuerte. Partió el giro en unas pocas rampas.

Al subir el control de M1, la rodilla de la curva θ–β se corre a la derecha. Al empujar la deflexión θ más allá del máximo, el choque pegado salta delante de la nariz. Los botones Weak y Strong cambian los dos ángulos de onda que comparten un mismo θ.

M13.00theta [deg]8.0

drag theta and watch the amber Vn arrow grow while the slate Vt arrow never changes — that is why p02/p01 falls. push theta past the amber thetamax line and the shock detaches. then drag M1: the whole theta-beta knee slides right, so a faster inlet can turn the flow harder.

Un M1 más alto se puede girar más. En el instante en que θ pasa la rodilla, $p_{02}/p_{01}$ se desploma, y las flechas tangenciales conservan la misma longitud a través del choque. Solo se recorta la componente normal.

Qué se lleva un choque#

Masa, cantidad de movimiento y energía sobreviven a un choque. También la temperatura de estancamiento $T_0$ . Lo que desaparece es la presión de estancamiento $p_0$ .

\frac{p_{02}}{p_{01}} = \exp\!\left(-\frac{\Delta s}{R}\right)

$\Delta s$ es la entropía ganada, $R$ la constante del gas. La presión total cae a medida que sube la entropía.

La presión de estancamiento es el techo del trabajo que la toma puede entregar al motor. Si baja, muere con ella la relación de expansión de la tobera. Si esa expansión llega a ahogarse es la pregunta de una tobera que tiene que ensancharse después de la garganta. El rendimiento de la toma es una sola recuperación, $\pi_d = p_{0e}/p_{0\infty}$ .

Un choque normal a Mach 3 da 0.3283. El 67% de la presión total se dispersa en calor.

Al golpear en diagonal solo queda la componente normal#

Al inclinar el choque, la velocidad paralela a la cara pasa sin cambio. El gradiente de presión se para solo en la normal a la cara. Un choque oblicuo es un choque normal que solo siente la componente normal. Fijado el ángulo de onda $\beta$ , el Mach efectivo es

M_{1n} = M_1 \sin\beta

Un $\beta$ menor acerca $M_{1n}$ a 1. Un flujo a Mach 3 con $\beta = 25.6°$ es un choque que siente Mach 1.30.

La deflexión $\theta$ y el ángulo de onda $\beta$ quedan atados por una relación.

\tan\theta = 2\cot\beta \, \frac{M_1^2 \sin^2\beta - 1}{M_1^2 (\gamma + \cos 2\beta) + 2}

$\gamma$ es la relación de calores específicos, 1.4 para el aire. Esta relación decide cada cálculo de rampa que sigue.

Una sola relación θ–β–M con dos respuestas#

Dados $M_1$ y $\theta$ , al resolver $\beta$ salen dos raíces. El ángulo de onda menor es la solución débil, el mayor la fuerte. Detrás de la raíz débil el flujo suele seguir supersónico. Detrás de la fuerte pasa a subsónico. Si la contrapresión no es alta, una cuña lleva la raíz débil. El botón Strong de arriba es esa otra raíz.

Al seguir subiendo $\theta$ las raíces desaparecen. Cada Mach tiene una deflexión máxima $\theta_{\max}$ .

$M_1$	1.5	2.0	3.0	5.0
$\theta_{\max}$	12.1°	23.0°	34.1°	41.1°

Si $\theta > \theta_{\max}$ , el choque no puede quedarse en el cuerpo. Se desprende. La nariz es entonces, en la práctica, un choque normal, y la recuperación cae ahí.

La pérdida cae con el cubo#

El aumento de entropía en un choque débil no es proporcional a $M_{1n}-1$ . Va con el cubo.

\frac{\Delta s}{R} \simeq \frac{2\gamma}{3(\gamma+1)^2}\left(M_{1n}^2 - 1\right)^3

Con $\gamma = 1.4$ el coeficiente es 0.162. Si $M_{1n}^2 - 1$ se reduce a la mitad, la pérdida cae a un octavo.

Un solo choque a Mach 3 tiene que tragar $M_n^2-1 = 8$ . Partido en cuatro trozos, la pérdida de cada uno cae con el cubo. Al multiplicar los trozos, la suma sigue siendo menor. Un choque a $M_{1n} = 1.30$ pierde el 2.1% de la presión total. El mismo trabajo en dos choques a $M_{1n} = 1.15$ pierde 0.33% cada uno, menos de 0.7% juntos.

Se trocea una toma a Mach 3#

La configuración añade rampas de 8° de una en una y cierra con un choque normal. Cada rampa se recalcula con el Mach local que dejó la rampa de delante.

import math
 
GAMMA = 1.4
 
def stagnation_ratio(mn):
    """Razon de presion total p02/p01 de un choque con numero de Mach normal mn"""
    g = GAMMA
    a = ((g + 1) * mn**2 / 2) / (1 + (g - 1) * mn**2 / 2)
    b = (g + 1) / (2 * g * mn**2 - (g - 1))
    return a ** (g / (g - 1)) * b ** (1 / (g - 1))
 
def downstream_normal_mach(mn):
    g = GAMMA
    return math.sqrt((1 + (g - 1) / 2 * mn**2) / (g * mn**2 - (g - 1) / 2))
 
def deflection(mach, beta):
    """Angulo de desviacion theta(rad) que produce un angulo de onda beta(rad) dado"""
    g = GAMMA
    num = mach**2 * math.sin(beta) ** 2 - 1
    den = mach**2 * (g + math.cos(2 * beta)) + 2
    return math.atan(2 / math.tan(beta) * num / den)
 
def wave_angle_weak(mach, theta):
    """Solucion debil beta que produce theta. Si no se puede desviar, None"""
    lo, hi = math.asin(1 / mach), math.pi / 2
    grid = [lo + (hi - lo) * i / 4000 for i in range(4001)]
    peak = max(grid, key=lambda b: deflection(mach, b))
    if theta > deflection(mach, peak):
        return None
    a, b = lo, peak
    for _ in range(80):
        mid = 0.5 * (a + b)
        if deflection(mach, mid) < theta:
            a = mid
        else:
            b = mid
    return 0.5 * (a + b)
 
def inlet_recovery(mach_inf, n_ramps, ramp_deg):
    """Recuperacion de presion total tras n rampas mas el choque normal terminal"""
    theta = math.radians(ramp_deg)
    total, mach = 1.0, mach_inf
    for _ in range(n_ramps):
        beta = wave_angle_weak(mach, theta)
        if beta is None:
            break
        mn = mach * math.sin(beta)
        total *= stagnation_ratio(mn)
        mach = downstream_normal_mach(mn) / math.sin(beta - theta)
    return total * stagnation_ratio(mach)
 
for n in range(5):
    print(f"rampas {n}: recuperacion {inlet_recovery(3.0, n, 8.0):.4f}")

La corrida imprime esto.

rampas 0: recuperacion 0.3283
rampas 1: recuperacion 0.4497
rampas 2: recuperacion 0.5808
rampas 3: recuperacion 0.7101
rampas 4: recuperacion 0.8235

Al cambiar el número de rampas, el giro por rampa y el Mach de la corriente libre, la barra de recuperación se recalcula para combinaciones que no están en la tabla. Al apagar el interruptor del choque terminal, el último recorte sale de la barra.

M inf3.00ramps N3delta [deg]8.0

keep M inf = 3.00 and delta = 8 deg, then drag N from 0 to 4 and watch the bottom number climb 0.3283 → 0.8235 while the red terminal shock bar gets visibly thinner. now push delta up: each ramp bites harder, the chain runs out of Mach, and it turns red.

A Mach 3, 8° y cuatro rampas, la barra se queda cerca de 0.82. Al empujar el giro hasta 14°, las rampas traseras se ponen rojas. El flujo ya se frenó más allá de una solución débil a ese ángulo.

Leída como entropía, la cifra 2.5 cambia de aspecto. $\Delta s/R=-\ln\pi_d$ . Entonces 0.3283 es 1.114 y 0.8235 es 0.194. La recuperación subió 2.51 veces y el aumento de entropía bajó 5.7 veces. La exponencial esconde una pérdida pequeña dentro del número de recuperación.

Los saltos son 0.121, 0.131, 0.129, 0.113. La cuarta rampa todavía suma 0.11.

Leer el 13% del choque terminal como un factor 0.87 deja la recuperación justo aguas arriba en $0.8235/0.87\approx 0.95$ . Cuatro choques oblicuos quitaron cerca de 0.05. El último choque normal quitó cerca de 0.12, más del doble que las rampas juntas.

Junto al cubo, las pérdidas declaradas de 2.1% a $M_n=1.30$ y 0.33% a $M_n=1.15$ dan un cociente de $M_n^2-1$ , 0.69 frente a 0.3225, que al cubo vale cerca de 9.8. El cociente de pérdidas es 6.4. Mach 1.30 ya salió de donde esa aproximación está cómoda.

A Mach 2.4 y 6°, 0.5401 y 0.9096 son $\Delta s/R$ de 0.616 y 0.095. La entropía baja 6.5 veces y la recuperación solo sube 1.68, porque el choque normal solo ya era menos malo.

Cuatro rampas de 8° suben la recuperación de 0.33 a 0.82. El giro total es 32°. Lo añadido son cuatro caras inclinadas. A Mach 2.4 con rampas de 6° la serie es 0.5401, luego 0.7440 con dos, luego 0.9096 con cuatro.

Si el número de rampas va a infinito y cada ángulo a cero, la compresión se acerca a la isentrópica. Una recuperación de 1 queda abierta en el límite. Ese es el lugar de las rampas curvas y los conos móviles del Concorde y del SR-71.

Trocear no sale gratis#

Veinte rampas no salen gratis. Cada rampa añadida empuja más atrás el encuentro del choque con el labio de la carena. Una toma más larga trae peso y fricción. Comprar unos puntos de recuperación con longitud de fuselaje suele perder.

Los ángulos se fijan para que los choques se encuentren en el labio a un Mach. Fuera de ese Mach los choques caen delante del labio o dentro, y aparece resistencia de derrame. Más rampas agudizan ese desajuste.

Cada choque se encuentra con la capa límite de la pared y sube la presión de golpe. Si esa interacción separa la capa, la recuperación calculada deja de significar algo. Las ranuras de sangrado cerca de las rampas están por eso.

El compresor quiere un ingreso subsónico. El flujo tiene que cruzar la velocidad del sonido en algún sitio, así que el choque normal terminal no se puede borrar. Las rampas bajan el Mach al que ocurre ese último choque. No lo quitan. Con cuatro rampas el choque terminal queda a Mach 1.67 y esa sola lámina se lleva el 13%.

Confundir el choque normal final con otra rampa#

Sumar rampas para empujar la recuperación hacia 1 pasa por alto la lámina que todavía se lleva 0.12. Esa lámina es mayor que el 0.05 que quitaron juntas las cuatro rampas. Antes de pagar longitud y sensibilidad fuera de diseño por una quinta rampa, hay que elegir el Mach en el que el flujo cruza el sónico.

El número 0.82 supone que los choques siguen pegados a la pared. Si la capa límite no aguanta la subida de presión y se separa, la tabla se acaba. El espesor donde una capa se rompe en turbulencia es donde arrancaría esa separación, y esta recuperación no lo dice.