Cuadruplicar la velocidad y seguir en 19.47° — donde la profundidad abre la estela de Kelvin hasta 90°

El Sena, 1803, y el problema de remontar un barco#

El 9 de agosto de 1803 Robert Fulton hizo navegar un barco de vapor por el Sena. La placa de la orilla conserva el nombre de tres testigos: Bossut, Carnot y Prony. Los tres eran especialistas en mecánica de fluidos.

La máquina de vapor existía desde 1776. Ya había varios intentos de montarla sobre un casco. Fallaba siempre lo mismo: los barcos no lograban remontar el río. Lo que Fulton resolvió no fue el motor, sino la resistencia.

Este artículo desmonta una pieza de esa resistencia: la geometría de las olas que el casco arrastra detrás. En aguas profundas el semiángulo de la estela no se mueve de 19.47° por mucho que se empuje el barco. Al bajar la profundidad a 2 m, ese mismo ángulo se abre hasta 89°. Seguiremos una sola relación de dispersión hasta ese número.

Una resistencia que hubo que medir porque nadie sabía calcularla#

En 1752 d'Alembert demostró que un cuerpo en flujo no viscoso e irrotacional sufre exactamente cero arrastre. La teoría y la realidad se separaron de frente. La disciplina perdió su herramienta para predecir la resistencia.

Bossut llenó ese hueco con ensayos en canal de remolque. Arrastraba cascos modelo a velocidad constante y leía la tensión. Prony ordenó los datos. Lo que heredó Fulton fue esa tradición experimental.

Buena parte de lo que medían no era fricción, sino energía que las propias olas del barco se llevaban hacia atrás. El punto de partida es dónde pueden existir esas olas.

Al bajar el control de profundidad de 500 m hacia 2 m, la cuña amarilla se abre. El control de velocidad, solo, deja el ángulo donde está.

Mover solo el deslizador de velocidad no altera en nada la cuña amarilla. El ángulo cambia únicamente al arrastrar la profundidad desde 500 m hacia 2 m. Hay dos controles, pero solo uno fija el ángulo.

Solo sobreviven las olas que se quedan quietas#

En un sistema de referencia que viaja con el casco, la estela está en reposo. Para parecer estacionaria, la velocidad de fase de una ola debe igualar la componente de la velocidad del barco en esa misma dirección.

Sea $\theta$ el ángulo entre el vector de número de onda y la trayectoria del barco. La condición es:

$V$ es la velocidad del barco, $k$ el número de onda, $h$ la profundidad y $g$ la gravedad. El lado derecho es la relación de dispersión de las ondas de superficie.

Esa única ecuación sostiene todo el artículo. En aguas profundas ($kh \gg 1$), $\tanh kh \to 1$ y $c = \sqrt{g/k}$: desaparece la profundidad. En aguas someras ($kh \ll 1$), $\tanh kh \to kh$ y $c \to \sqrt{gh}$: desaparece el número de onda. Todo lo interesante vive entre esos dos límites.

La velocidad de fase no supera $\sqrt{gh}$. Con fondo finito, ninguna ola, por larga que sea, supera esa velocidad. Cuando el barco la rebasa, ya no hay manera de igualar el lado izquierdo.

Hacia dónde va realmente la energía#

Las crestas viajan a la velocidad de fase, pero la energía viaja a la velocidad de grupo. En profundidad finita:

El paréntesis vale 1 en aguas profundas y 2 en aguas someras, de modo que $c_g$ recorre desde $c/2$ hasta $c$.

Esa velocidad de grupo construye la estela. Conviene seguir una componente lanzada hace $\tau$ segundos. En ese tiempo el barco avanzó $V\tau$ y la energía recorrió $c_g\tau$ en la dirección del número de onda. Tomando el barco como origen, esa componente queda a $(V - c_g\cos\theta)\tau$ por la popa y a $c_g\sin\theta \cdot \tau$ hacia el costado.

$\tau$ se cancela. La dirección en la que aparece una componente dada no depende de su antigüedad.

$\alpha$ es el ángulo de rayo (ray angle) medido desde el eje de avance. El ángulo de la cuña es el máximo de $\alpha$ cuando $\theta$ barre de $0$ a $90°$. La fase estacionaria (stationary phase) selecciona justamente esa dirección, allí se acumula la energía y por eso se ve como una frontera nítida.

De dónde sale el número 19.47°#

Conviene hacer el caso de aguas profundas. Con $c = \sqrt{g/k}$, la condición estacionaria da $c = V\cos\theta$ y $c_g = c/2 = V\cos\theta/2$. Al sustituir, $V$ se cancela por completo.

La velocidad se esfumó de la expresión. Esta función alcanza su máximo en $\cos^2\theta = 2/3$, es decir $\theta = 35.26°$, donde vale $1/(2\sqrt{2})$. Traducido a ángulo, $19.47°$.

Dos metros por segundo u ocho: la respuesta es la misma. Lo único que cambia la velocidad es la longitud de onda. La onda transversal en aguas profundas mide $\lambda = 2\pi V^2/g$, cuadrática en la velocidad. La forma se mantiene y solo crece la escala.

Con $\cos^2\theta = 2/3$, $\cos\theta = \sqrt{2/3}$ y $\sin\theta = \sqrt{1/3}$. El numerador es $\sin\theta\cos\theta = \sqrt{2}/3$ y el denominador es $2 - 2/3 = 4/3$. El cociente es $\sqrt{2}/4 = 1/(2\sqrt{2})$. La arcotangente de eso es 19.47°. $V$ entra en numerador y denominador y se cancela. Con $g = 9.81$, $V = 2$ m/s da $2\pi \times 4 / 9.81 = 2.56$ m. Cuadruplicar la velocidad a 8 m/s multiplica $V^2$ por 16 y la longitud de onda pasa a 40.99 m. Doblar la velocidad a 4 m/s multiplica la longitud por 4, y 10.25 / 2.56 = 4. Las filas 2.56, 10.25 y 40.99 de la tabla son esa razón.

Bajar la profundidad a 2 m y repetir el mismo cálculo#

Ahora se conserva $\tanh kh$ y se resuelve numéricamente. Se biseca la condición estacionaria para obtener $k(\theta)$, se alimenta la velocidad de grupo para construir $\alpha(\theta)$ y se barre buscando el máximo.

import math
 
g = 9.81
 
def c_phase(k, h):
    return math.sqrt(g / k * math.tanh(k * h))
 
def solve_k(v, h):
    if v >= math.sqrt(g * h) - 1e-12:
        return None
    lo, hi = 1e-8, 1.0
    while c_phase(hi, h) > v:
        hi *= 2.0
        if hi > 1e6:
            return None
    for _ in range(200):
        mid = 0.5 * (lo + hi)
        if c_phase(mid, h) > v:
            lo = mid
        else:
            hi = mid
    return 0.5 * (lo + hi)
 
def group_velocity(k, h):
    kh = k * h
    if kh > 20.0:
        f = 1.0
    else:
        f = 1.0 + 2.0 * kh / math.sinh(2.0 * kh)
    return 0.5 * c_phase(k, h) * f
 
def ray_angle(theta, v, h):
    k = solve_k(v * math.cos(theta), h)
    if k is None:
        return None
    cg = group_velocity(k, h)
    num = cg * math.sin(theta)
    den = v - cg * math.cos(theta)
    if den <= 0.0:
        return 0.5 * math.pi
    return math.atan2(num, den)
 
def wedge_scan(v, h, n=8000):
    best, best_t = 0.0, 0.0
    for i in range(1, n):
        th = 0.5 * math.pi * i / n
        a = ray_angle(th, v, h)
        if a is not None and a > best:
            best, best_t = a, th
    return math.degrees(best), math.degrees(best_t)
 
print("  V[m/s]   h[m]    Fr_h    wedge[deg]  theta*[deg]   lambda_t[m]")
cases = [(2.0, 500.0), (4.0, 500.0), (8.0, 500.0),
         (2.0, 2.0), (3.5, 2.0), (4.0, 2.0), (4.3, 2.0),
         (4.43, 2.0), (5.5, 2.0), (8.0, 2.0)]
for v, h in cases:
    frh = v / math.sqrt(g * h)
    a, t = wedge_scan(v, h)
    k0 = solve_k(v, h)
    lam = (2 * math.pi / k0) if k0 else float('inf')
    ls = f"{lam:10.2f}" if k0 else "       inf"
    print(f"{v:7.2f} {h:7.1f} {frh:7.3f} {a:11.2f} {t:11.2f} {ls}")
 
print()
print("supercritical branch vs Mach-like angle arcsin(1/Fr_h)")
print("   Fr_h    wedge[deg]   asin(1/Fr_h)[deg]   diff")
for v, h in [(5.0, 2.0), (5.5, 2.0), (6.5, 2.0), (8.0, 2.0)]:
    frh = v / math.sqrt(g * h)
    a, _ = wedge_scan(v, h)
    m = math.degrees(math.asin(1.0 / frh))
    print(f"{frh:7.3f} {a:11.2f} {m:17.2f} {a-m:8.3f}")

  V[m/s]   h[m]    Fr_h    wedge[deg]  theta*[deg]   lambda_t[m]
   2.00   500.0   0.029       19.47       35.27       2.56
   4.00   500.0   0.057       19.47       35.27      10.25
   8.00   500.0   0.114       19.47       35.27      40.99
   2.00     2.0   0.452       19.47       35.26       2.56
   3.50     2.0   0.790       23.74       23.94       8.80
   4.00     2.0   0.903       35.13       16.47      14.91
   4.30     2.0   0.971       54.46        9.50      29.17
   4.43     2.0   1.000       89.08        0.91        inf
   5.50     2.0   1.242       53.63       36.36        inf
   8.00     2.0   1.806       33.61       56.39        inf
 
supercritical branch vs Mach-like angle arcsin(1/Fr_h)
   Fr_h    wedge[deg]   asin(1/Fr_h)[deg]   diff
  1.129       62.35             62.36   -0.007
  1.242       53.63             53.64   -0.013
  1.467       42.94             42.96   -0.014
  1.806       33.61             33.62   -0.015

Al mover el control de Fr_h desde el 0.452 de la tabla hacia 1.000, el pico de $\alpha(\theta)$ abandona $\theta^* = 35.27°$ y se desliza a la izquierda.

Entre 0.1 y 0.7 el pico permanece en 35.27° y la cuña se queda en 19.47°. Solo cerca de 1 el pico sube hacia los 89.08° de la tabla.

Las tres primeras filas son aguas profundas. Con la velocidad cuadruplicada, el ángulo de la cuña coincide hasta la segunda cifra decimal. Solo se mueve la longitud de onda, de 2.56 m a 40.99 m: un factor 16.

La cuarta fila es la interesante. Incluso con $h = 2$ m sigue saliendo 19.47°, con Fr_h = 0.452. Una onda corta de 2.56 m da $kh = 4.9$, así que para esa onda el agua sigue siendo profunda. Lo que importa es la profundidad relativa a la longitud de onda, no la profundidad por sí sola.

Con $k = 2\pi/\lambda$, $h = 2$ m y $\lambda = 2.56$ m dan $kh = 2\pi \times 2 / 2.56 = 4.9$. $\tanh(4.9)$ se pega a 1, así que la relación de dispersión vuelve a la forma de aguas profundas. Por eso un fondo de 2 m sigue devolviendo 19.47°. Con $V = 4.30$ m/s y $\lambda = 29.17$ m, $kh = 2\pi \times 2 / 29.17$ baja a unos 0.43. $\tanh kh$ se aparta de 1 y el ángulo de la tabla es 54.46°. Las filas dan 23.74° en Fr_h = 0.790, 35.13° en 0.903, 54.46° en 0.971 y 89.08° en 1.000. Un ángulo que no se movió al cuadruplicar la velocidad en aguas profundas se abre de 23.74° a 89.08° entre 4.30 m/s y 4.43 m/s.

Pasado un Fr_h de unos 0.79 el ángulo empieza a moverse: 35.13° en 0.903, 54.46° en 0.971 y 89.08° en 1.000. Ese último valor se queda 0.9° por debajo de 90° por el residuo de una malla finita en $\theta$. Conviene leerlo junto a $\theta^*$, que ya ha caído a 0.91°. El pico está convergiendo hacia $\theta = 0$.

Por encima de la velocidad crítica la cuña vuelve a cerrarse#

En cuanto Fr_h supera 1, solo sobreviven las direcciones que cumplen $V\cos\theta \le \sqrt{gh}$, es decir $\theta > \arccos(1/\mathrm{Fr}_h)$. Se abre una banda prohibida hacia proa. Las ondas transversales desaparecen por completo, que es lo que significan las entradas inf en la columna $\lambda_t$.

La cuña que forman las ondas divergentes (divergent waves) restantes se estrecha de nuevo: 53.63° en 1.242 y 33.61° en 1.806. La segunda tabla compara esos valores con $\arcsin(1/\mathrm{Fr}_h)$. Los cuatro casos coinciden dentro de 0.015°.

Es la misma fórmula que el cono de Mach en flujo supersónico, con $\sqrt{gh}$ ocupando el lugar de la velocidad del sonido. Que las ondas transversales desaparezcan al pasar Fr_h de 1, y queden solo las divergentes, es el mismo corte que el resalto hidráulico de un fregadero hace en el número de Froude 1, entre régimen subcrítico y supercrítico.

Este es el muro con el que chocó Fulton en el Sena. En un río de 2 m la velocidad crítica es 4.43 m/s, unos 8.6 nudos. Cerca de ella la estela se extiende a todo el ancho del cauce. Las olas no logran abandonar el barco, así que la energía inyectada vuelve íntegra como resistencia.

Donde este ángulo decide la malla de CFD#

En una simulación de superficie libre, el ancho del dominio es la tangente del ángulo de la cuña. La tangente de 19.47° es 0.354, así que a una eslora $L$ por popa el semiancho es $0.354L$. En la tabla, Fr_h = 0.971 y el ángulo 54.46° dejan la tangente cerca de 1.40. La misma estación pasa a $1.40L$, unas cuatro veces más. Colocar la pared lateral en el hábito de aguas profundas, fuera de $0.354L$, mete olas reflejadas en la presión del casco. El coeficiente de resistencia se desvía sin aviso.

El presupuesto de longitud de onda se mueve con ello. En Fr_h = 0.971 la onda transversal mide 29.17 m. Cuarenta celdas por longitud de onda ponen esa sola onda por encima de mil celdas. La fila $h = 2$ m, $V = 2$ m/s tiene $\lambda = 2.56$ m y $kh = 4.9$, así que la misma regla de 40 celdas queda en alrededor de cien. Mismo casco, misma velocidad, y la fila de la malla se alarga en cuanto la profundidad empuja $kh$ hacia el crítico. Los 19.47° de aguas profundas no dependen de la velocidad, de la forma del casco ni de la viscosidad. Un ángulo estrecho indica que el esquema aplastó las olas. Uno ancho, que entró error dispersivo.

Cerrar el dominio antes del crítico hace que la estela choque con la pared#

Fulton no disponía de ninguna relación de dispersión. El dinamómetro del canal de Bossut señaló primero $V = \sqrt{gh}$. En 2 m de agua ese valor es 4.43 m/s, unos 8.6 nudos. En cuanto Fr_h pasa de 0.79, la cuña abandona 19.47° y llega a 89.08° en 1.000. Si las olas no logran dejar el casco, la energía inyectada vuelve como resistencia.

La primera pregunta sobre la resistencia de un casco no es la velocidad en sí. Es si esta profundidad cuenta como profunda para la longitud de onda que ese casco genera. Con $h = 2$ m y $\lambda = 2.56$ m, $kh = 4.9$ y el ángulo sigue en 19.47°. En la misma profundidad, cuando la longitud de onda se estira a 29.17 m, la cuña se extiende a todo el ancho del cauce. Cerrar la pared lateral a partir del número de velocidad es el mismo error que clasificar un flujo solo por la viscosidad en donde el número de Reynolds separa los regímenes.