Mach Architect#

教科書のグラフだけでは、$A/A^*$ と $P_b/P_0$ がレジームをどう変えるか、手に残りません。

スロートの青い点を上下にドラッグし、右側の背圧スライダーで $P_b/P_0$ を変えると、出口マッハ数と衝撃波の位置が一緒に動きます。

スロートを狭めると流量が頭打ちになるか、背圧を 0.5283 より下げると衝撃波が出口側へ寄るかを見ます。

操作方法

• ノズル形状: SVG上の青い円(control point)を上下にドラッグして断面積を調整します
• 背圧: 右側スライダーで $P_b/P_0$ を調整します
• レベル選択: 上部のLV1~LV4ボタンで切り替えます

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レベル解説

Level 1: Subsonic Acceleration#

最も基本的な問題です。収縮ノズルでは亜音速流は断面積が減るほど加速します。 等エントロピ関係式:

$$\frac{A}{A^*} = \frac{1}{M}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}$$

$M < 1$ なので $A$ が減ると $M$ が増えます。目標は出口マッハ数 0.45~0.55 です。

Level 2: Choking#

流れが**チョーク(choke)**するとスロートで $M = 1$ になります。この状態では背圧をさらに下げてもスロート上流の質量流量は変わりません。

臨界圧力比 ($\gamma = 1.4$):

$$\frac{P^*}{P_0} = \left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} = 0.5283$$

背圧をこの値以下に下げるか、スロートを十分に狭くしてください。

Level 3: Supersonic Nozzle Design#

C-Dノズルでスロート以降に断面積が再び広がると超音速に加速されます。$M = 2$ を達成するには:

$$\frac{A_e}{A^*} = \frac{1}{2}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}\cdot 4\right)\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}} \approx 1.6875$$

式に $M=2$、$\gamma=1.4$ を入れると、印刷された 1.6875 がそのまま出ます。$(\gamma-1)/2=0.2$、$M^2=4$ なので括弧の中は $1+0.8=1.8$ です。$2/(\gamma+1)=1/1.2$ を掛けると 1.5 です。指数 $(\gamma+1)/(2(\gamma-1))$ は 3 です。$1.5^3=3.375$。$1/M=1/2$ を掛けると 1.6875 です。スロートが 1 なら、出口はその倍数でないと $M=2$ になりません。

亜音速の目標 0.45~0.55 は同じ式の反対側です。$M=0.45$ で $A/A^*\approx1.45$、$M=0.55$ で $\approx1.25$ です。帯が狭いです。スロートを少し動かすだけで出口マッハは区間の外に出ます。スロートの下流で広がらないと速くならない側は、ラバルノズルがひっくり返る地点と同じ式です。

背圧を設計圧力 Pb_design まで下げて初めて、衝撃波なしの超音速が出口まで届きます。

Level 4: Shock Positioning#

背圧が設計圧力より高いが臨界圧力より低い場合、ノズル内部に**垂直衝撃波(normal shock)**が発生します。

衝撃波前後の関係:

$$M_2^2 = \frac{M_1^2(\gamma-1)/2 + 1}{\gamma M_1^2 - (\gamma-1)/2}$$ $$\frac{P_2}{P_1} = \frac{2\gamma M_1^2 - (\gamma-1)}{\gamma+1}$$

$M_1=2$ を衝撃波の式に入れると約分がきれいです。$M_2^2=(4\times0.2+1)/(1.4\times4-0.2)=1.8/5.4=1/3$ で、$M_2\approx0.577$ です。圧力比は $(2\times1.4\times4-0.4)/2.4=10.8/2.4=4.5$ です。マッハ 2 で設計したあと背圧を設計値より高く残すと、管内のどこかで圧力が 4.5 倍に跳ね、マッハは 0.58 付近まで落ちます。

背圧を上げると衝撃波はスロート側へ、下げると出口側へ動きます。レベル 4 の目標 $x = 0.65 \sim 0.80$ は、その跳びを出口近くに置けという指定です。

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シミュレータの物理モデル

このシミュレータは次の仮定に基づきます:

1. 1D 準1次元(quasi-1D)流: 断面積変化のみ考慮、粘性/熱伝達は無視
2. 等エントロピ流(衝撃波を除く): $P_0$, $T_0$ 保存
3. カロリック完全気体: $\gamma = 1.4$ (空気)
4. 垂直衝撃波: Rankine-Hugoniot関係式適用
5. ノズル形状: Hermite補間で滑らかな断面積分布を生成

衝撃波位置は出口圧力条件を満たす位置を離散的に探索します。衝撃波前方は等エントロピ超音速、後方は全圧損失を反映した等エントロピ亜音速で計算します。

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設計背圧を残すと M=2 は衝撃波に食われる#

面積比 1.6875 を合わせたまま背圧を設計値より上に置くと、レベル 3 で作った $M=2$ は管内で $M_2\approx0.577$ まで落ちます。圧力は 4.5 倍です。背圧を 0.5283 と設計値の間に置いた瞬間、チョークは残り、超音速区間は衝撃波の手前で終わります。

その跳びを格子の上に載せるときは、厚みをわざと与えます。衝撃波をわざとぼかした人工粘性がその選択です。このシミュレータは位置を離散的に探すだけで、衝撃波の厚みは一セルも解像しません。背圧スライダーが $x=0.65$ から $0.80$ へ動くあいだ、圧力比が 4.5 から外れるかを先に見ます。