圧縮性多相流とは?

水槽に気泡が少し混ざるだけで、圧力波は遅くなります。水と空気、燃料液滴と高温ガス、水中爆発の気泡。相が二つあれば多相流です。圧縮性が加わると、相ごとに状態方程式(EOS)が分かれ、界面の上で衝撃波が反射し、透過し、屈折します。

単相の音速だけで時間刻みを決めると、界面で先にずれます。プローブのスライダを気体分率 α=0.5 まで動かすと、青緑の Wood 曲線が単相音速のおよそ 100 分の 1 まで落ちます。

α が 0 か 1 なら Wood 曲線と琥珀色の frozen 直線は重なります。真ん中だけで Wood が底を打ちます。その底が音響の時間スケールを約 100 倍に引き伸ばします。

単相圧縮性流との違い

単相の Euler 方程式は短いです。

$$\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x} = 0$$

保存変数は $\mathbf{U} = [\rho, \rho u, E]^T$ です。理想気体の $p = (\gamma - 1)\rho e$ 一つで閉じます。

多相では界面を境に EOS が変わります。気体は $\gamma = 1.4$。液体は stiffened gas です。

$$p = (\gamma - 1)\rho e - \gamma p_\infty$$

γ が 1.4 なら (γ−1) は 0.4 です。内部エネルギー ρe の 40% だけが圧力になります。液体の式は同じ項から γ p_∞ をさらに引きます。界面セルが中間の γ だけを引き継ぐと、引く項の係数まで一緒に揺れます。密度とエネルギーが素直でも、復元した圧力は両隣の算術平均にはなりません。

数値的な破綻は、二つの EOS が界面付近で混ざるときに起きます。保存変数をそのまま平均すると、非物理的な圧力振動が残ります。圧力は揃っているのに残差だけが死なない様子は、単相の圧力残差でもよく見ます。こちらの原因は乱流定数ではなく EOS の混合です。

図の数字でマッハを読み直します。α=0.5 では混合音速が単相の 100 分の 1 です。液体でマッハ 0.01 だった速度は、混合物の基準ではマッハ 1 になります。流速はそのままで、音速だけが 100 倍小さくなったためです。単相音速で CFL を取ると、ステップは 100 倍だけ保守的です。混合音速で取ると、界面セルの時間刻みだけが急に粗くなります。

なぜ難しいか:中核的な3つの難題#

1. 界面における圧力振動#

1994 年に Abgrall が指摘してから、この振動を消すことが多相数値手法の出発点になりました。

“

「圧縮性多相流数値解析の歴史は、すなわち圧力振動との戦いの歴史である。」

保存型有限体積法は、界面で γ が中間値を取ることで spurious oscillation を作ります。

圧力が同じ気体セルと液体セルでも、ρ と e は EOS が違うので一致しません。平均した $\mathbf{U} = [\rho, \rho u, E]^T$ をどちらかの式に戻すと、$p = (\gamma - 1)\rho e$ でも $p = (\gamma - 1)\rho e - \gamma p_\infty$ でも元の圧力は復元されません。復元誤差が次の速度に入り、その速度が密度を再び押します。振動は 1 ステップでは終わりません。

2. 状態方程式の多様性#

理想気体だけでは水が合いません。水は Tait EOS か stiffened gas EOS、高圧は Jones-Wilkins-Lee (JWL) EOS、反応流は化学と結んだ EOS が必要です。EOS ごとに Riemann solver を一般化するので、実装は長くなります。

3. 界面追跡 vs 界面捕捉#

界面の扱い方は二つに分かれます。

Sharp は界面を線のまま残します。Ghost Fluid は向かい側の状態を外挿して Riemann 問題に入れます。Diffuse の 5 方程式・6 方程式モデルは体積分率 α を輸送し、界面を数セルに広げます。相変化があるなら広げた側が扱いやすいです。衝撃が界面に正面から当たるなら、鮮明な側の方が圧力跳びを潰しにくいです。γ の混合を避けられなければ、どちらにも振動が残ります。

なぜ重要か

必要になるのは、界面と衝撃が一つのセルで会う場合です。

• 水中爆発(UNDEX): 艦艇の生存性評価
• 超音速燃焼: スクラムジェットエンジン内部の燃料噴射/混合
• 医療分野: 衝撃波結石破砕(lithotripsy)における気泡挙動
• 宇宙推進: 極低温推進剤のスロッシング(sloshing)

保存平均を選ぶと界面圧力が割れる

保存平均は実装が短いです。フラックス一つを単相と同じに書けば済みます。その選択は界面でそのままずれます。γ と p_∞ がセルごとに違うのに U だけを平均すると、復元圧力は隣の圧力とつながりません。スパイクが衝撃波に見えても、物理的な波ではありません。

界面が本物の不連続なら、次の決定は次数をどこに置くかです。非構造格子上の圧縮性不連続ガレルキンは、単相の圧縮性でその跳びをセル境界にどう置くかを示しています。多相へ移る前に、単相の Riemann 問題が圧力をどう戻すかを合わせておく方がよいです。