벌레는 꿀 속에서 헤엄친다 — Reynolds 수가 바꾸는 유동의 세계

축소 모형은 길이만 줄이면 안 된다. Re가 같이 줄면 점성항의 자리가 바뀐다.

박테리아는 수영을 할 수 없다. 정확히 말하면, 우리가 "수영"이라고 부르는 관성 기반 추진은 박테리아에게 통하지 않는다. 꼬리를 저어 관성으로 앞으로 나가는 우리와 달리, 박테리아는 관성이 사라진 세계 — 마치 투명한 꿀 속 같은 곳 — 에서 산다. 같은 Navier–Stokes인데 스케일만 바꾸면 지배 항이 바뀐다. 그 차이를 한 숫자로 적는 것이 Reynolds 수(관성력/점성력 비) 다.

격자의 Reynolds 슬라이더를 10 근처에서 1000으로 올려 보자. 정돈된 화살표가 흔들리기 시작한다.

10 근처에서는 점성이 교란을 바로 지운다. 화살표가 빗살처럼 눕는다. 1000으로 올리면 벡터가 제각각 흔들린다. 난류로 넘어가기 직전의 얼굴이다.

같은 방정식, 다른 세상#

대왕고래는 바다에서 헤엄친다. 물 분자는 물론 같은 물이다. 그런데 1 μm 박테리아에게 물은 전혀 다른 물질처럼 느껴진다. 같은 Navier–Stokes 방정식을 써도 스케일이 바뀌면 지배하는 항이 바뀌기 때문이다.

비압축 Navier–Stokes는 이렇게 생겼다.

\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u}

$\rho$ 는 밀도, $\mathbf{u}$ 는 속도장, $p$ 는 압력, $\mu$ 는 점성계수다. 좌변은 관성(질량 × 가속도), 우변의 $\mu\nabla^2\mathbf{u}$ 는 점성(내부 마찰) 항이다. 이 두 힘이 매 순간 싸운다. 누가 이기는가.

방정식의 옷을 벗겨라: 무차원화#

답은 스케일이 정한다. 이를 보이려면 방정식을 무차원화해야 한다. 대표 길이 $L$ , 대표 속도 $U$ , 대표 시간 $L/U$ , 대표 압력 $\rho U^2$ 로 모든 양을 나눈다.

\tilde{\mathbf{x}} = \frac{\mathbf{x}}{L}, \quad \tilde{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{u}}{U}, \quad \tilde{t} = \frac{tU}{L}, \quad \tilde{p} = \frac{p}{\rho U^2}

변수 하나하나의 의미는 "그 물리량을 자기 자신의 자연스러운 크기로 측정한 것"이다. 이 정의를 Navier–Stokes에 대입하면 단위가 전부 사라진 식이 남는다.

\frac{\partial \tilde{\mathbf{u}}}{\partial \tilde{t}} + (\tilde{\mathbf{u}}\cdot\tilde{\nabla})\tilde{\mathbf{u}} = -\tilde{\nabla}\tilde{p} + \frac{1}{\mathrm{Re}}\,\tilde{\nabla}^2 \tilde{\mathbf{u}}

모든 물리 단위가 사라지고 딱 하나의 숫자 $\mathrm{Re}$ 만 남는다. 이것이 Reynolds 수다.

\mathrm{Re} = \frac{\rho U L}{\mu} = \frac{U L}{\nu} = \frac{\text{관성력}}{\text{점성력}}

$\nu = \mu/\rho$ 는 동점성계수(kinematic viscosity)다. $\rho$ , $U$ , $L$ 이 클수록 관성이, $\mu$ 가 클수록 점성이 이긴다. 같은 물이라도 $L$ 이 작아지면 $\mathrm{Re}$ 는 선형으로 떨어진다. 결국 세상을 지배하는 항이 바뀐다.

스케일이 Reynolds 수를 바꾼다#

숫자로 느껴보자. 물의 동점성계수 $\nu \approx 10^{-6}\,\text{m}^2/\text{s}$ 를 기준으로 대표 생명체들의 $\mathrm{Re}$ 는 아래와 같다.

# 대표 길이/속도로 Reynolds 수 계산
def reynolds(U, L, nu=1e-6):
    return U * L / nu
 
cases = [
    ("대왕고래",   10.0,    25.0),
    ("수영 선수",   1.0,     1.5),
    ("치어",        0.1,     0.01),
    ("박테리아",   30e-6,   1e-6),
]
for name, U, L in cases:
    print(f"{name:8s} Re = {reynolds(U, L):10.2e}")
# 대왕고래    Re =   2.50e+08
# 수영 선수   Re =   1.50e+06
# 치어         Re =   1.00e+03
# 박테리아    Re =   3.00e-05

가장 큰 값과 가장 작은 값이 무려 13자릿수 차이다. 같은 물 안에서다. Reynolds 수는 단순한 숫자가 아니라, 같은 유체 안에서도 서로 다른 "세상"을 라벨링하는 주소다.

박테리아처럼 $\mathrm{Re} \ll 1$ 인 영역에서는 무차원 방정식의 관성 항이 사실상 사라지고, 양변에 $\mathrm{Re}$ 를 곱하면 Stokes 방정식 $-\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} = 0$ 이 된다. 시간 미분이 없다. 즉 박테리아의 유동은 "과거를 기억하지 못한다". 힘을 빼는 순간 속도도 0이 된다.

점성항 앞의 1/Re가 자릿수를 정한다#

코드의 네 줄은 같은 식에 같은 $\nu \approx 10^{-6}\,\text{m}^2/\text{s}$ 를 넣은 것이다. 고래 $2.50\times 10^{8}$ , 선수 $1.50\times 10^{6}$ , 치어 $1.00\times 10^{3}$ , 박테리아 $3.00\times 10^{-5}$ . 양 끝을 나누면 $8.33\times 10^{12}$ 이다. 자릿수는 약 13이다. 주석에 적힌 두 끝이 그 비를 이미 갖고 있다.

무차원 식에서 점성항의 계수는 $1/\mathrm{Re}$ 다. 무차원 기울기를 1 근처로 보면, 그 계수가 점성항의 크기다. 박테리아는 약 $3.3\times 10^{4}$ . 관성항이 1일 때 점성항은 3만 배쯤 된다. 양변에 $\mathrm{Re}$ 를 곱해 관성항을 지우는 조작이 여기서 성립한다. 고래는 $4\times 10^{-9}$ . 점성항은 관성항의 10억분의 4에 못 미친다. 평균 유동에서 점성을 버려도 되는 자릿수다. 벽은 예외다. 기울기가 1이 아니다.

치어는 $\mathrm{Re} = 1.00\times 10^{3}$ 이라 계수가 $10^{-3}$ 이다. 관성이 점성보다 천 배 크다. 그래도 영은 아니다. 원통 뒤 대칭이 갈리는 40은 치어보다 한 자릿수 아래고, 박테리아보다는 여섯 자릿수 위다. 앞에서 움직인 슬라이더의 10과 1000이 그 사이에 놓인다.

$\mathrm{St} = fL/U \approx 0.2$ 이면 주파수는 $0.2\,U/L$ 로 자릿수가 닫힌다. $U$ 와 $L$ 만 있으면 된다. 음높이를 새로 재지 않아도 된다.

원통 뒤에서 대칭이 깨지는 자리#

원통 뒤다. 입자 수, 속도, 장애물은 컴포넌트에 고정돼 있다. 볼 것은 카르만 와열(Von Kármán vortex street, 원통 뒤에서 주기적으로 떨어져 나가는 와) 의 형성 여부다.

$\mathrm{Re} \lesssim 40$ 에서는 원통 뒤가 좌우 대칭으로 붙어 있다. 40을 넘기면 위아래 와가 번갈아 박리되어 "꼬리가 주기적으로 흔들리는" 무늬가 보인다. 깃발이 펄럭이고, 전깃줄이 울고, 바람에 긴 다리가 진동하는 이유가 모두 같은 카르만 와열이다. 자연 현상의 주파수는 Strouhal 수 $\mathrm{St} = fL/U \approx 0.2$ 로 묶여 있어, $U$ 와 $L$ 만 알면 울음의 음높이까지 추정할 수 있다. 관 안에서는 이 40보다 임계가 훨씬 위로 올라가고, 경계층이 여러 층으로 갈라진다. 그 층은 물줄기가 흐트러지는 순간에 따로 적혀 있다.

박테리아는 왜 '꿀 속'인가#

$\mathrm{Re} \ll 1$ 에서는 관성이 0에 가깝다. 수영을 멈추는 순간 정지한다. 더 놀라운 결과도 있다.

시간 가역 동작으로는 앞으로 갈 수 없다 — Purcell의 scallop theorem.

조개처럼 대칭으로 여닫는 동작은 순 변위가 0이다. 그래서 박테리아는 나선형 편모를 회전시키거나, 비대칭 채찍질을 해야만 전진한다. 같은 Navier–Stokes에서 출발했지만, $\mathrm{Re}$ 의 스케일이 "허용되는 운동의 목록"을 바꿔버린 것이다. 운동 설계의 문법이 달라진 셈이다.

반대로 $\mathrm{Re}$ 가 수십만을 넘어가면 방정식의 점성 항은 전체 흐름에 대해 무시할 정도로 작아진다(경계층 내부는 예외). 그래서 항공기 날개 주변의 평균 유동은 비점성 Euler 방정식으로 꽤 잘 설명된다. 방정식이 바뀐 것이 아니라, 지배하는 항이 바뀌었을 뿐이다.

무차원화가 알려주는 것#

Reynolds 수는 무차원 수의 한 예일 뿐이다. 같은 논리로 $\mathrm{Ma} = U/c$ (Mach, 관성/압축성), $\mathrm{Fr} = U/\sqrt{gL}$ (Froude, 관성/중력), $\mathrm{We} = \rho U^2 L/\sigma$ (Weber, 관성/표면장력) 같은 "세계의 다이얼"들이 연속적으로 나타난다. 무차원화는 이 다이얼들을 서로 떼어 놓는다. 실험을 할 때 풍동에서 축소 모형을 사용할 수 있는 이유도 여기 있다. 크기와 속도가 달라도 $\mathrm{Re}$ 만 같다면 무차원 방정식은 동일하므로, 해도 동일하다. 이것이 역학적 상사법칙(dynamic similarity)이다.

Re를 맞추지 않은 축소 모형은 다른 방정식을 푼다#

풍동에서 길이를 10분의 1로 줄이고 속도는 그대로 두면 $\mathrm{Re}$ 도 10분의 1이 된다. 무차원 식의 점성항 계수가 열 배로 커진다. 실기에서 점성을 버려도 된다고 본 자리가, 모형 위에서는 점성이 더 먹는 자리가 된다.

상사 실험은 그래서 크기와 속도의 곱 $UL$ 을 유지하는 쪽을 고른다. 유체를 바꾸거나, 속도를 길이에 반비례하게 올린다. 다이얼을 하나만 맞추면 나머지는 틀린 채로 남는다. 자유표면이 끼면 싱크대에서 매일 보이는 Froude 수를 같이 맞춰야 하고, $U/\sqrt{gL}$ 조건은 $UL$ 조건과 동시에 만족하기 어렵다. 어느 다이얼을 버릴지 먼저 정해야 실험이 된다.