汽油发动机为何止步于压缩比12 — 奥托与狄塞尔循环

1919年，炼油公司的托马斯·米奇利在追发动机里的金属"嗒嗒"声。压缩比一高，输出就上去。过了某条线，燃料会在火花塞点火之前自己炸开。那一声就是爆震(knock)。往复机折成四个热力学过程之后，剩下的是压缩比把效率钉在哪里。同一压缩比下奥托和狄塞尔谁高，末尾的 Python 来量。

压缩比越高越强，却在哪里停下

压缩比(compression ratio，气缸最大与最小时的体积之比)是效率旋钮。空气压得越紧，同样的燃料交出的功越多。

先顶住的是温度。绝热压缩一边缩小体积一边升温。压缩末端越过自燃点，混合气会在火焰到达之前一起炸开。这就是爆震。活塞和轴承先坏。

压缩比滑块把 P–V 环拉向两侧，加热量滑块只把同一个环往上推。

涂色面积是一个循环的净功。加热量上去，效率数字几乎不动。爆震盯的是环的左端，压缩刚结束时的温度。

米奇利在1921年加入四乙基铅来推迟着火。辛烷值(抗爆指数)从这里来。添加剂也有尽头。汽油机的压缩比通常停在9到12。

把发动机化为四个过程 — 空气标准奥托循环

真实发动机把进气、燃烧、排气混在一起。为了便于处理，我们把工质设为定量的理想气体(空气)，并把燃烧换成"从外部进入的热量"。这样简化后的就是奥托(Otto)循环。

它由四个过程闭合。

• 1→2：绝热压缩(活塞压缩空气)
• 2→3：定容加热(体积固定，瞬间燃烧)
• 3→4：绝热膨胀(空气推动活塞——做功冲程)
• 4→1：定容放热(经排气丢弃热量)

在绝热过程中，压缩比 $r=V_1/V_2$ 与温度由下式相连。

其中 $T$ 是温度，$k$ 是比热比(定压比热/定容比热，空气约为1.4)。压缩比越大，压缩末端温度 $T_2$ 上升越陡。爆震的种子就在这个式子里。前面压缩比把环拉向两侧，原因也在这里。靠膨胀换速度的喷管是另一台机器，喉部之后必须变宽才更快。发动机里的膨胀用来推活塞。

效率由压缩比一项决定

热效率是所做的功除以所受的热。在定容加热与放热中，热量正比于温差，于是

其中 $Q_{in}$ 是所受的热，$Q_{out}$ 是丢弃的热。代入绝热关系 $T_2/T_1 = T_3/T_4 = r^{k-1}$，温度全部约去，只剩下一个惊人简单的结果：

效率只留下压缩比 $r$ 和比热比 $k$。烧了多少燃料($Q_{in}$)从式子里掉了出去。加热量滑块推不动效率，原因在这。

输出里的56.5%是 $r=8$ 的 $1-8^{-0.4}$，63.0%是 $r=12$。$k=1.4$，损失项就是 $r^{-0.4}$。温度比翻过来是 $T_2/T_1 = 1/(1-\eta)$。$r=8$ 约2.30，$r=12$ 约2.70。代码里的进气是300 K，压缩末端大约落在690 K和810 K。从8到12，四档换来6.5个点的效率，温度却多了约120 K。效率的斜率躺平了，温度的斜率还在。爆震比效率更早亮灯。

$r=9$ 的闭式是0.5848。损失 $1-0.5848=0.4152$，所以 $T_2/T_1$ 约2.41，$T_2$ 约722 K。加热旋钮 alpha 是 $T_3 = T_2 \alpha$，3对应的 $T_3$ 约2170 K，6约4330 K。$T_4 = T_1 \alpha$，放热按同一倍数变大。$q_{out}/q_{in} = T_1/T_2$ 里 alpha 被约掉。热量加倍，0.5848仍钉在原地。

压缩比8约为56%，12约为63%。只看数字还会想再抬一档。爆震在12附近把路挡住。

狄塞尔用定压加热越过压缩比之墙

鲁道夫·狄塞尔走了另一条路。他不预先混合燃料。只先压缩空气。把压缩末端温度抬到自燃点之上后，再喷入燃料，燃料一接触就燃烧。没有火花塞。既然没有会爆震的预混气，压缩比就能提到15到22。

不同之处在于加热方式。由于燃料缓慢喷入并燃烧，体积增大的同时压力几乎保持不变。是定压加热，而非定容。

这里出现一个新的无量纲数：截止比(cut-off ratio)$r_c = V_3/V_2$，即定压加热中体积膨胀了几倍。效率变为：

这是奥托式子乘上一个分数的形式。当 $r_c>1$ 时，那个分数总是大于1。也就是说，相同压缩比下狄塞尔不如奥托。但狄塞尔能把压缩比提得高得多，在真实发动机里反而以更高的效率收场。

相同压缩比下，奥托取胜

两条循环放上压缩比轴，名次在图之前就看得见。曲线越往右越躺平。压缩比每加1，换来的效率更少。同一个 $r$ 上，青色(奥托)在琥珀色(狄塞尔)上面。红带是汽油的现实界限。奥托停在带前面，狄塞尔穿过带子，在更右边运转。

截止比收到1.2，定压加热就接近定容加热。$r_c \to 1$ 时两个式子重合。这根刻度量的是狄塞尔离开奥托多远。数字先由表打出来。

Python — 直接测量两个循环#

闭式是不是从状态温度里长出来，下面的代码来对。

import numpy as np
 
K = 1.4  # 空气的比热比 (cp/cv)
 
def otto_efficiency(r, k=K):
    """奥托循环：定容加热，压缩比 r"""
    return 1.0 - 1.0 / r ** (k - 1)
 
def diesel_efficiency(r, cutoff, k=K):
    """狄塞尔循环：定压加热，压缩比 r，截止比 cutoff"""
    return 1.0 - (1.0 / r ** (k - 1)) * (cutoff ** k - 1) / (k * (cutoff - 1))
 
for r in [8, 12, 18, 22]:
    eo = otto_efficiency(r)
    ed = diesel_efficiency(r, cutoff=2.0)
    print(f"r={r:2d}  Otto={eo*100:5.1f}%  Diesel(rc=2)={ed*100:5.1f}%")

输出：

r= 8  Otto= 56.5%  Diesel(rc=2)= 49.0%
r=12  Otto= 63.0%  Diesel(rc=2)= 56.7%
r=18  Otto= 68.5%  Diesel(rc=2)= 63.2%
r=22  Otto= 71.0%  Diesel(rc=2)= 66.0%

截止比滑块只带动琥珀色曲线，横轴就是表里的压缩比。

默认 $r_c=2$ 时，差距在 $r=8$ 是7.5个点(56.5对49.0)，在 $r=12$ 是6.3个点(63.0对56.7)，到 $r=22$ 仍有5.0个点(71.0对66.0)。间隔在缩小，符号不翻。滑块收到1.2，两条曲线贴在一起。$r_c=2$、$k=1.4$ 时狄塞尔那个分数是 $(2^{1.4}-1)/1.4$。$2^{1.4}$ 约2.639，分数约1.171。$r=12$ 的奥托损失37.0%乘上1.171得43.3%，效率56.7%，和表同一行。

接着从状态温度直接构造效率，与闭式对照。

def otto_from_states(r, alpha, k=K):
    """从状态温度直接计算效率 (alpha = P3/P2，加热量旋钮)"""
    T1 = 300.0                 # K, 进气
    T2 = T1 * r ** (k - 1)     # 1->2 绝热压缩
    T3 = T2 * alpha            # 2->3 定容加热
    T4 = T3 / r ** (k - 1)     # 3->4 绝热膨胀
    q_in = T3 - T2             # cv 约去
    q_out = T4 - T1
    return 1.0 - q_out / q_in
 
print(otto_from_states(9, alpha=3.0))  # 0.5848...
print(otto_from_states(9, alpha=6.0))  # 0.5848...  加热量改变也相同
print(otto_efficiency(9))              # 0.5848...

三行的输出都是同样的 0.5848。把加热量旋钮 alpha 从3翻倍到6，效率纹丝不动。P–V 模拟中加热滑块为何改变不了效率，代码给出了确认。

停在12，还是把截止比削下去#

$r=12$ 时奥托是63.0%，截止比为2的狄塞尔是56.7%。只看同一压缩比，该选奥托。汽油守不住这个条件。预混气撞上爆震，12附近就是尽头。效率式 $\eta = 1 - r^{-(k-1)}$ 只留下压缩比和比热比，烧掉多少只决定输出的大小。

狄塞尔只压空气，把天花板挪走，然后走到15到22。$r=18$ 的狄塞尔是63.2%，和压缩比12的奥托63.0%站在同一行。$r=22$ 则是66.0%，超到前面。相同压缩比下的亏损是截止比那个分数造成的，翻过来的决定是允许更高的压缩比。压力先掉、液体先沸的那堵墙，在 蒸汽压比温度更早到场的空化 里另看。