如何处理界面#

在压缩性多相流模拟中，最基本的问题之一是 “如何在数值上表示两种流体之间的界面 (interface)”。

主要存在三类方法：

1. Volume of Fluid (VOF)
2. Level Set
3. Diffuse Interface (扩散界面)

1. Volume of Fluid (VOF)#

原理#

追踪每个网格中特定流体所占的体积分数 (volume fraction) $\alpha$。

$$\frac{\partial \alpha}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \alpha = 0$$

如果 $\alpha = 1$，表示该网格充满流体 A； 如果 $\alpha = 0$，表示充满流体 B；如果 $0 < \alpha < 1$，则界面穿过该网格。

界面重构 (Interface Reconstruction)#

VOF 的核心是根据 $\alpha$ 值重构网格内部的界面位置：

• SLIC (Simple Line Interface Calculation)：将界面近似为平行于坐标轴的直线。
• PLIC (Piecewise Linear Interface Calculation)：将界面近似为具有任意斜率的直线。

在 PLIC 中，界面的法向量 $\mathbf{n}$ 通过 $\alpha$ 场的梯度来估计：

$$\mathbf{n} = \frac{\nabla \alpha}{|\nabla \alpha|}$$

优缺点#

• 优点：质量严格守恒（守恒型）。
• 缺点：界面重构复杂且计算量大。难以扩展到 3D。曲率计算不准确。

2. Level Set Method#

原理#

将界面定义为符号距离函数 (signed distance function) $\phi$ 的零等值线。

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \phi = 0$$

• $\phi > 0$：流体 A
• $\phi < 0$：流体 B
• $\phi = 0$：界面

重初始化 (Re-initialization)#

在平流 (advection) 过程中，$\phi$ 会失去符号距离函数的性质 ($|\nabla\phi| = 1$)。 为了恢复这一性质，需要求解重初始化方程：

$$\frac{\partial \phi}{\partial \tau} + \text{sign}(\phi_0)(|\nabla\phi| - 1) = 0$$

其中 $\tau$ 是虚拟时间 (pseudo-time)。

曲率与表面张力#

Level Set 的一大优点是几何量的计算非常自然：

$$\kappa = -\nabla \cdot \left(\frac{\nabla\phi}{|\nabla\phi|}\right)$$

表面张力通过 CSF (Continuum Surface Force) 模型转化为体积力：

$$\mathbf{f}_s = \sigma \kappa \delta(\phi) \nabla\phi$$

优缺点#

• 优点：曲率/法线计算容易。能自然处理拓扑结构变化 (topology change)。
• 缺点：质量不守恒。在重初始化过程中，界面位置可能会移动。

CLSVOF：两种方法的结合#

结合了 VOF 的质量守恒和 Level Set 的几何优点的 Coupled Level Set and VOF (CLSVOF) 方法被广泛应用。

3. Diffuse Interface Method (扩散界面)#

哲学的转变#

前两种方法将界面视为尖锐 (sharp) 的，而扩散界面法则认为界面本质上具有有限的厚度。

在这种方法中，不需要单独的界面追踪方程，体积分数被包含在守恒律系统的一部分中。

5-equation Model (Allaire et al., 2002; Kapila et al., 2001)#

这是应用最广泛的简化模型 (reduced model)：

$$\frac{\partial (\alpha_1 \rho_1)}{\partial t} + \nabla \cdot (\alpha_1 \rho_1 \mathbf{u}) = 0$$ $$\frac{\partial (\alpha_2 \rho_2)}{\partial t} + \nabla \cdot (\alpha_2 \rho_2 \mathbf{u}) = 0$$ $$\frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} + p\mathbf{I}) = 0$$ $$\frac{\partial E}{\partial t} + \nabla \cdot ((E + p)\mathbf{u}) = 0$$ $$\frac{\partial \alpha_1}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \alpha_1 = 0$$

最后一个方程是核心。注意 $\alpha_1$ 的平流方程是非守恒型 (non-conservative) 的。 这正是防止界面处压力振荡的关键。

为什么需要非守恒型？#

如果以守恒型求解 $\alpha_1$：

$$\frac{\partial \alpha_1}{\partial t} + \nabla \cdot (\alpha_1 \mathbf{u}) = \alpha_1 \nabla \cdot \mathbf{u}$$

如果右侧的 $\alpha_1 \nabla \cdot \mathbf{u}$ 项在离散化过程中处理不当，就会产生由 EOS 混合引起的非物理压力振荡。

非守恒平流使 $\alpha_1$ 在界面处保持尖锐的同时，满足压力/速度平衡。

7-equation Model (Baer-Nunziato type)#

这是一个完全非平衡模型，每相可以拥有独立的压力和速度：

$$\frac{\partial \alpha_k \rho_k}{\partial t} + \nabla \cdot (\alpha_k \rho_k \mathbf{u}_k) = 0, \quad k = 1, 2$$

通过松弛 (relaxation) 过程收敛到压力/速度平衡。 在数学上最完整，但计算成本高。

比较摘要#

结论#

在压缩性多相流中，Diffuse Interface (尤其是 5-equation model) 是最自然且稳健 (robust) 的选择。 它在冲击波-界面相互作用、空化、水下爆炸等问题中表现出色。

在下一篇文章中，我们将介绍如何通过代码实际实现这些技术。

切换 VOF / Level Set / Diffuse，比较三种方法对同一圆形界面的表示差异。