Mach Architect#

只看教科书上 $A/A^*$ 和 $P_b/P_0$ 的图,状态怎么切换并不会留在手上。

上下拖动喉部的蓝点,并用右侧滑块改变 $P_b/P_0$。出口马赫数和激波位置会一起动。

把喉部收窄,看质量流量是否顶住。把背压降到 0.5283 以下,看激波是否向出口滑。

操作方法

• 喷管形状: 在 SVG 上拖动蓝色控制点(control point)上下调整截面积
• 背压: 右侧滑块调节 $P_b/P_0$
• 关卡选择: 上方 LV1~LV4 按钮切换

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关卡解析

Level 1: 亚音速加速#

最基础的问题。在收缩喷管中,亚音速流动随截面减小而加速。 等熵关系式:

$$\frac{A}{A^*} = \frac{1}{M}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}$$

由于 $M < 1$,$A$ 减小时 $M$ 增大。目标是出口马赫数 0.45~0.55。

Level 2: 阻塞#

流动**阻塞(choke)**时喉部 $M = 1$。此状态下继续降低背压不会改变喉部上游的质量流量。

临界压力比 ($\gamma = 1.4$):

$$\frac{P^*}{P_0} = \left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}} = 0.5283$$

将背压降至该值以下,或将喉部做得足够窄。

Level 3: 超音速喷管设计#

C-D 喷管中,喉部之后截面再次扩大就会加速到超音速。要达到 $M = 2$:

$$\frac{A_e}{A^*} = \frac{1}{2}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}\cdot 4\right)\right]^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}} \approx 1.6875$$

把 $M=2$、$\gamma=1.4$ 代进面积比,印出来的 1.6875 会原样出现。$(\gamma-1)/2=0.2$,$M^2=4$,括号里是 $1+0.8=1.8$。再乘 $2/(\gamma+1)=1/1.2$,得到 1.5。指数 $(\gamma+1)/(2(\gamma-1))$ 是 3。$1.5^3=3.375$。乘上 $1/M=1/2$,就是 1.6875。喉部为 1 时,出口必须是这个倍数才能到 $M=2$。

亚音速目标 0.45 到 0.55 是同一个式子的另一侧。$M=0.45$ 时 $A/A^*\approx1.45$,$M=0.55$ 时约 1.25。区间很窄。喉部稍动一点,出口马赫数就出了窗口。喉部之后必须变宽才加速,这和拉伐尔喷管反过来的地方是同一个关系。

背压要降到设计压力 Pb_design,没有激波的超音速才会一直走到出口。

Level 4: 激波定位#

背压高于设计压力但低于临界压力时,喷管内部会出现正激波(normal shock)。

激波前后关系:

$$M_2^2 = \frac{M_1^2(\gamma-1)/2 + 1}{\gamma M_1^2 - (\gamma-1)/2}$$ $$\frac{P_2}{P_1} = \frac{2\gamma M_1^2 - (\gamma-1)}{\gamma+1}$$

把 $M_1=2$ 代进激波关系,约分很干净。$M_2^2=(4\times0.2+1)/(1.4\times4-0.2)=1.8/5.4=1/3$,所以 $M_2\approx0.577$。压力比是 $(2\times1.4\times4-0.4)/2.4=10.8/2.4=4.5$。按马赫数 2 设计,却把背压留在设计值之上,管内某处压力会跳到 4.5 倍,马赫数落到 0.58 附近。

背压升高,激波往喉部走。背压降低,激波往出口走。第 4 关的目标 $x = 0.65 \sim 0.80$ 就是把这次跳跃放在出口附近。

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模拟器的物理模型

本模拟器基于以下假设:

1. 1D 准一维(quasi-1D)流: 仅考虑截面积变化,忽略粘性/传热
2. 等熵流(激波除外): $P_0$, $T_0$ 守恒
3. 量热完全气体: $\gamma = 1.4$(空气)
4. 正激波: 应用 Rankine-Hugoniot 关系式
5. 喷管形状: Hermite 插值生成光滑的截面积分布

激波位置通过离散搜索满足出口压力条件的位置。激波前方为等熵超音速,后方为反映总压损失的等熵亚音速。

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设计背压留得太高, M=2 会被激波吃掉#

面积比配到 1.6875,背压却留在设计值之上,第 3 关做出的 $M=2$ 会在管内掉到 $M_2\approx0.577$。压力跳到 4.5 倍。背压一落在 0.5283 和设计值之间,喉部仍然阻塞,超音速段就在激波前停住。

把这次跳跃放到网格上,得故意给它一个厚度。故意把激波涂糊的人工黏性就是这个选择。这个模拟器只离散地找位置,激波厚度一个格子也不分辨。背压滑块把 $x$ 从 0.65 挪到 0.80 时,先看压力比有没有离开 4.5。