同一 PDE，三条路径#

把 PDE 放进计算机，先决定未知数坐在哪里。方程可以相同。点值、基函数系数、单元平均，三条路就分开了。

这里只留一条一维平流-扩散。

$$\frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x} = \nu\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

下拉菜单在 FDM、FEM、FVM 之间切换，同一张网格上的自由度就在节点、基系数和单元中心之间搬家。

FDM 把点排成一串，FVM 在每个单元中央放一个值。FEM 的系数在节点上，基函数穿过单元。

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1. 有限差分法 (Finite Difference Method, FDM)#

核心思想

“

将微分直接近似为 差分 (difference)。

这是最直观的方法。通过对网格点 (node) 处的函数值进行泰勒级数展开来近似导数。

数学起点：泰勒展开

点 $x_i$ 处的泰勒展开：

$$u(x_i + \Delta x) = u(x_i) + \Delta x \frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_i + \frac{\Delta x^2}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\bigg|_i + \cdots$$

由此导出差分近似：

前向差分 (Forward):

$$\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_i \approx \frac{u_{i+1} - u_i}{\Delta x} + O(\Delta x)$$

中心差分 (Central):

$$\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_i \approx \frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2\Delta x} + O(\Delta x^2)$$

二阶导数:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\bigg|_i \approx \frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{\Delta x^2} + O(\Delta x^2)$$

应用于平流-扩散方程#

使用中心差分：

$$\frac{du_i}{dt} + a\frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2\Delta x} = \nu\frac{u_{i+1} - 2u_i + u_{i-1}}{\Delta x^2}$$

这变成了关于网格点未知数 $u_i$ 的联立常微分方程 (ODE) 系统。

优缺点

优点：

• 概念简单，实现容易
• 在结构化网格 (structured grid) 中非常高效
• 易于实现高阶精度 (紧致格式、类谱格式)
• 正交网格下矩阵结构清晰 (带状矩阵)

缺点：

• 难以应用于非结构化网格 (unstructured grid) —— 这是致命弱点
• 对于复杂几何形状的网格生成非常困难
• 不会自动满足守恒定律

代表性应用领域

• DNS/LES (基于正交网格的湍流模拟)
• 气象/海洋模型 (结构化网格)
• 地震波传播模拟
• 基于紧致格式的高精度计算

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2. 有限要素法 (Finite Element Method, FEM)#

核心思想

“

将解近似为 基函数 (basis function) 的线性组合， 并最小化 加权残差 (weighted residual)。

FEM 不直接求解微分方程。相反，它将其转换为称为 弱形式 (weak formulation) 的积分形式。

数学起点：弱形式 (Weak Form)#

在原始 PDE (强形式，strong form) 上乘以测试函数 $w$ 并积分：

$$\int_\Omega w \left(\frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x} - \nu\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right) dx = 0$$

对扩散项应用分部积分 (integration by parts)：

$$\int_\Omega w \frac{\partial u}{\partial t}\,dx + \int_\Omega w\, a\frac{\partial u}{\partial x}\,dx + \int_\Omega \nu\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}\,dx = \left[\nu w \frac{\partial u}{\partial x}\right]_\Gamma$$

这就是 弱形式。请注意核心变化：

• 原本需要二阶导数，分部积分后 仅需一阶导数
• 放宽了对解的连续性要求 ($C^1 \to C^0$)
• 边界条件自然地包含在内 (Neumann BC = 右侧项)

伽辽金近似 (Galerkin Approximation)#

将解表示为基函数 $\phi_j$ 的线性组合：

$$u^h(x, t) = \sum_{j=1}^{N} U_j(t)\,\phi_j(x)$$

在伽辽金方法中，测试函数和基函数取自同一空间 ($w = \phi_i$)：

$$\sum_j \left(\int_\Omega \phi_i \phi_j\,dx\right) \frac{dU_j}{dt} + \sum_j \left(\int_\Omega \phi_i\, a\, \phi_j'\,dx + \int_\Omega \nu\, \phi_i'\, \phi_j'\,dx\right) U_j = 0$$

矩阵形式：

$$\mathbf{M}\frac{d\mathbf{U}}{dt} + \mathbf{K}\mathbf{U} = \mathbf{f}$$

• $\mathbf{M}$: 质量矩阵 (mass matrix)
• $\mathbf{K}$: 刚度矩阵 (stiffness matrix)
• $\mathbf{f}$: 边界/源项向量

基函数的选择

最常用的是基于 拉格朗日多项式 (Lagrange polynomial) 的单元：

优缺点

优点：

• 天然适合非结构化网格 —— 使用三角形/四面体网格处理复杂形状
• 可以进行数学上严密的误差估计 (先验/后验误差估计)
• 与自适应网格加密 (adaptive mesh refinement) 结合良好
• 可以灵活选择 p-refinement (提高多项式阶数) 和 h-refinement (细化网格)

缺点：

• 不会直接满足守恒定律 (标准伽辽金法)
• 在平流主导问题中不稳定 (震荡) —— 需要 SUPG、GLS 等稳定化技术
• 需要求质量矩阵的逆 (或使用质量集中 mass lumping)
• 实现复杂度高于 FDM/FVM

代表性应用领域

• 固体力学 / 结构分析 (FEM 的原始领地)
• 电磁场分析
• 热传递
• 生物力学
• 岩土/地质力学

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3. 有限体积法 (Finite Volume Method, FVM)#

核心思想

“

对 控制体 (control volume) 积分守恒定律， 并平衡通过体积边界的 通量 (flux)。

FVM 最直接地反映了物理守恒定律。

数学起点：积分型守恒定律

将平流-扩散方程写成积分形式：

$$\frac{d}{dt}\int_{V_i} u\,dx + \oint_{\partial V_i} \left(au - \nu\frac{\partial u}{\partial x}\right) \cdot n\, dS = 0$$

对于控制体 $V_i = [x_{i-1/2},\, x_{i+1/2}]$：

$$\frac{d\bar{u}_i}{dt} = -\frac{1}{\Delta x}\left(\hat{F}_{i+1/2} - \hat{F}_{i-1/2}\right)$$

其中 $\bar{u}_i$ 是单元平均值，$\hat{F}_{i+1/2}$ 是单元边界处的 数值通量。

数值通量的确定

FVM 的核心在于如何计算单元边界通量：

平流项 —— 基于黎曼求解器 (Riemann solver) 或上风格式：

$$\hat{F}^{adv}_{i+1/2} = \text{RiemannSolver}(\bar{u}_i,\, \bar{u}_{i+1})$$

扩散项 —— 中心差分：

$$\hat{F}^{diff}_{i+1/2} = -\nu\frac{\bar{u}_{i+1} - \bar{u}_i}{\Delta x}$$

重构 (Reconstruction)#

仅靠单元平均值只有一阶精度。为了获得高阶精度， 必须对单元内部的分布进行 重构 (reconstruction)：

MUSCL (2阶):

$$u_{i+1/2}^L = \bar{u}_i + \frac{1}{2}\psi(r_i)\,(\bar{u}_i - \bar{u}_{i-1})$$

其中 $\psi$ 是斜率限制器 (slope limiter)，$r_i$ 是连续梯度的比例。

WENO (5阶):

通过对三个二阶多项式候选者进行非线性加权平均来实现五阶精度：

$$u_{i+1/2}^L = \sum_{k=0}^{2} \omega_k\, q_k(x_{i+1/2})$$

根据光滑度指示器 $\beta_k$ 确定权重 $\omega_k$，在不连续附近自动给光滑的模板分配权重。

界面扩散是用正交间距去除的 $-\nu(\bar{u}_{i+1}-\bar{u}_i)/\Delta x$。法向顺着网格线时，这个差才是法向导数。面一歪，单靠相邻平均值的差对不上方向。这个缺口由 非正交扩散修正 补上。去掉修正，写成守恒型，扩散仍然会偏。

前面的前差是 $O(\Delta x)$，中心差分和二阶导数模板是 $O(\Delta x^2)$。前差留下泰勒展开里的 $\Delta x^2/2$。中心差分用 $u_{i+1}$ 减 $u_{i-1}$，把该项消掉。间距减半，前差误差大约减半，$O(\Delta x^2)$ 大约降到四分之一。只有单元平均、不做重构，就停在一阶。高阶是在抬到界面时加上的。

MUSCL 里的 $1/2$ 是把单元平均线性抬到界面的系数。$\psi(r_i)=1$ 时斜率全留，$\psi=0$ 时界面值回到 $\bar{u}_i$，又是一阶。WENO 只加 $k=0,1,2$ 三个候选。每个 $q_k$ 是二次多项式，$\omega_k$ 削减 $\beta_k$ 大的模板。光滑区间里三者合成五阶，说的是这个加权和的阶。$\psi$ 掉到 0，五阶公式还在，那个面已经掉回一阶。三角形上 P1 是 3 个节点，P2 是 6 个，P3 是 10 个。阶数从 1 提到 3，单元未知数从 3 越过 10。弱形式里 $\mathbf{M}$ 是 $\int \phi_i \phi_j\,dx$，$\mathbf{K}$ 把 $\phi_i \phi_j'$ 和 $\nu\,\phi_i'\phi_j'$ 捆在一起。$\nu$ 为正，扩散块接近对称。对流速度 $a$ 留下非对称。

优缺点

优点：

• 在离散水平上精确满足守恒定律 —— CFD 中的决定性优点
• 擅长捕捉激波和不连续面
• 可应用于非结构化网格
• 基于通量的思维直接对应物理直觉

缺点：

• 实现高阶精度比 FEM 困难 (重构变得复杂)
• 在扩散方程中可能比 FEM 效率低
• 在非结构化网格上实现高阶重构非常棘手

代表性应用领域

• 整个 CFD 领域 (OpenFOAM, ANSYS Fluent, SU2)
• 可压缩/不可压缩流动
• 多相流、燃烧、反应流
• 气象/气候模型动力框架的一部分

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核心对比

数学起点

离散化“什么”

这是最本质的区别：

• FDM: 离散化微分算子 ($\partial/\partial x$)
• FEM: 离散化解空间 (solution space)
• FVM: 离散化积分方程中的通量

未知数的位置

• FDM: 网格点 (node) 处的点值 (point value)
• FEM: 节点 (node) 处的点值 (基函数的系数)
• FVM: 单元 (cell) 的平均值 (cell average)

综合对比

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边界模糊的现代技术

近年来，结合三种技术优点的混合方法正受到活跃研究：

不连续伽辽金法 (Discontinuous Galerkin, DG)#

结合了 FEM 的基函数 + FVM 的通量概念。 在每个单元内部用多项式近似解 (FEM)， 在单元边界用黎曼求解器计算通量 (FVM)。

$$\int_{V_i} w \frac{\partial u^h}{\partial t}\,dx - \int_{V_i} \frac{\partial w}{\partial x} F(u^h)\,dx + \hat{F}_{i+1/2} w_{i+1/2}^- - \hat{F}_{i-1/2} w_{i-1/2}^+ = 0$$

同时满足 守恒性 + 高阶精度 + 非结构化网格。 但计算成本高，且在激波附近需要限制器 (limiter)。

谱差分 (Spectral Difference) / 通量重构 (Flux Reconstruction)#

与 DG 类似，但以微分形式求解而不进行积分，从而提高了效率。 与 GPU 加速结合良好，在下一代 CFD 求解器中备受关注。

无网格方法 (SPH 等)#

彻底取消网格的方法。基于粒子 (particle) 进行近似。 在自由表面流动、大变形问题上有优势，但存在精度/一致性问题。

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要守恒就把差分模板放下

盒子里的 DNS、网格又正交，中心差分的 $O(\Delta x^2)$ 就够。三点做出二阶导数，矩阵保持带状。几何一折、网格变成非结构，这套模板就找不到邻居。弱形式这时把几何吃进去。标准伽辽金的 $\mathbf{M}$ 和 $\mathbf{K}$ 仍然不保证每个单元的通量互相抵消。

激波过去之后积分值必须原样回来，那就用 FVM。界面通量 $\hat{F}_{i+1/2}$ 是左单元的损失、右单元的收益，内部面在总和里消失。高阶和守恒要放在同一个格式里，就走 间断伽辽金离散：单元内多项式，单元面黎曼通量。拿掉限制器，这种混合在激波前一样会振荡。