Por qué una gota de lluvia no tiene forma de lágrima — El número de Weber y la ruptura TAB

Reproducción con el modelo TAB de cómo una gota estalla en una corriente de gas

Los iconos de paraguas y los emojis dibujan la gota de lluvia como una lágrima: puntiaguda arriba y redonda abajo. Ninguna gota de lluvia tiene realmente ese aspecto. Cualquier gota de más de 2 mm de diámetro queda aplastada en forma de pan de hamburguesa con la base plana. Si crece más, su centro se infla como una bolsa y luego estalla.

Este artículo pone números a ese estallido. Cómo un único número de Weber decide si una gota se rompe en una corriente de gas, y cuándo lo hace. Después tomamos el modelo TAB (Taylor Analogy Breakup) que O'Rourke y Amsden construyeron en 1987, hacemos oscilar una gota en Python y la reventamos. Es la historia de predecir el destino de una gota con un solo resorte.

Una gota de lluvia no es una lágrima#

Dentro de una gota que cae compiten dos fuerzas. Una es la fuerza aerodinámica del aire circundante golpeando su superficie. Presiona la gota de lado y la aplana. La otra es la tensión superficial, que tira de la gota de vuelta a una esfera.

En una gota pequeña la tensión superficial gana sin discusión. Por eso las gotas diminutas son siempre esféricas. A medida que la gota crece, o cuando la velocidad relativa aumenta, la fuerza aerodinámica se eleva. En algún momento la tensión superficial ya no puede sostenerse. La gota se aplana, se infla y por fin se hace pedazos. Llamamos a esto ruptura secundaria (secondary breakup), frente a la ruptura primaria en la que un chorro que sale de una boquilla se convierte por primera vez en gotas.

Motores diésel, inyectores de cohetes, pulverizadores agrícolas. Todo dispositivo que atomiza un líquido funciona sobre este fenómeno. Gotas más pequeñas significan más superficie, y una evaporación y combustión más rápidas.

El número de Weber — la escala donde la inercia vence a la tensión superficial#

Reduce las dos fuerzas a un solo número y obtienes el número de Weber (relación inercia / tensión superficial).

We = \frac{\rho_g\, u_{rel}^2\, d}{\sigma}

Aquí $\rho_g$ es la densidad del gas, $u_{rel}$ la velocidad relativa entre gota y gas, $d$ el diámetro de la gota y $\sigma$ la tensión superficial. El numerador es la presión dinámica que ejerce el gas; el denominador es el agarre de la tensión superficial.

Cuando $We$ es pequeño, la gota simplemente oscila con cortesía. En cuanto $We$ cruza un umbral, la gota se rompe. Experimentalmente este número de Weber crítico ronda 12. Gota de agua o gota de combustible por igual: por encima de ese valor, ninguna sobrevive.

Un segundo grupo adimensional interviene por la viscosidad: el número de Ohnesorge (viscosidad / √(inercia · tensión superficial)).

Oh = \frac{\mu_l}{\sqrt{\rho_l\, \sigma\, d}}

$\mu_l$ es la viscosidad del líquido y $\rho_l$ la densidad del líquido. Una gota viscosa (imagina una gota de miel) resiste fuertemente la deformación. Un $Oh$ mayor empuja el número de Weber crítico hacia arriba, es decir, cuesta más romperla.

La analogía de Taylor: colgar la gota de un resorte#

El número de Weber solo dice si una gota se rompe. Saber cuándo y cómo exige resolver la deformación de la gota en el tiempo. Aquí entra la intuición de G.I. Taylor. Asoció una gota que oscila y se distorsiona a un oscilador de resorte–masa–amortiguador.

Empareja las tres fuerzas una a una. La fuerza restauradora del resorte es la tensión superficial. La fuerza externa sobre la masa es el arrastre aerodinámico del gas. La amortiguación es la viscosidad del líquido. Traduce la analogía a una ecuación y obtienes una EDO de segundo orden para la deformación $y$ .

\frac{d^2 y}{dt^2} = \frac{C_F}{C_b}\frac{\rho_g}{\rho_l}\frac{u^2}{r^2} - \frac{C_k \sigma}{\rho_l r^3}\, y - \frac{C_d \mu_l}{\rho_l r^2}\frac{dy}{dt}

$y$ es cuánto se abomba el ecuador de la gota (deformación adimensional) y $r$ es el radio. El primer término de la derecha es el forzamiento aerodinámico, el segundo la restauración por tensión superficial y el tercero la amortiguación viscosa. Las constantes $C_F, C_k, C_d, C_b$ se fijan por experimento; O'Rourke–Amsden usaron $1/3,\ 8,\ 5,\ 1/2$ respectivamente.

Cuando el forzamiento y la restauración se equilibran, la gota se asienta en una deformación estacionaria $y_{eq}$ .

y_{eq} = \frac{C_F}{C_b\, C_k}\, We_r

$We_r$ es el número de Weber basado en el radio. El punto clave: la deformación es directamente proporcional al número de Weber. El doble de Weber, el doble de aplastamiento.

El parámetro de deformación y y el gatillo de la ruptura#

La regla de TAB es sencilla. La ruptura ocurre en el instante en que $y>1$ . $y=1$ es cuando el abombamiento ecuatorial iguala al radio. Una vez que la amplitud crece tanto, la gota ya no puede mantener su forma.

Aquí importa la naturaleza de una oscilación sin amortiguar. Empuja un oscilador en reposo con un forzamiento súbito y no se detiene en $y_{eq}$ : sobrepasa, hasta un máximo de $2y_{eq}$ . Así que incluso un $y_{eq}$ de apenas 0,5 —la mitad de la deformación estacionaria— puede dispararse a $y=1$ en su primer vaivén y estallar. Este sobrepaso baja el número de Weber crítico en teoría.

Juega con la simulación de abajo. A la izquierda hay una gota que recibe la corriente de gas; a la derecha, la trayectoria de la deformación $y(t)$ .

Weber number We = 18Ohnesorge Oh = 0.020

Baja el Weber por debajo de 12 y la curva de $y$ se queda corta ante la línea roja ( $y=1$ ), solo oscilando. Súbelo por encima de 12 y el primer pico cruza la línea: la gota se hace pedazos. Eleva el Ohnesorge y la curva se amortigua rápido. La viscosidad se come la oscilación, así que la gota sobrevive al mismo Weber.

Python — hacer oscilar una gota hasta que estalle#

Lleva la analogía directamente al código. Integra en tiempo adimensional y encuentra el instante en que $y$ cruza 1.

import numpy as np
 
def weber(rho_g, u, d, sigma):
    """Relacion entre inercia del gas y tension superficial (basada en el diametro)."""
    return rho_g * u**2 * d / sigma
 
def tab_breakup(We, Oh, dt=0.01, t_max=40.0):
    """Integra el oscilador TAB adimensional y devuelve el tiempo de ruptura (tau adimensional).
    y>1 significa ruptura; si y<1 hasta el final devuelve None (sobrevive)."""
    C_F, C_k, C_d, C_b = 1/3, 8.0, 5.0, 1/2
    omega2 = C_k                       # frecuencia natural adimensional^2
    forcing = (C_F / C_b) * (We / 2)   # deformacion estacionaria y_eq = forcing/omega2 = We/24
    damp = C_d * Oh * np.sqrt(C_k)     # Ohnesorge eleva la amortiguacion
    y, ydot, t = 0.0, 0.0, 0.0
    while t < t_max:
        acc = forcing - omega2 * y - damp * ydot
        ydot += acc * dt
        y += ydot * dt
        t += dt
        if y >= 1.0:
            return t                   # ruptura!
    return None
 
for We in [6, 10, 12, 20, 40]:
    tau = tab_breakup(We, Oh=0.02)
    tag = f"ruptura tau={tau:.2f}" if tau else "sobrevive"
    print(f"We={We:5.1f}  ->  {tag}")

La salida lee el número de Weber crítico de forma directa.

We=  6.0  ->  sobrevive
We= 10.0  ->  sobrevive
We= 12.0  ->  ruptura tau=1.14
We= 20.0  ->  ruptura tau=0.74
We= 40.0  ->  ruptura tau=0.50

Hasta We=10 el sobrepaso se queda corto ante 1 y la gota sobrevive. En We=12 el primer pico apenas supera la línea. A medida que el Weber crece, el tiempo de ruptura $\tau$ se acorta: golpéala más fuerte y estalla antes. Exactamente como exige la física.

La escalera de los modos de ruptura#

Cruzar el umbral no significa que toda gota estalle del mismo modo. A medida que el número de Weber sube, cambia la forma de la ruptura: vibracional → bolsa (bag) → multimodo (multimode) → adelgazamiento de lámina (sheet-thinning) → catastrófica (catastrophic). Cada etapa recorta una banda aproximada de Weber que los experimentos distinguen con claridad.

Desliza la escalera de abajo y observa cómo toma forma cada modo.

Weber number We = 30 (log slider)

La ruptura en bolsa cerca de $We \approx 12$ es la de menor energía: el centro de la gota se infla en una membrana delgada y revienta. Con Weber en los cientos, la propia superficie se pela en ondas: ruptura catastrófica. El modelo TAB se dirigía originalmente al régimen de ruptura en bolsa. Por eso concuerda bien a Weber bajo, pero subestima la penetración a Weber extremo, como en la inyección a alta presión por encima de 40 MPa. Ahí se superponen modelos KHRT o de ruptura por onda.

Para el cuaderno de laboratorio#

La esencia del modelo TAB cabe en una frase. Una gota que estalla es un resorte que oscila, y la ruptura es el instante en que su amplitud supera al radio.

Un número de Weber de ~12 es la frontera de la supervivencia de la gota. Por encima, la tensión superficial pierde ante la inercia.
El sobrepaso baja el umbral. Incluso la mitad de la deformación estacionaria puede estallar en el primer vaivén.
El número de Ohnesorge introduce la viscosidad. Una gota pegajosa amortigua su oscilación y aguanta más.

La próxima vez que conduzcas bajo un aguacero y veas una gota gorda aplanarse y estallar en el parabrisas, ese es el momento en que cruzó el Weber 12.