빗방울은 왜 눈물방울이 아닌가 — Weber 수와 Taylor 유비 분열(TAB)

우산 아이콘도, 이모지도 빗방울을 눈물방울로 그린다. 위가 뾰족하고 아래가 둥근 그 모양. 실제로 그런 빗방울은 없다. 지름 2mm를 넘는 큰 방울은 아래가 납작한 햄버거 빵 모양으로 눌린다. 더 커지면 가운데가 봉지처럼 부풀다 터진다.

이 글은 그 "터짐"을 숫자로 다룬다. 액적이 기류 속에서 왜, 언제 분열하는지 Weber 수 하나로 판정하는 법. 그리고 O'Rourke와 Amsden이 1987년에 만든 TAB(Taylor Analogy Breakup) 모델을 Python으로 직접 진동시켜 터뜨려 본다. 스프링 하나로 액적의 운명을 예측하는 이야기다.

빗방울은 눈물방울이 아니다#

떨어지는 액적에는 두 힘이 겨룬다. 하나는 주변 공기가 표면을 때리는 공기역학적 힘. 방울을 옆으로 눌러 납작하게 만든다. 다른 하나는 표면장력. 방울을 다시 공처럼 되돌리려 한다.

작은 방울은 표면장력이 압도한다. 그래서 언제나 구형이다. 방울이 커질수록, 혹은 상대속도가 빠를수록 공기역학적 힘이 커진다. 어느 순간 표면장력이 못 버틴다. 방울은 납작해지고, 부풀고, 결국 잘게 쪼개진다. 이 과정을 **2차 분열(secondary breakup)**이라 부른다. 노즐에서 갓 나온 액주가 방울이 되는 1차 분열과 구분한다.

디젤 엔진, 로켓 인젝터, 농약 스프레이. 연료나 액체를 잘게 부수는 모든 장치가 이 현상 위에서 돈다. 방울이 작을수록 표면적이 커지고, 증발과 연소가 빨라진다.

Weber 수 — 관성이 표면장력을 이기는 눈금#

두 힘의 비를 하나의 숫자로 만든 것이 Weber 수(관성력/표면장력 비)다.

We = \frac{\rho_g\, u_{rel}^2\, d}{\sigma}

$\rho_g$ 는 기체 밀도, $u_{rel}$ 은 방울과 기체의 상대속도, $d$ 는 방울 지름, $\sigma$ 는 표면장력이다. 분자는 기체가 방울을 때리는 동압, 분모는 표면장력이 방울을 붙잡는 힘이다.

$We$ 가 작으면 방울은 얌전히 진동만 한다. $We$ 가 어떤 임계값을 넘으면 방울이 터진다. 실험적으로 이 임계 Weber 수는 약 12 근처다. 물방울이든 연료방울이든, 이 값 위에서는 살아남지 못한다.

여기에 점성의 역할을 재는 두 번째 무차원 수가 붙는다. Ohnesorge 수(점성력/√(관성·표면장력))다.

Oh = \frac{\mu_l}{\sqrt{\rho_l\, \sigma\, d}}

$\mu_l$ 은 액체 점도, $\rho_l$ 은 액체 밀도다. 점성이 큰 방울(꿀방울을 떠올리자)은 변형에 저항이 크다. $Oh$ 가 커지면 임계 Weber 수가 위로 밀려난다. 잘 안 터진다는 뜻이다.

Taylor의 유비: 액적을 스프링에 매달다#

Weber 수는 "터질지 말지"만 알려준다. "언제, 어떻게" 터지는지는 방울의 변형을 시간에 따라 풀어야 안다. 여기서 G.I. Taylor의 통찰이 등장한다. 진동하며 찌그러지는 방울을, 스프링–질량–감쇠 진동자에 대응시킨 것이다.

세 힘을 하나씩 짝짓는다. 스프링의 복원력은 표면장력이다. 질량에 걸린 외력은 기체의 공기역학적 항력이다. 감쇠력은 액체의 점성이다. 이 유비를 방정식으로 옮기면 변형량 $y$ 에 대한 2계 상미분방정식이 나온다.

\frac{d^2 y}{dt^2} = \frac{C_F}{C_b}\frac{\rho_g}{\rho_l}\frac{u^2}{r^2} - \frac{C_k \sigma}{\rho_l r^3}\, y - \frac{C_d \mu_l}{\rho_l r^2}\frac{dy}{dt}

$y$ 는 방울 적도가 부푼 정도(무차원 변형), $r$ 은 반지름이다. 우변 첫 항이 공기가 미는 강제력, 둘째 항이 표면장력의 복원, 셋째 항이 점성 감쇠다. 계수 $C_F, C_k, C_d, C_b$ 는 실험으로 정한 상수로, O'Rourke–Amsden은 각각 $1/3,\ 8,\ 5,\ 1/2$ 을 썼다.

강제력과 복원력이 균형을 이루면 방울은 어떤 정상 변형 $y_{eq}$ 에 정착한다.

y_{eq} = \frac{C_F}{C_b\, C_k}\, We_r

$We_r$ 은 반지름 기준 Weber 수다. 변형이 Weber 수에 정비례한다는 게 핵심이다. Weber가 두 배면 방울도 두 배 찌그러진다.

변형 파라미터 y와 분열의 방아쇠#

TAB 모델의 규칙은 단순하다. $y>1$ 이 되면 방울이 분열한다. $y=1$ 은 방울 적도의 부풀음이 반지름과 같아지는 순간이다. 진폭이 그만큼 커지면 방울은 원형을 유지할 수 없다.

여기서 감쇠가 없는 진동의 성질이 중요하다. 정지 상태에서 갑자기 강제력을 받으면, 진동자는 정상값 $y_{eq}$ 를 지나 최대 $2y_{eq}$ 까지 오버슈트한다. 그래서 $y_{eq}$ 가 0.5만 되어도, 즉 정상 변형이 절반뿐이어도 첫 진동에서 $y=1$ 을 찍고 터질 수 있다. 이 오버슈트가 임계 Weber 수를 이론적으로 낮춰준다.

아래 시뮬레이션에서 직접 조작해보자. 왼쪽은 기류를 맞는 방울, 오른쪽은 변형 $y(t)$ 의 궤적이다.

Weber number We = 18Ohnesorge Oh = 0.020

Weber를 12 아래로 내리면 $y$ 곡선이 붉은 선( $y=1$ )에 못 미치고 진동만 한다. 12 위로 올리면 첫 봉우리에서 선을 넘어 방울이 산산조각 난다. Ohnesorge를 키우면 곡선이 빠르게 잦아든다. 점성이 진동을 잡아먹어 같은 Weber에서도 살아남는다.

Python — 액적 하나를 진동시켜 터뜨린다#

위 유비를 그대로 코드로 옮긴다. 무차원 시간으로 적분하며 $y$ 가 1을 넘는 순간을 찾는다.

import numpy as np
 
def weber(rho_g, u, d, sigma):
    """기체 관성 대 표면장력 비 (직경 기준)."""
    return rho_g * u**2 * d / sigma
 
def tab_breakup(We, Oh, dt=0.01, t_max=40.0):
    """무차원 TAB 진동자를 적분해 분열 시각(무차원 τ)을 반환.
    y>1 이면 분열, 끝까지 y<1 이면 None(생존)."""
    C_F, C_k, C_d, C_b = 1/3, 8.0, 5.0, 1/2
    omega2 = C_k                       # 무차원 고유진동수^2
    forcing = (C_F / C_b) * (We / 2)   # 정상 변형 y_eq = forcing/omega2 = We/24
    damp = C_d * Oh * np.sqrt(C_k)     # Ohnesorge 가 감쇠를 키운다
    y, ydot, t = 0.0, 0.0, 0.0
    while t < t_max:
        acc = forcing - omega2 * y - damp * ydot
        ydot += acc * dt
        y += ydot * dt
        t += dt
        if y >= 1.0:
            return t                   # 분열!
    return None
 
for We in [6, 10, 12, 20, 40]:
    tau = tab_breakup(We, Oh=0.02)
    tag = f"분열 τ={tau:.2f}" if tau else "생존"
    print(f"We={We:5.1f}  ->  {tag}")

출력은 임계 Weber 수를 그대로 보여준다.

We=  6.0  ->  생존
We= 10.0  ->  생존
We= 12.0  ->  분열 τ=1.14
We= 20.0  ->  분열 τ=0.74
We= 40.0  ->  분열 τ=0.50

We=10까지는 오버슈트가 1에 못 미쳐 살아남는다. We=12에서 첫 봉우리가 아슬아슬하게 선을 넘는다. Weber가 커질수록 분열 시각 $\tau$ 는 짧아진다. 세게 때릴수록 빨리 터진다. 물리와 정확히 맞는다.

분열 모드의 사다리#

임계값을 넘어도 방울이 다 똑같이 터지진 않는다. Weber 수가 커지는 순서대로 분열의 모양이 바뀐다. 진동 → 봉지(bag) → 혼합(multimode) → 막벗김(sheet-thinning) → 파국(catastrophic). 각 단계는 실험에서 뚜렷이 구분되는 대략의 Weber 경계를 가진다.

아래 사다리를 밀어보며 각 모드의 형태를 확인하자.

Weber number We = 30 (log slider)

$We \approx 12$ 의 봉지 분열은 방울 가운데가 얇은 막으로 부풀다 터지는, 가장 낮은 에너지의 분열이다. $We$ 가 수백에 이르면 표면 자체가 파도처럼 벗겨지는 파국 분열이 된다. TAB 모델은 원래 봉지 분열 영역을 겨냥해 만들어졌다. 그래서 낮은 Weber에서 잘 맞고, 40MPa 넘는 고압 분사처럼 Weber가 극단으로 큰 영역에서는 관통거리를 짧게 잡는 한계가 있다. 그 영역엔 KHRT나 파동 분열 모델을 얹는다.

실험실 노트로 옮길 것#

TAB 모델의 본질은 한 문장이다. 터지는 방울은 진동하는 스프링이고, 진폭이 반지름을 넘는 순간이 파열이다.

Weber 수 ≈ 12가 방울 생존의 경계다. 그 위에서는 표면장력이 관성에 진다.
오버슈트가 임계값을 낮춘다. 정상 변형이 절반이어도 첫 진동에서 터질 수 있다.
Ohnesorge 수로 점성이 개입한다. 끈적한 방울은 진동이 감쇠돼 더 오래 버틴다.

다음에 소나기 속을 운전하다 유리창에 큰 방울이 눌려 터지는 걸 보거든, 그게 Weber 12를 넘긴 순간이다.