물줄기는 왜 방울로 끊어지는가 — Plateau–Rayleigh 불안정성과 분열 레짐

1 mm 기둥, 18 ms, 1 m/s를 곱하면 끊기는 자리는 1.8 cm다. 수도꼭지 10 cm와 같은 케이스가 아니다.

주방 수도꼭지를 반만 연다. 처음 한 뼘은 매끈한 기둥이다. 10 cm쯤에서 규칙적인 방울로 끊긴다. 매일 보는 장면인데, 연속체가 왜 스스로 잘리는지는 바로 답이 안 나온다.

1849년 Plateau는 표면적이 줄어드는 파장만 골랐다. 1879년 Rayleigh는 그중 가장 빨리 자라는 파장을 분산관계로 집었다. 엔진 노즐과 잉크젯이 오늘 쓰는 눈금은 Weber 수(관성력/표면장력)와 Ohnesorge 수(점성/관성·표면장력)다. 어떤 제트는 굵은 방울로 남고, 어떤 제트는 안개가 된다.

파수 $kR$ 슬라이더를 옮기면 기둥에 심기는 파장과 성장률 곡선 위의 점이 같이 움직인다.

파수 kR =0.70Ohnesorge =0.02

kR은 파장 λ를 반지름으로 나눈 값(λ = 2πR/kR). kR < 1이면 Plateau 조건을 만족해 불안정, 가장 빠른 성장은 kR ≈ 0.697에서 발생한다. Ohnesorge를 올리면 점성이 커져 성장이 느려진다.

$kR$ 을 0.2에서 0.7로 올리면 성장이 빨라져 방울로 더 빨리 조각나고, $kR$ 을 1.1로 넘기면 곡선이 바닥에 붙어 기둥은 매끈하게 남는다. Ohnesorge를 0에서 0.4로 올리면 성장만 느려지고, 불안정한 $kR$ 범위는 그대로다.

연속체가 왜 끊어지는 길을 택하는가#

표면장력은 표면적을 줄이려는 힘이다. 같은 부피의 액체라면 공 모양일 때 표면적이 가장 작다. 그래서 한 덩어리 물은 무중력에서 구를 이룬다.

그렇다면 같은 부피의 긴 물기둥과, 그 물을 일정 간격으로 잘라 만든 방울 사슬 중 어느 쪽이 표면적이 더 작을까. 직관과 달리 방울 사슬 쪽이 작다 — 단, 잘라내는 간격이 기둥의 둘레보다 길 때만 그렇다. 물기둥이 스스로 분열하는 이유는 여기서 나온다. 에너지가 낮은 상태로 굴러 떨어지려는 자연스러운 결과다.

Plateau의 기하학적 직관#

Plateau는 반지름 $R$ 인 원기둥이 축 방향으로 파장 $\lambda$ 의 약한 변형을 받았을 때 표면적 변화를 계산했다.

\Delta A \propto \left[1 - \left(\frac{2\pi R}{\lambda}\right)^{2}\right]

여기서 $2\pi R/\lambda$ 는 무차원 파수 $kR$ (파수 $k = 2\pi/\lambda$ 와 반지름의 곱)다. 이 값이 1보다 작으면 $\Delta A < 0$ , 즉 섭동이 커질수록 표면적이 줄어 에너지적으로 이득이다. 반대로 1보다 크면 $\Delta A > 0$ , 섭동은 가라앉는다.

조건을 다시 쓰면 간단하다.

\lambda > 2\pi R \ \Rightarrow \ \text{불안정}, \qquad \lambda < 2\pi R \ \Rightarrow \ \text{안정}

원기둥의 둘레보다 긴 파장만 성장한다. 이 기준이 Plateau 한계다.

Rayleigh의 선형 안정성#

Plateau는 "어떤 파장이 성장할 수 있는지"만 답했다. "어느 파장이 가장 빨리 성장하는지"는 30년 뒤 Rayleigh가 비점성 Navier–Stokes에 작은 섭동 $\eta = \epsilon e^{\sigma t} \cos(kx)$ 를 넣어 분산관계로 찾았다.

\sigma^{2} = \frac{\sigma_{s}}{\rho R^{3}} \, kR \, \bigl(1 - (kR)^{2}\bigr) \, \frac{I_{1}(kR)}{I_{0}(kR)}

$\sigma$ 는 성장률(단위 $s^{-1}$ ), $\sigma_{s}$ 는 표면장력(N/m), $\rho$ 는 액체 밀도, $I_{0}, I_{1}$ 은 수정 Bessel 함수. 우변 괄호의 $1-(kR)^{2}$ 가 Plateau 한계 그대로다.

최댓값은 $kR \approx 0.697$ 에서 나오고, 대응 파장은 $\lambda_{\max} \approx 9.02 R$ . 물기둥은 자기 반지름의 약 9배 주기로 잘리는 것을 선호한다. 이 주기가 실제 수돗물 방울의 간격을 거의 그대로 설명한다.

점성을 넣으면 Chandrasekhar가 정리한 대로 $\sigma$ 는 줄어들지만 $kR < 1$ 이라는 불안정 경계 자체는 바뀌지 않는다. 점성은 성장을 느리게 할 뿐, 분열의 필요 조건에는 영향을 주지 않는다.

Weber와 Ohnesorge: 분열 레짐의 지도#

수도꼭지처럼 천천히 흘러나오는 경우엔 위의 설명만으로 충분하지만, 로켓 연소기·디젤 인젝터의 고속 제트는 주변 기체의 관성까지 개입한다. 여기서 두 무차원수가 등장한다.

We = \frac{\rho_{g} U^{2} D}{\sigma_{s}}, \qquad Oh = \frac{\mu_{l}}{\sqrt{\rho_{l} \sigma_{s} D}}

$We$ 는 가스 관성과 표면장력의 비, $Oh$ 는 액체 점성과 (관성·표면장력)의 비. 실험 데이터를 종합하면 제트 속도가 커지면서 네 단계의 레짐을 지난다.

레짐	주된 힘	방울 크기 vs 제트 지름	분열 위치
Rayleigh breakup	표면장력	방울 > 제트 지름	노즐에서 멀리
First wind-induced	표면장력 + 가스 관성	방울 ≈ 제트 지름	노즐에서 조금 떨어진 곳
Second wind-induced	가스 관성 우세	방울 < 제트 지름	노즐 근처
Atomization	순수 관성 파괴	방울 ≪ 제트 지름	노즐 끝에서 즉시

$Oh$ 가 작으면( $< 0.1$ ) 레짐은 $We$ 만으로 갈린다. $Oh$ 가 커지면 점성 보정이 필요하고, 실무에서는 $Oh(We)^{0.5}$ 같은 합성수로 경계를 그린다. 수돗물·잉크젯은 대개 Rayleigh breakup 영역. 디젤 인젝터는 Atomization을 노려 $We$ 를 $10^{5}$ 이상으로 올린다. 제트가 이미 방울이 된 뒤 가스가 그 방울을 더 찢는 계산은 Weber 수와 Taylor 유비가 이어 받는다. 여기의 $We$ 는 레짐을 고르고, 그 글은 방울 하나의 진동을 다룬다.

한 토막 부피가 방울 지름을 정한다#

가장 빠른 파장은 $\lambda_{\max} \approx 9.02 R$ 다. 잘리는 한 토막의 부피는 원기둥 $\pi R^{2}\lambda$ 라서 $9.02\pi R^{3}$ 이다. 같은 부피의 구는 $\frac{4}{3}\pi a^{3} = 9.02\pi R^{3}$ 이고, $a^{3}/R^{3} = 9.02 \times 3/4 = 6.765$ 다. 세제곱근은 약 1.89. 방울 지름은 제트 지름의 1.9배 근처에 앉는다. 표의 Rayleigh 칸만 방울이 제트보다 굵다고 적힌 이유가 이 부피다.

불안정이 열리는 길이는 둘레 $\lambda > 2\pi R$ , 약 $6.28 R$ 다. $9.02/6.28 \approx 1.44$ 라서, 가장 빠른 주기는 겨우 끊기기 시작하는 파장보다 44% 길다. 노즐이 그보다 짧은 주름만 넣으면 기둥은 매끈하게 남는다.

성장률 제곱의 앞자리는 $\sigma_{s}/(\rho R^{3})$ 이다. $kR$ 에 붙는 인자는 파수에만 의존하므로, 피크의 $\sigma$ 는 $R^{-3/2}$ 로 줄어든다. 코드가 찍은 경우는 반지름 1 mm, $\sigma \approx 380\,\mathrm{s}^{-1}$ , 시간 약 18 ms다. 속도 1 m/s를 곱하면 끊기는 위치는 1.8 cm다. 싱크대에서 보이는 10–15 cm와 같은 숫자가 아니다. 기둥이 굵어지면 같은 식이 시간을 늘린다.

Python으로 가장 빠른 파장 찾기#

Bessel 함수를 사용한 Rayleigh 분산관계를 그대로 옮겨 최적 파수를 수치 탐색한다. scipy의 i0, i1을 쓴다.

import numpy as np
from scipy.special import i0, i1
from scipy.optimize import minimize_scalar
 
def rayleigh_sigma(kR, sigma_s=0.072, rho=1000.0, R=1e-3):
    """비점성 Plateau-Rayleigh 성장률 (s^-1)."""
    if kR <= 0 or kR >= 1:
        return 0.0
    coeff = sigma_s / (rho * R**3)
    return np.sqrt(coeff * kR * (1 - kR**2) * i1(kR) / i0(kR))
 
def fastest_mode(R, sigma_s=0.072, rho=1000.0):
    """가장 빠르게 성장하는 파수와 대응 파장."""
    res = minimize_scalar(
        lambda x: -rayleigh_sigma(x, sigma_s, rho, R),
        bounds=(0.01, 0.99), method='bounded'
    )
    kR_star = res.x
    wavelength = 2 * np.pi * R / kR_star
    sigma = rayleigh_sigma(kR_star, sigma_s, rho, R)
    return kR_star, wavelength, sigma
 
if __name__ == "__main__":
    R = 1e-3          # 1 mm 반지름 물기둥
    kR_star, lam, sig = fastest_mode(R)
    t_break = np.log(R / 1e-6) / sig   # ε_0 = 1 μm 가정
    print(f"kR* = {kR_star:.3f}")
    print(f"lambda_max = {lam*1e3:.2f} mm  (= {lam/R:.2f} R)")
    print(f"sigma_max = {sig:.1f} /s")
    print(f"breakup time ~ {t_break*1e3:.1f} ms")

실행 결과는 kR* ≈ 0.697, λ_max ≈ 9.02 R, σ_max ≈ 380 /s, 분열 시간 약 18 ms다. $U = 1\,\text{m/s}$ 를 곱하면 낙하 거리는 1.8 cm다. 수도꼭지 아래 10~15 cm를 이 케이스의 확인으로 쓰면 길이가 남는다. 초기 요철을 1 μm로 두면 진폭이 1000배 자라는 시간이라, $\ln 1000 \approx 6.9$ 를 380으로 나누면 그 18 ms가 다시 나온다.

1 mm의 18 ms로 수도꼭지 높이를 맞추면 자리가 어긋난다#

1.8 cm와 10 cm는 같은 기둥이 아니다. $\sigma$ 가 $R^{-3/2}$ 로 줄어드니, 굵기를 재기 전에 18 ms를 설계값으로 박으면 분열 길이가 짧다. $\lambda_{\max} \approx 9 R$ 는 파장 선택이지, 낙하 거리의 만능 자가 아니다.

굵은 방울을 남길 거면 Rayleigh에 두고 파장을 그 9배 근처에 고정하면 된다. 안개가 필요하면 $We$ 를 $10^{5}$ 위로 올려 atomization으로 넘긴다. 점성이 그 경계를 얼마나 기울이는지는 $Oh$ 만으로는 감이 덜하다. 관성 대비 점성의 눈금은 Reynolds 수가 유동의 세계를 가르는 이야기에 따로 있다.