Derivar μ y k de la misma fórmula desvió el Pr 1.98 veces — el 9/4 detrás de 123.5 K de temperatura de pared

Si μ y k salen de la misma derivación, el Pr tiene que ser γ#

Comprimir aire a diez atmósferas apenas mueve su conductividad térmica. La densidad se multiplicó por diez y el calor fluye a la misma velocidad. La teoría cinética explica esa contraintuición en dos líneas. Pero si de esas mismas dos líneas se extrae también el coeficiente de viscosidad, el número de Prandtl — la razón entre difusividad de momento y difusividad térmica — queda clavado en $\gamma$. Para el aire eso da 1.400. El valor medido es 0.707. Un número 1.98 veces mayor de lo debido desplaza la temperatura de pared, y el factor $9/4$ que Eucken aportó en 1913 es lo que la devuelve. El deslizador number density va de 1 a 8. crossings y λ se mueven en sentidos opuestos. k̂ casi no se mueve.

Mientras esas dos barras se compensan, k̂ se queda quieto. Solo en n = 1 $\lambda$ supera la separación entre paredes y k̂ cae.

Lo que una molécula transporta al cruzar el plano de conteo#

Se planta un plano imaginario dentro del flujo. El número de moléculas que lo cruzan por unidad de área y tiempo es

donde $n$ es la densidad numérica y $\bar{c}$ la velocidad molecular media. Una molécula que cruza hacia abajo tuvo su última colisión un camino libre medio — la distancia media que vuela una molécula entre colisiones — por encima del plano, así que llega cargando el valor de esa altura. Una que cruza hacia arriba trae el valor de $\lambda$ más abajo. Si transporta momento resulta viscosidad; si transporta energía cinética, conducción.

Aquí $\rho = nm$ y $c_v$ es el calor específico a volumen constante por unidad de masa. Las dos expresiones comparten todos los factores iniciales. Solo difiere el $c_v$ final.

Por qué multiplicar la densidad por ocho deja la conductividad intacta#

El camino libre medio es inversamente proporcional a la densidad. Para una sección eficaz de colisión $\sigma$,

de modo que dentro de $\rho \bar{c} \lambda$ los factores $n$ y $1/n$ se borran mutuamente.

La densidad desapareció. Más moléculas significa más cruces, pero cada una parte de más cerca del plano y por lo tanto trae una diferencia de temperatura menor. Ese k̂ se construye contando las temperaturas que los puntos realmente transportaron a través del plano amarillo. n = 1 es donde se rompe la hipótesis de medio continuo.

Tres rutas en una sola tabla#

Ahora se dividen las dos expresiones. El número de Prandtl se define como $\Pr = \mu c_p / k$.

Todas las apariciones de $\rho$, $\bar{c}$ y $\lambda$ se cancelan. El diámetro molecular, la temperatura y la presión desaparecen del resultado. Solo sobrevive la razón de calores específicos. No es un accidente de la derivación sino su estructura: el momento y la energía se cargaron sobre el mismo portador y de la misma manera. El sitio donde la viscosidad cabe en una línea de moléculas es el origen molecular de la viscosidad. Ningún coeficiente concreto está mal, pero dos físicas distintas quedaron atadas a una sola escala.

Los grados de libertad rotacionales no transportan momento#

$\Pr = \gamma$ falla porque $c_v$ se trató como un bloque único. En una molécula diatómica, $c_v$ se reparte entre tres grados traslacionales y dos rotacionales, y solo la traslación alimenta el transporte de momento. Una mancuerna girando puede cruzar el plano, pero su energía de rotación no aporta nada al esfuerzo cortante.

Eucken separó las dos partes y dio a cada una su propia eficiencia de transporte. La energía traslacional está correlacionada con la velocidad, de modo que las moléculas rápidas transportan más y recibe un peso de $5/2$. La energía interna no está correlacionada con la velocidad, así que su peso es 1. El resultado cabe en una línea.

Para un gas monoatómico con $\gamma \to 5/3$ esto da $1 + 9/4 \cdot 2/3 = 2.5$, exactamente $5/2$: sin rotación solo queda el peso traslacional. Reordenando,

Las tres rutas aplicadas a seis gases#

El script calcula las tres rutas en paralelo y luego arrastra el Pr equivocado hasta un cálculo real: una capa de Couette unidimensional con calentamiento viscoso. Una pared se mueve a $U$; la pared opuesta es adiabática.

Con $u$ lineal el término fuente es constante, y el aumento de temperatura en la pared adiabática resulta proporcional únicamente a $\Pr$.

import math
 
GASES = [
    ("He",  1.667, 0.68),
    ("Ar",  1.667, 0.67),
    ("N2",  1.404, 0.72),
    ("Air", 1.400, 0.707),
    ("CO2", 1.289, 0.77),
    ("H2O", 1.329, 0.98),
]
 
def pr_mean_free_path(gamma):
    """mu = (1/3) rho c_bar lam,  k = (1/3) rho c_bar lam c_v  ->  Pr = c_p/c_v."""
    return gamma
 
def pr_eucken(gamma):
    """k/(mu c_v) = 1 + (9/4)(gamma-1)  ->  Pr = 4 gamma / (9 gamma - 5)."""
    return 4.0 * gamma / (9.0 * gamma - 5.0)
 
print("gas   gamma   Pr_mfp  Pr_euck  Pr_meas   mfp/meas  euck/meas")
for name, g, meas in GASES:
    a, b = pr_mean_free_path(g), pr_eucken(g)
    print("%-5s %5.3f  %6.3f  %7.3f  %7.3f   %8.2f  %9.2f" % (name, g, a, b, meas, a / meas, b / meas))
 
def couette_wall_rise(Pr, U, cp, N=201):
    """d2T/dy2 = -Pr U^2/cp on y in [0,1]; adiabatic at y=0, T=0 at y=1. Thomas sweep."""
    h = 1.0 / (N - 1)
    src = Pr * U * U / cp
    lo = [0.0] * N; di = [0.0] * N; up = [0.0] * N; rhs = [0.0] * N
    di[0], up[0], rhs[0] = -1.0, 1.0, 0.0
    for i in range(1, N - 1):
        lo[i], di[i], up[i] = 1.0, -2.0, 1.0
        rhs[i] = -src * h * h
    lo[N - 1], di[N - 1], rhs[N - 1] = 0.0, 1.0, 0.0
    for i in range(1, N):
        w = lo[i] / di[i - 1]
        di[i] -= w * up[i - 1]
        rhs[i] -= w * rhs[i - 1]
    T = [0.0] * N
    T[N - 1] = rhs[N - 1] / di[N - 1]
    for i in range(N - 2, -1, -1):
        T[i] = (rhs[i] - up[i] * T[i + 1]) / di[i]
    return T
 
U, cp = 600.0, 1005.0
print("\nCouette shear layer, U=%.0f m/s, cp=%.0f J/kg/K, adiabatic wall at y=0" % (U, cp))
print("route            Pr    dT_wall[K]   Pr*U^2/(2cp)[K]")
rise = {}
for label, Pr in (("mean-free-path", pr_mean_free_path(1.4)),
                  ("Eucken", pr_eucken(1.4)),
                  ("measured", 0.707)):
    T = couette_wall_rise(Pr, U, cp)
    rise[label] = T[0]
    print("%-15s %5.3f  %10.1f   %14.1f" % (label, Pr, T[0], Pr * U * U / (2 * cp)))
 
print("\nwall-temperature gap = %.1f K   ratio = %.2f"
      % (rise["mean-free-path"] - rise["measured"], rise["mean-free-path"] / rise["measured"]))
 
print("\nk ~ sqrt(T) extrapolated from 300 K vs measured air conductivity")
k300 = 0.0263
for T_, k_meas in ((400, 0.0338), (600, 0.0469), (800, 0.0573), (1000, 0.0672)):
    k_law = k300 * math.sqrt(T_ / 300.0)
    print("T=%5d K   sqrtT=%.4f   measured=%.4f   error=%+6.1f%%"
          % (T_, k_law, k_meas, 100.0 * (k_law - k_meas) / k_meas))

gas   gamma   Pr_mfp  Pr_euck  Pr_meas   mfp/meas  euck/meas
He    1.667   1.667    0.667    0.680       2.45       0.98
Ar    1.667   1.667    0.667    0.670       2.49       0.99
N2    1.404   1.404    0.735    0.720       1.95       1.02
Air   1.400   1.400    0.737    0.707       1.98       1.04
CO2   1.289   1.289    0.781    0.770       1.67       1.01
H2O   1.329   1.329    0.764    0.980       1.36       0.78
 
Couette shear layer, U=600 m/s, cp=1005 J/kg/K, adiabatic wall at y=0
route            Pr    dT_wall[K]   Pr*U^2/(2cp)[K]
mean-free-path  1.400       249.5            250.7
Eucken          0.737       131.3            132.0
measured        0.707       126.0            126.6
 
wall-temperature gap = 123.5 K   ratio = 1.98
 
k ~ sqrt(T) extrapolated from 300 K vs measured air conductivity
T=  400 K   sqrtT=0.0304   measured=0.0338   error= -10.2%
T=  600 K   sqrtT=0.0372   measured=0.0469   error= -20.7%
T=  800 K   sqrtT=0.0429   measured=0.0573   error= -25.0%
T= 1000 K   sqrtT=0.0480   measured=0.0672   error= -28.5%

Los botones de gas y el interruptor Eucken dibujan las tres columnas como curvas de temperatura de pared. Al apagar el interruptor, solo queda la curva Pr = $\gamma$ junto a la medida.

Al elegir He, la separación entre las dos parábolas en el extremo de pared se abre al máximo. Cuanto mayor es $\gamma$, más cuesta haber dejado fuera los grados de libertad rotacionales.

Un factor 9/4 decidió 123.5 K de temperatura de pared#

Las columnas numérica y analítica coinciden dentro de 1 K: el error $O(h^2)$ sobre una malla de 201 puntos. La tercera columna es la temperatura que se partió. A $U = 600$ m/s la pared adiabática queda 249.5 K por encima de la pared móvil si se toma Pr como $\gamma$, y 126.0 K con el valor medido. Son 123.5 K de diferencia. En una predicción de flujo de calor en pared supersónica, esa brecha cambia el material que se selecciona.

La columna de Eucken cae dentro del 2–4% de la medición para todos los gases monoatómicos y diatómicos de la lista. Partir una sola mancuerna en traslación y rotación convirtió un error de 2.45 veces en un 2%.

Para el aire, $\gamma=1.400$ dentro de $4\gamma/(9\gamma-5)$ tiene numerador $4\times1.400=5.600$ y denominador $9\times1.400-5=7.600$. El cociente es $0.7368$, que coincide con el valor de Eucken de la tabla, $0.737$, en el tercer decimal. La misma relación como $1+(9/4)(\gamma-1)$ da $9/4\times0.400=0.900$, y $1.400/1.900=0.737$. El helio tiene $\gamma=1.667$, así que la ruta del camino libre medio vale $1.667$, Eucken $0.667$ y la medición $0.680$. Entonces $1.667/0.680=2.45$, el mfp/meas de la tabla. Eucken sobre la medición es $0.667/0.680=0.98$.

En el Couette, $U=600$ y $c_p=1005$ dan $U^2/(2c_p)=360000/2010=179.1$ K. Por $1.400$ son $250.7$ K, por $0.707$ son $126.6$ K, por $0.737$ son $132.0$ K. Los valores numéricos con 201 puntos son $249.5$, $126.0$ y $131.3$. Quedan a $1.2$ K, $0.6$ K y $0.7$ K de la forma cerrada, dentro del 1 K citado. Además $249.5-126.0=123.5$ y $249.5/126.0=1.98$. Al empujar $k=0.0263$ a $300$ K con $\sqrt{1000/300}$, $\sqrt{3.333}\times0.0263$ cae cerca de $0.0480$. Frente al medido $0.0672$, $(0.0480-0.0672)/0.0672$ es cerca de $-28.6\%$, el $-28.5\%$ impreso dentro del redondeo. Para el agua, $0.764/0.980=0.780$, el euck/meas = 0.78 de la tabla, cerca de un 22% por debajo.

Por qué la ley √T se queda 28.5% corta a 1000 K#

La misma derivación entrega también una dependencia con la temperatura. Si $\bar{c} \propto \sqrt{T}$ y $\sigma$ es constante, entonces

El último bloque de salida extrapola esa ley desde 300 K. Queda 10.2% baja a 400 K y 28.5% baja a 1000 K. Que el signo nunca se invierta es la pista: lo que se rompió fue la hipótesis de $\sigma$ constante. Las moléculas rápidas se rozan más de cerca, de modo que la sección eficaz efectiva se encoge. Ese es el hueco que la teoría de Chapman–Enskog rellena con la integral de colisión $\Omega^{(2,2)*}$, y que los códigos prácticos delegan a la constante $S$ de la ley de Sutherland. El descuadre contable cuando la analogía de Reynolds, que lee la transferencia de calor a partir de la resistencia sola. Si el Pr que entra en esa razón está 1.98 veces por encima, el flujo de calor se mueve con ella.

Dónde Eucken se desvía un 22% con el H₂O#

El H₂O es la única fila con euck/meas = 0.78, un 22% baja. El agua es una molécula polar y las interacciones dipolares dominan sus colisiones. La relajación rotacional es mucho más lenta que la traslacional, así que la hipótesis de que la energía interna viaja sin correlación con la velocidad no se sostiene. La relación de Eucken modificada multiplica la contribución interna por su propio $\rho D_{\text{int}}/\mu$ para capturar esto. En un cálculo de combustión rico en vapor, mantener Pr constante carga esa discrepancia directamente sobre el flujo de calor en pared.

Lo que se firma de verdad al escribir Pr = 0.71#

La línea Pr = 0.71 no es una declaración de constante. Afirma que el momento y la energía difunden a ritmos distintos aunque las mismas moléculas transporten ambos, y que la razón sale de dos grados de libertad rotacionales. Tres condiciones rompen esa afirmación: un gas monoatómico (baja a 0.67), uno poliatómico polar (sube a 0.98), y un gas rarificado donde $\lambda$ supera la celda (n = 1 en la primera simulación). Si el cálculo vive en alguno de esos tres casos, cambiar una sola constante no da el trabajo por terminado.