압축성 다상유동이란?#

물탱크에 기포가 조금 섞인 것만으로 압력파가 느려진다. 물과 공기, 연료 액적과 고온 가스, 수중 폭발의 기체 버블. 상이 둘이면 다상유동이다. 압축성이 붙으면 상마다 상태방정식(EOS)이 갈라지고, 계면 위에서 충격파가 반사되고 투과하고 굴절한다.

단상 음속만 보고 시간 간격을 잡으면 계면에서 먼저 이상해진다. 탐침 슬라이더를 기체 분율 α=0.5까지 밀면 청록 Wood 곡선이 단상 음속의 100분의 1까지 꺼진다.

α가 0이나 1이면 Wood 곡선과 호박색 frozen 직선이 만난다. 한가운데에서만 Wood가 바닥을 친다. 그 바닥이 음향 시간 스케일을 백 배 늘린다.

단상 압축성 유동과의 차이#

단상 Euler 방정식은 짧다.

$$\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{F}}{\partial x} = 0$$

보존 변수는 $\mathbf{U} = [\rho, \rho u, E]^T$다. 이상 기체 $p = (\gamma - 1)\rho e$ 하나면 닫힌다.

다상에서는 계면을 경계로 EOS가 바뀐다. 기체는 $\gamma = 1.4$. 액체는 stiffened gas다.

$$p = (\gamma - 1)\rho e - \gamma p_\infty$$

기체에서 γ가 1.4이면 (γ−1)은 0.4다. 내부에너지 ρe의 40%만 압력이 된다. 액체 식은 같은 항에서 γ p_∞를 한 번 더 뺀다. 계면 셀이 γ만 중간값으로 물려받으면, 빼는 항의 계수까지 같이 흔들린다. 밀도와 에너지가 멀쩡해도 복원된 압력은 양쪽 셀의 산술평균이 아니다.

수치 문제는 두 EOS가 계면 근처에서 섞일 때 터진다. 보존 변수를 그냥 평균하면 비물리 압력 진동이 남는다. 압력은 같은데 잔차만 안 죽는 모습은 단상 압력 방정식의 잔차에서도 자주 본다. 이쪽 원인은 난류 상수가 아니라 EOS 혼합이다.

그림의 숫자로 마하를 다시 읽자. α=0.5에서 혼합물 음속은 단상의 100분의 1이다. 액체에서 마하 0.01이던 속도는 혼합물 기준으로 마하 1이 된다. 유속은 그대로인데 음속만 백 배 작아졌다. 단상 음속으로 CFL을 잡으면 스텝이 백 배 보수적이다. 혼합물 음속으로 잡으면 계면 셀의 시간 간격만 갑자기 성겨진다.

왜 어려운가: 핵심 난제 세 가지#

1. 계면에서의 압력 진동#

1994년 Abgrall이 짚은 뒤, 이 진동을 죽이는 일이 다상 수치기법의 출발점이 됐다.

“

"압축성 다상유동 수치해석의 역사는 곧 압력 진동과의 싸움의 역사이다."

보존형 유한체적법은 계면에서 γ가 중간값을 가지며 spurious oscillation을 만든다.

같은 압력을 가진 기체 셀과 액체 셀이라도 ρ와 e는 EOS가 달라 같지 않다. 평균된 $\mathbf{U} = [\rho, \rho u, E]^T$를 어느 한 쪽 식에 다시 넣으면 $p = (\gamma - 1)\rho e$도, $p = (\gamma - 1)\rho e - \gamma p_\infty$도 원래 압력을 복원하지 않는다. 복원 오차가 다음 스텝의 속도로 들어가고, 그 속도가 밀도를 다시 민다. 진동은 한 스텝으로 끝나지 않는다.

2. 상태방정식의 다양성#

이상 기체만으로는 물이 안 맞는다. 물은 Tait EOS 또는 stiffened gas EOS, 고압은 Jones-Wilkins-Lee (JWL) EOS, 반응 유동은 화학과 묶인 EOS가 필요하다. EOS마다 Riemann solver를 일반화해야 해서 구현이 길어진다.

3. 계면 추적 vs 계면 포착#

계면을 다루는 갈림은 두 가지다.

Sharp는 계면을 선으로 남긴다. Ghost Fluid는 건너편 상태를 외삽해서 Riemann 문제에 넣는다. Diffuse의 5식·6식 모델은 체적분율 α를 수송해서 계면을 몇 셀에 퍼뜨린다. 위상 변화가 있으면 퍼뜨린 쪽이 편하다. 충격이 계면을 직각으로 치면 선명한 쪽이 압력 점프를 덜 뭉갠다. γ 혼합을 피하지 못하면 어느 쪽이든 진동이 남는다.

왜 중요한가#

압축성 다상이 필요한 자리는 계면과 충격이 한 셀에서 만나는 경우다.

• 수중 폭발(UNDEX): 함정 생존성 평가
• 초음속 연소: 스크램젯 엔진 내부의 연료 분사/혼합
• 의료 분야: 충격파 쇄석술(lithotripsy)에서의 기포 거동
• 우주 추진: 극저온 추진제의 슬로싱(sloshing)

보존 평균을 고르면 계면 압력이 깨진다#

보존 평균은 구현이 짧다. 플럭스 하나를 단상과 같이 쓰면 된다. 그 선택이 계면에서 바로 어긋난다. γ와 p_∞가 셀마다 다른데 U만 평균하면, 복원 압력이 이웃의 압력을 잇지 못한다. 스파이크가 충격파처럼 보여도 물리 파가 아니다.

계면이 진짜 불연속이라면 차수를 어디에 둘지가 다음 결정이다. 비정렬 격자 위의 압축성 불연속 갈레르킨은 단상 압축성에서 그 점프를 셀 경계에 어떻게 두는지 보여 준다. 다상으로 넘어가기 전에, 단상 Riemann 문제가 압력을 어떻게 복원하는지부터 맞춰 두는 편이 낫다.