[论文评述] 把对流和压力彻底拆开 — Baer–Nunziato flux 的 TV 分裂

Tokareva 和 Toro 2016 年的这篇论文，看起来三十分钟就能复现完。把 flux 一分为二，各自单独计算再相加，仅此而已。实现确实只用了 40 行。在两道强激波对撞的 Riemann 问题上，它比 Rusanov flux 精确 1.5 倍。然后换到 Noh 问题，第三步压力就变成了 −0.12。今天就用代码追一遍：这个分裂究竟做了什么，白拿到了什么，又在哪里付账。

把 a 滑块从 0.1 拉到 2.0，只有右边压力系统的扇形张开，中间对流系统的扇形角度不动。

看 |λ|max 条在哪一块面板变长，声学 CFL 就落在压力系统那一侧。把 ū 推到 ±2，下方标记会离开论文里的亚声速假定。

论文如何切开 flux#

• 作者: S. A. Tokareva, E. F. Toro
• 题目: A flux splitting method for the Baer–Nunziato equations of compressible two-phase flow
• 出处: Journal of Computational Physics 323 (2016) 45–74
• DOI: 10.1016/j.jcp.2016.07.019

一句话概括：把 Toro–Vázquez(TV) flux 分裂推广到 Baer–Nunziato(BN，给两相各自速度和压力的七方程模型)方程，只求解拆出来的廉价压力子系统，再拼出整体 flux。

BN 方程写不成守恒形式。一维 x-分裂形式把非守恒项单独带在身上。

$\mathbf{Q}$ 是七个守恒量，$\mathbf{F}$ 是守恒 flux，$\mathbf{T}\,\partial_x\bar\alpha$ 是挂在体积分数梯度上的非守恒项。带横杠(¯)的是固相，不带的是气相。

论文的起手式，是把 $\mathbf{F}$ 的守恒部分切成两块。只写气相三个分量：

$\mathbf{A}$ 里一个压力项都没有。$\mathbf{P}$ 里一个 $\rho u$ 对流项都没有。两者相加，精确还原原来的 Euler flux。对流系统(A-system)与压力系统(P-system)由此而来，非守恒项归到压力系统一侧。

切开之后，声速只留在一侧

拆分的收益，看各子系统的特征速度就清楚了。对流系统的 Jacobian 第三列为零，因此特征值是 $\{0, u, u\}$。没有声速。压力系统对原始变量 $(\rho, u, p)$ 给出

$h$ 是比焓，$e_p = \partial e/\partial p$。代入理想气体：$\rho e_p = 1/(\gamma-1)$，于是 $h/(\rho e_p) = \gamma p/\rho = a^2$，即 $A = \sqrt{u^2 + 4a^2}$。固相的 stiffened EOS 同样化为 $\bar A = \sqrt{\bar u^2 + 4\bar a^2}$。

代入 $u = 0$ 得到 $\lambda_{1,3} = \mp a$。也就是说，声速整个落在压力系统里。锁住时间步长的不是对流系统。

锁住时间步的 $|\lambda|$ 在哪一侧，上面面板的 |λ|max 已经拆开给看了。$u=0$ 时 $\lambda_{1,3}=\mp a$，所以变长的那根条才是声速。

BN 只多加了一条 λ₇ = ū#

气相、固相各三个共六个，再加上第七个特征值 $\lambda_7 = \bar u$。论文展开特征向量得到的结论在工程上很关键：体积分数 $\bar\alpha$ 只在穿过 $\lambda_7$ 场时跳变。气相密度穿过 $\lambda_{1,3}$ 不变，气相压力在 $\lambda_2$ 上为常数。

这让 Godunov 状态的采样变便宜。假定亚声速配置 $S_L < \bar u < S_R$，则 $\lambda_1 < \lambda_2 = 0 < \lambda_3$ 恒成立，界面状态仅由 $\lambda_7 = \bar u$ 的符号决定。也不需要熵修正。这正是论文声称节省 CPU 时间之处。上面模拟底部的绿/红标记会实时检查该亚声速条件；把 ū 推到 ±2，就走出了论文覆盖的范围。

体积分数的跳跃只搭在 $\lambda_7$ 上，这和把非守恒项挂错波之后压力立刻乱跳的 Abgrall 准则 是同一件事。亚声速标记变红的地方，就是这条假定的边界。

两条直线搞定的 P-system Riemann solver#

压力系统非线性波上的广义 Riemann 不变量是：

第一个等号给出 $\rho = \text{const}$。剩下的 ODE $du/dp = 2/[\rho(u-A)]$，论文把系数冻结在特征线的脚上来线性化。固定 $C_L = \rho_L(u_L - A_L)$，积分就塌缩成一条直线。

其中 $C_R = \rho_R(u_R + A_R)$。两条直线联立，无需迭代即得闭式解：

由于 $A > |u|$，恒有 $C_L < 0 < C_R$。分母在结构上不可能为零。也就是说没有地方需要放除零保护，实际上也确实不必放。

不过这个线性化有多粗，得亲眼看。在下面拖动左右状态。

白色曲线是用 RK4 老老实实积分的不变量，虚线是论文真正使用的切线。把 p_L/p_R 降到 1.1，两个星状态在 2% 以内重合。默认比值 3 时已经是 12%，把 p_L 提到 40 则张开到 67%。切线到不了曲线去的地方。

代码 — 40 行结束的 TV flux#

缩到理想气体单相来实现。压力系统状态不需要 $\rho^*$，这点很省事：因为 $\rho e = p/(\gamma-1)$，P-flux 第三个分量整理成 $\gamma/(\gamma-1)\,u^* p^*$。

import numpy as np
 
def prim(q, g):
    rho = q[0]; u = q[1] / rho
    return rho, u, (g - 1.0) * (q[2] - 0.5 * rho * u * u)
 
def pressure_wave_speed(rho, u, p, g):
    """A = sqrt(u^2 + 4h/(rho e_p)) -> sqrt(u^2 + 4a^2)   [论文 eq. 9]"""
    return np.sqrt(u * u + 4.0 * g * p / rho)
 
def advection_flux(rho, u):
    """A(Q): 一个压力项都没有   [论文 eq. 5]"""
    return np.array([rho * u, rho * u * u, 0.5 * rho * u ** 3])
 
def p_system_star(rhoL, uL, pL, rhoR, uR, pR, g):
    """压力系统的线性化 Riemann solver   [论文 eq. 15, 19]"""
    CL = rhoL * (uL - pressure_wave_speed(rhoL, uL, pL, g))   # 恒 < 0
    CR = rhoR * (uR + pressure_wave_speed(rhoR, uR, pR, g))   # 恒 > 0
    us = (2.0 * (pR - pL) + CL * uL - CR * uR) / (CL - CR)
    return us, pL + 0.5 * CL * (us - uL)
 
def tv_face_flux(qL, qR, g):
    rhoL, uL, pL = prim(qL, g)
    rhoR, uR, pR = prim(qR, g)
    us, ps = p_system_star(rhoL, uL, pL, rhoR, uR, pR, g)
    # 对流系统特征值是 {0, u, u} -> 一个速度符号就定完迎风
    fa = advection_flux(rhoL, uL) if us >= 0.0 else advection_flux(rhoR, uR)
    # 压力系统: rho e = p/(g-1)，所以根本不需要 rho*
    fp = np.array([0.0, ps, g / (g - 1.0) * us * ps])
    return fa + fp

在 Toro Test 4 上跟 Rusanov 对打#

玩具问题选了两道强激波迎面对撞的 Toro Test 4。左 $(\rho,u,p) = (5.99924,\ 19.5975,\ 460.894)$，右 $(5.99242,\ -6.19633,\ 46.0950)$，$\gamma = 1.4$，$t = 0.035$，CFL 0.9。没有滞止区，迎风方向不会摇摆。精确解另外实现了 Toro 的迭代解法，得到 $p^* = 1691.647$、$u^* = 8.6898$。

同样一阶精度、同一成本量级，TV 分裂稳定地精确 1.5 倍。有意思的是前面看到的星状态误差：此处压力比为 10，压力系统星状态偏离精确值 65%。可格式照样赢。一阶 FV 里主导误差是 $O(\Delta x)$ 抹平，而 P-flux 不需要准确，只要相容且耗散就够了。

在 Noh 问题上分道扬镳的地方#

换到 Noh 问题。$\gamma = 5/3$，$\rho = 1$、$u = -1$ 向壁面涌来，精确解是 $\rho = 4$、$p = 4/3$、$u = 0$，激波立在 $x = t/3$。整个波后区域都是 $u \approx 0$ 的滞止区。

TV 分裂以两种方式死掉。若按 $u^*$ 的符号对对流 flux 迎风，$N = 200$ 时第 3 步、距壁第二个单元出现 $p = -0.12$。改按 $\tfrac12(u_L + u_R)$ 的符号迎风则能活下来，但网格越细，密度锯齿越严重。

$\mathrm{TV}(\rho)$ 是波后区域密度的全变差。网格加密 8 倍，Rusanov 降为六分之一，TV 分裂却涨了三倍。它不收敛。平均值本身两边都对——TV 是 $\bar\rho = 4.11$，Rusanov 是 3.99——但剖面不一样。

原因就在分裂本身。质量 flux 只有 $\mathbf{A}$ 的第一分量 $\rho u$ 这一项，而 $\mathbf{P}$ 的第一分量为零。也就是说，压力系统根本不碰密度。 滞止区里 $u \to 0$，质量 flux 也跟着归零，密度场上就没有数值耗散可留。无论迎风取哪一侧结果都相同，于是奇偶单元解耦。同样这个对流 flux 的选择，在 Toro Test 4 上只把 $L_1$ 从 0.594 改成 0.568。在 $u \neq 0$ 处几乎无关紧要，在 $u \approx 0$ 处却是生死攸关。

把表里的比原样除开，分叉的位置会更清楚。$N=100$ 时 TV 分裂的 $L_1(\rho)$ 0.9523 是 Rusanov 1.4303 的 0.666 倍。$N=200$ 时 0.5936/0.9349 约为 0.635，$N=800$ 时 0.2695/0.4217 约为 0.639。所谓 1.5 倍，是三个网格上的比值都卡在 0.63 到 0.67 之间。收敛率顺着 0.68、0.61、0.53 往下掉，斜率不到一阶。这和压力比等于 10 时星状态偏了 65%、$L_1$ 却仍然赢，是对得上的。$O(\Delta x)$ 的抹平比星状态误差更大。Noh 那边的全变差正好相反。从 12.01 到 34.45，网格放大 8 倍的过程里大约涨了 2.87 倍。Rusanov 从 0.445 降到 0.072，大约缩了 6.2 倍。平均密度 $\bar\rho=4.11$ 和 3.99 都靠近精确解 4。积分量是对的，长出来的只有锯齿。对流 flux 的取法一换，Toro Test 4 的 $L_1$ 从 0.594 挪到 0.568，幅度只有 0.026。同一个选择在 Noh 上，要么第三步就打出 $p=-0.12$，要么活下来却把锯齿养大。

论文跳过的东西

论文的六个测试问题全是 Riemann 问题，跨越初始间断的速度都不为零。没有一个会制造滞止区、壁面反射或定常流动。上面的结果表明这个盲区确实存在。论文把对流系统 flux 甩给 Toro–Vázquez 原文也很遗憾——那里只写了「straightforward」，可实际上这个选择决定了滞止区的生死。

亚声速限制也还在。$S_L < \bar u < S_R$ 的引入理由是「许多作者认为它在物理上更合理」，但固相超过气相声速的配置，在爆燃-爆轰转变(DDT)中确实会出现。固相接触面处仍需用迭代法求解薄层(thin-layer)非线性方程组，这一点也和「无需迭代」的印象不符——尽管论文明确表示未遇到收敛问题。

效率数字很有说服力。线性化 solver 最快，最接近的竞争者慢 8 倍；而 HLLEM-TV 贵 125 倍，数值 Roe 贵 67 倍。作者的结论——一旦需要评估特征向量，TV 分裂的吸引力就荡然无存——直接体现在这组数字里。若要在 OpenFOAM 一类代码里模仿这个结构，做法是建两个独立的 surfaceScalarField 再相加，而只用专门的 Riemann solver 去填压力系统那一半，完全可行。

壁面单元的迎风交给 u*，还是交给平均速度#

用 $u^*$ 的符号给对流做迎风，$N=200$ 时第三步、离壁第二个单元的压力会到 $-0.12$。改成平均速度的符号可以躲开负值，但网格加密 8 倍时 $\mathrm{TV}(\rho)$ 会从 12.01 涨到 34.45。Rusanov 则从 0.445 降到 0.072。滞止单元的质量 flux 放在哪里，就是在收敛和负压之间做选择。

复现到分裂定义(式 3–5)、压力系统特征结构(式 9–10)、线性化(式 15、19、23、26)为止，都和式子一致。$u=0$ 时 $A/2=a$ 在机器精度上成立，切线是精确曲线的 $O(\Delta p^2)$。缺的两处，一是对流系统 flux 根本不在这篇论文里，二是薄层推导压得太紧，还得对照原文 [1] 和 [4]。界面上声波几乎全被反射回去的水–气配置，声阻抗另有一笔。这个分裂的对流 flux 最早写在 Toro & Vázquez (2012), Computers & Fluids 70, 1–12。