陰的解法と線形ソルバー
低マッハ前処理、IMEX・双対時間ステップ、クリロフ・ニュートン–クリロフ・マルチグリッドで大規模な連立方程式を速く解く方法。
全12回 · 2026.05.06 – 2026.10.30
- 01
Jacobi 1万回でも消えない誤差を、V-サイクル10回で消す ― マルチグリッドの本当の秘密
64セルの1D Poissonでは20ステップ後、Vサイクル残差は1e-10未満、同回数のJacobiは1e-2付近に止まります。
2026.05.06
- 02
陽解法が破綻するとき、行列を解かずに陰解法を解く — LU-SGS
陽解法をCFL 0.3まで下げても定常まで何日もかかる。後退EulerとLU-SGS二回掃き出しなら、CFL 5のBurgers衝撃を49ステップで通過する。
2026.06.22
- 03
行列を反転せずに解く — GMRES と Arnoldi 部分空間
40×40 の Poisson で未知数 1600 個を、行列ベクトル積 78 回、残差 8.74e-11 まで下げた。
2026.06.24
- 04
CFLを1にすると一万回、100にすると爆発する — Switched Evolution Relaxation
固定CFL 3は588回、SERは34回で着地する。残差が十万倍下がるとCFLは上限に当たり、その後はNewtonになる。
2026.06.29
- 05
[論文レビュー] ヤコビアンを手で微分するのに疲れたら — 演算子オーバーロード自動微分（ADOO）
Fraysse（2019）のADOOは流束コードをそのままに型だけ替え、機械精度のヤコビアンを手計算なしで取り出す手法です。
2026.07.05
- 06
音波と物質を別々に流す — 音響・対流分離（Lagrange–Projection）
低マッハのM=0.02でも音響帯の幅は2cのままです。対流だけ別の時間ステップで進め、運動量の誤差は2.2e-16です。
2026.07.11
- 07
マッハ数がゼロへ向かっても時間刻みはそのまま — IMEX TVD スキーム再現記
ε=10^{-4}でも時間刻みは対流CFLのままになり、2次の重みが√2−1を超えるとオーバーシュートが再び戻ります。
2026.07.26
- 08
境界層格子でJacobiが止まる場所 — ラインレット線陰的前処理
壁面第一セルのアスペクト比が1000のとき、Jacobiは5471回で頭打ちになり、ラインレットは同じ行列を2回で終えます。
2026.07.31
- 09
セル番号を混ぜただけでLU-SGSが2.8倍遅くなった — RCM再順序付けと開始セルが決めるスイープ方向
非構造格子のセル番号がLU-SGSの収束を変える理由と、RCM再順序付け・開始セル選びの効果を576セルの実験で確かめます
2026.10.16
- 10
格子を2倍細かくしたら誤差が3倍になった — Jacobi反復の増分収束判定が隠すもの
増分でJacobi反復を止めると、格子を細かくするほど残る誤差が1/(1-ρ)倍に増えます。2次元熱伝導の板でJacobi・SOR・最適ωを比べます
2026.10.21
- 11
5 m/sで投げたボールが20 mmの壁を通り抜けた — ペナルティ接触とIPC対数バリアの違い
同じ陰的Euler 1ステップで、ペナルティ接触は薄い壁を飛び越え、IPCの対数バリアとCCD付き直線探索は数µm手前で止まる理由を1次元実験で確かめます。
2026.10.29
- 12
定常用の前処理をデュアルタイムのループに入れたら内部反復が19倍になった — 低マッハ音響パルスの実験
Weiss–Smith前処理を実時間に入れると音波が止まり、デュアルタイムに入れると内部反復が19倍に増えます。
2026.10.30